Tensor de tensão de Maxwell

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O tensor de tensão de Maxwell (em homenagem a James Clerk Maxwell) é um tensor simétrico de segunda ordem usado no eletromagnetismo clássico para representar a interação entre as forças eletromagnéticas e o momento mecânico. Em situações simples, como uma carga pontual movendo-se livremente em um campo magnético homogêneo, é fácil calcular as forças sobre a carga a partir da lei de força de Lorentz. Quando a situação se torna mais complicada, esse procedimento comum pode se tornar impraticável, com equações abrangendo várias linhas. Portanto, é conveniente coletar muitos desses termos no tensor de tensão de Maxwell e usar a aritmética de tensores para encontrar a resposta para o problema em questão.

Na formulação relativística do eletromagnetismo, o tensor de Maxwell aparece como uma parte do tensor eletromagnético de tensão–energia que é o componente eletromagnético do tensor de tensão–energia total. O último descreve a densidade e o fluxo de energia e momento no espaço-tempo.

Motivação

Conforme descrito abaixo, a força eletromagnética é escrita em termos de E {\displaystyle \mathbf {E} } e B {\displaystyle \mathbf {B} } . Usando o cálculo vetorial e as equações de Maxwell, a simetria é procurada nos termos contendo E {\displaystyle \mathbf {E} } e B {\displaystyle \mathbf {B} } , e a introdução do tensor de tensão de Maxwell simplifica o resultado.

Equações de Maxwell em unidades SI em vácuo
(para referência)
Nome Forma diferencial
Lei de Gauss (no vácuo) ∇ ⋅ E = ρ ε 0 {\displaystyle {\boldsymbol {\nabla }}\cdot \mathbf {E} ={\frac {\rho }{\varepsilon _{0}}}}
Lei de Gauss para magnetismo ∇ ⋅ B = 0 {\displaystyle {\boldsymbol {\nabla }}\cdot \mathbf {B} =0}
Equação de Maxwell – Faraday
(Lei de indução de Faraday) 		∇ × E = − ∂ B ∂ t {\displaystyle {\boldsymbol {\nabla }}\times \mathbf {E} =-{\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}}
Lei dos circuitos de Ampère (no vácuo)
(com a correção de Maxwell) 		∇ × B = μ 0 J + μ 0 ε 0 ∂ E ∂ t   {\displaystyle {\boldsymbol {\nabla }}\times \mathbf {B} =\mu _{0}\mathbf {J} +\mu _{0}\varepsilon _{0}{\frac {\partial \mathbf {E} }{\partial t}}\ }
  1. Começando com a lei de força de Lorentz

    F = q ( E + v × B ) = ∫ ( E + v × B ) ρ d τ {\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {F} &=q(\mathbf {E} +\mathbf {v} \times \mathbf {B} )\\[3pt]&=\int (\mathbf {E} +\mathbf {v} \times \mathbf {B} )\rho \mathrm {d} \tau \end{aligned}}}
    a força por unidade de volume é

