Subsequência

Em matemática, uma subseqüência, subsequência ou subsucessão de uma seqüência é uma restrição da seqüência a um subconjunto infinito ${\displaystyle \mathbb {N} '=\{n_{1}<n_{2}<...<n_{k}<...\}}$ de ${\displaystyle \mathbb {N} }$. Em particular, uma subsequência é por definição uma sequência. ^[1][2]

Notação

Seja ${\displaystyle \{x_{n}\}_{n=1}^{\infty }}$ uma seqüência, então uma subseqüência é uma nova seqüência ${\displaystyle \{x_{n_{k}}\}_{k=1}^{\infty }\,}$, onde ${\displaystyle n_{1}\geq 1\,}$ e ${\displaystyle n_{k+1}>n_{k}\,}$ ^[1]

Usando a notação da Teoria dos Conjuntos, uma sequência (de elementos em um conjunto X) é uma função ${\displaystyle x:\mathbb {N} \to X\,}$, e uma subsequência é a função composta ${\displaystyle son\,}$, em que n é uma sequência estritamente crescente de números naturais, ${\displaystyle n:\mathbb {N} \to \mathbb {N} \,}$ ^[1]

Exemplos

• Seja ${\displaystyle x_{n}={\frac {1}{n^{2}}}\,}$. Então a seqüência dos inversos dos quadrados dos números ímpares é uma subsequência, escolhendo-se ${\displaystyle n_{k}=2k+1\,}$.^[1]

Topologia

Em Topologia, define-se o conceito de um espaço sequencialmente compacto:

• Um espaço topológico X é sequencialmente compacto quando toda seqüência ${\displaystyle x_{i}\in X\,}$ tem uma subseqüência convergente.

Um subconjunto de um espaço métrico é compacto se, e somente se, ele é sequencialmente compacto.

Este resultado é muito importante para análise da reta, porque, muitas vezes, é mais simples mostrar que um espaço é sequencialmente compacto (exibindo-se uma subseqüência convergente) do que trabalhar com coberturas de abertos.

Referências

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