Técnicas para diferenciação

Este artigo contém uma lista de técnicas para a diferenciação de funções reais, categorizadas por tipo.

Funções polinomiais simples

Dado um polinômio ${\displaystyle p(x)}$, que é definido pela fórmula:

${\displaystyle p(x)=\sum _{i=0}^{m}k_{i}x^{i}}$, tem-se

${\displaystyle {\frac {d}{dx}}p(x)=\sum _{i=1}^{m}ik_{i}x^{i-1}.}$

Que é, simples multiplicação de cada termo por seu grau, então dividir-se por ’’${\displaystyle x}$’’. Por exemplo, pode-se diferenciar ${\displaystyle \scriptstyle {\sqrt {x}}+5x}$. Primeiramente, divide-se em seus termos componentes: ${\displaystyle \scriptstyle {\sqrt {x}}}$ e ${\displaystyle 5x}$. ${\displaystyle \scriptstyle {\sqrt {x}}}$ é igual a ${\displaystyle x^{1/2}}$, significando que sua derivada é ${\displaystyle \scriptstyle 1/2{\sqrt {x}}}$, ou metade do recíproco do valor. ${\displaystyle 5x}$ simplesmente torna-se 5, dando-nos:

${\displaystyle {\frac {d}{dx}}({\sqrt {x}}+5x)={\frac {1}{2{\sqrt {x}}}}+5={\frac {1+10{\sqrt {x}}}{2{\sqrt {x}}}}.}$

Funções exponenciais

Dada uma função “f(x)” igual a b^x, sua derivada pode ser encontrada pela seguinte fórmula:

${\displaystyle {\frac {d}{dx}}b^{x}=b^{x}\ln b}$

onde “ln b” é o logaritmo natural de b. Usando-se esta fórmula, nós podemos diferenciar 225^x por multiplicar por ln 225 = ln 15² = 2 ln 15 = 2(ln 3 + ln 5). (Ver Logaritmo natural). Assim, finalmente, temos 225^x 2 ln 3 + 225^x 2 ln 5.

Demonstração

${\displaystyle {\frac {d}{dx}}b^{x}}$

${\displaystyle ={\frac {d}{dx}}e^{\ln b^{x}}}$ Uma propriedade dos logaritmos.

${\displaystyle ={\frac {d}{dx}}e^{x\ln b}}$ Outra propriedade dos logaritmos

${\displaystyle =\left({\frac {d}{dx}}x\ln b\right)\left(e^{x\ln b}\right)}$ Da regra da cadeia.

${\displaystyle =\left(\ln b\right)\left(e^{\ln b^{x}}\right)}$

${\displaystyle =b^{x}\ln b}$

Funções logarítmicas

Todas as funções logarítmicas podem ser diferenciadas via uma fórmula muito similar aquela para funções exponenciais. A inclinação de qualquer função logarítmica em um ponto x é igual ao inverso de x vezes o logaritmo natural da base, ou:

${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\log _{b}x={\frac {1}{x\ln b}}.}$

Através disto podemos diferenciar o próprio logaritmo natural. Naturalmente, a base do logaritmo natural é e, e o logaritmo de base x de x é sempre um. Portanto, o logaritmo natural de e é um. Sabendo disso, podemos achar que o declive do logaritmo natural em qualquer ponto é igual ao inverso da altura naquele ponto.

Demonstração

Tendo-se

${\displaystyle y=\log _{b}x}$.

Então

${\displaystyle b^{y}=x}$.

${\displaystyle e^{\ln b^{y}}=x}$

${\displaystyle e^{y\ln b}=x}$

Usando-se diferenciação implícita.

${\displaystyle \left(e^{y\ln b}\right)\left({\frac {d}{dx}}y\ln b\right)=1}$

${\displaystyle \left(e^{\ln b^{y}}\right)\left({\frac {dy}{dx}}\right)\left(\ln b\right)=1}$

${\displaystyle {\frac {dy}{dx}}={\frac {1}{(b^{y})(\ln b)}}}$

Desde que ${\displaystyle y=\log _{b}x}$ e ${\displaystyle b^{y}=x}$, ${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\log _{b}x={\frac {1}{x\ln b}}}$.

Funções trigonométricas simples

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Para uma extensa lista de derivadas de funções trigonométricas, funções hiperbólicas, suas inversas, e demonstrações, ver tabela de derivadas e diferenciação de funções trigonométricas.

Ver também

• Cálculo
• Derivada