    f = ρ E + J × B {\displaystyle \mathbf {f} =\rho \mathbf {E} +\mathbf {J} \times \mathbf {B} }
  2. Em seguida, ρ {\displaystyle \rho } e J {\displaystyle \mathbf {J} } podem ser substituídos pelos campos E {\displaystyle \mathbf {E} } e B {\displaystyle \mathbf {B} } , usando a lei de Gauss e a lei dos circuitos de Ampère:
    f = ε 0 ( ∇ ⋅ E ) E + 1 μ 0 ( ∇ × B ) × B − ε 0 ∂ E ∂ t × B {\displaystyle \mathbf {f} =\varepsilon _{0}\left({\boldsymbol {\nabla }}\cdot \mathbf {E} \right)\mathbf {E} +{\frac {1}{\mu _{0}}}\left({\boldsymbol {\nabla }}\times \mathbf {B} \right)\times \mathbf {B} -\varepsilon _{0}{\frac {\partial \mathbf {E} }{\partial t}}\times \mathbf {B} }
  3. A derivada do tempo pode ser reescrita para algo que pode ser interpretado fisicamente, ou seja, o vetor de Poynting. Usando a regra do produto e a lei de indução de Faraday dá
    ∂ ∂ t ( E × B ) = ∂ E ∂ t × B + E × ∂ B ∂ t = ∂ E ∂ t × B − E × ( ∇ × E ) {\displaystyle {\frac {\partial }{\partial t}}(\mathbf {E} \times \mathbf {B} )={\frac {\partial \mathbf {E} }{\partial t}}\times \mathbf {B} +\mathbf {E} \times {\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}={\frac {\partial \mathbf {E} }{\partial t}}\times \mathbf {B} -\mathbf {E} \times ({\boldsymbol {\nabla }}\times \mathbf {E} )}
    e agora podemos reescrever f {\displaystyle \mathbf {f} } como
    f = ε 0 ( ∇ ⋅ E ) E + 1 μ 0 ( ∇ × B ) × B − ε 0 ∂ ∂ t ( E × B ) − ε 0 E × ( ∇ × E ) , {\displaystyle \mathbf {f} =\varepsilon _{0}\left({\boldsymbol {\nabla }}\cdot \mathbf {E} \right)\mathbf {E} +{\frac {1}{\mu _{0}}}\left({\boldsymbol {\nabla }}\times \mathbf {B} \right)\times \mathbf {B} -\varepsilon _{0}{\frac {\partial }{\partial t}}\left(\mathbf {E} \times \mathbf {B} \right)-\varepsilon _{0}\mathbf {E} \times ({\boldsymbol {\nabla }}\times \mathbf {E} ),}
    então coletar termos com E {\displaystyle \mathbf {E} } e B {\displaystyle \mathbf {B} } dá
    f = ε 0 [ ( ∇ ⋅ E ) E − E × ( ∇ × E ) ] + 1 μ 0 [ − B × ( ∇ × B ) ] − ε 0 ∂ ∂ t ( E × B ) . {\displaystyle \mathbf {f} =\varepsilon _{0}\left[({\boldsymbol {\nabla }}\cdot \mathbf {E} )\mathbf {E} -\mathbf {E} \times ({\boldsymbol {\nabla }}\times \mathbf {E} )\right]+{\frac {1}{\mu _{0}}}\left[-\mathbf {B} \times \left({\boldsymbol {\nabla }}\times \mathbf {B} \right)\right]-\varepsilon _{0}{\frac {\partial }{\partial t}}\left(\mathbf {E} \times \mathbf {B} \right).}
  4. Um termo parece estar "faltando" da simetria em E {\displaystyle \mathbf {E} } e B {\displaystyle \mathbf {B} } , o que pode ser obtido inserindo ( ∇ ⋅ B ) B {\displaystyle \left({\boldsymbol {\nabla }}\cdot \mathbf {B} \right)\mathbf {B} } por causa da lei de Gauss para o magnetismo:
    f = ε 0 [ ( ∇ ⋅ E ) E − E × ( ∇ × E ) ] + 1 μ 0 [ ( ∇ ⋅ B ) B − B × ( ∇ × B ) ] − ε 0 ∂ ∂ t ( E × B ) . {\displaystyle \mathbf {f} =\varepsilon _{0}\left[({\boldsymbol {\nabla }}\cdot \mathbf {E} )\mathbf {E} -\mathbf {E} \times ({\boldsymbol {\nabla }}\times \mathbf {E} )\right]+{\frac {1}{\mu _{0}}}\left[({\boldsymbol {\nabla }}\cdot \mathbf {B} )\mathbf {B} -\mathbf {B} \times \left({\boldsymbol {\nabla }}\times \mathbf {B} \right)\right]-\varepsilon _{0}{\frac {\partial }{\partial t}}\left(\mathbf {E} \times \mathbf {B} \right).}
    Eliminando as ondulações (que são bastante complicados de calcular), usando a identidade de cálculo vetorial
    1 2 ∇ ( A ⋅ A ) = A × ( ∇ × A ) + ( A ⋅ ∇ ) A , {\displaystyle {\frac {1}{2}}{\boldsymbol {\nabla }}(\mathbf {A} \cdot \mathbf {A} )=\mathbf {A} \times ({\boldsymbol {\nabla }}\times \mathbf {A} )+(\mathbf {A} \cdot {\boldsymbol {\nabla }})\mathbf {A} ,}
    leva a:
    f = ε 0 [ ( ∇ ⋅ E ) E + ( E ⋅ ∇ ) E ] + 1 μ 0 [ ( ∇ ⋅ B ) B + ( B ⋅ ∇ ) B ] − 1 2 ∇ ( ε 0 E 2 + 1 μ 0 B 2 ) − ε 0 ∂ ∂ t ( E × B ) . {\displaystyle \mathbf {f} =\varepsilon _{0}\left[({\boldsymbol {\nabla }}\cdot \mathbf {E} )\mathbf {E} +(\mathbf {E} \cdot {\boldsymbol {\nabla }})\mathbf {E} \right]+{\frac {1}{\mu _{0}}}\left[({\boldsymbol {\nabla }}\cdot \mathbf {B} )\mathbf {B} +(\mathbf {B} \cdot {\boldsymbol {\nabla }})\mathbf {B} \right]-{\frac {1}{2}}{\boldsymbol {\nabla }}\left(\varepsilon _{0}E^{2}+{\frac {1}{\mu _{0}}}B^{2}\right)-\varepsilon _{0}{\frac {\partial }{\partial t}}\left(\mathbf {E} \times \mathbf {B} \right).}
  5. Essa expressão contém todos os aspectos do eletromagnetismo e do momento e é relativamente fácil de calcular. Pode ser escrito de forma mais compacta introduzindo o tensor de tensão de Maxwell,
    σ i j ≡ ε 0 ( E i E j − 1 2 δ i j E 2 ) + 1 μ 0 ( B i B j − 1 2 δ i j B 2 ) . {\displaystyle \sigma _{ij}\equiv \varepsilon _{0}\left(E_{i}E_{j}-{\frac {1}{2}}\delta _{ij}E^{2}\right)+{\frac {1}{\mu _{0}}}\left(B_{i}B_{j}-{\frac {1}{2}}\delta _{ij}B^{2}\right).}
    Todos, exceto o último termo de f {\displaystyle \mathbf {f} } podem ser escritos como a divergência do tensor de tensão de Maxwell, dando:
    ∇ ⋅ σ = f + ε 0 μ 0 ∂ S ∂ t , {\displaystyle {\boldsymbol {\nabla }}\cdot {\boldsymbol {\sigma }}=\mathbf {f} +\varepsilon _{0}\mu _{0}{\frac {\partial \mathbf {S} }{\partial t}}\,,}
    Como no teorema de Poynting, o segundo termo no lado direito da equação acima pode ser interpretado como a derivada temporal da densidade de momento do campo eletromagnético, enquanto o primeiro termo é a derivada temporal da densidade de momento para as partículas massivas. Desta forma, a equação acima será a lei de conservação do momento na eletrodinâmica clássica. onde o vetor de Poynting foi introduzido
    S = 1 μ 0 E × B . {\displaystyle \mathbf {S} ={\frac {1}{\mu _{0}}}\mathbf {E} \times \mathbf {B} .}

na relação acima para a conservação do momento, ∇ ⋅ σ {\displaystyle {\boldsymbol {\nabla }}\cdot {\boldsymbol {\sigma }}} é a densidade do fluxo de momento e desempenha um papel semelhante a S {\displaystyle \mathbf {S} } no teorema de Poynting.

A derivação acima assume conhecimento completo de ambos ρ {\displaystyle \rho } e J {\displaystyle \mathbf {J} } (tanto cargas livres quanto limitadas e correntes). Para o caso de materiais não lineares (como ferro magnético com uma curva BH), o tensor de tensão de Maxwell não linear deve ser usado.[1]

Equação

Na física, o tensor de tensão de Maxwell é o tensor de tensão de um campo eletromagnético. Conforme derivado acima em unidades S.I., é dado por:

σ i j = ϵ 0 E i E j + 1 μ 0 B i B j − 1 2 ( ϵ 0 E 2 + 1 μ 0 B 2 ) δ i j {\displaystyle \sigma _{ij}=\epsilon _{0}E_{i}E_{j}+{\frac {1}{\mu _{0}}}B_{i}B_{j}-{\frac {1}{2}}\left(\epsilon _{0}E^{2}+{\frac {1}{\mu _{0}}}B^{2}\right)\delta _{ij}} ,

onde ϵ 0 {\displaystyle \epsilon _{0}} é a constante elétrica e μ 0 {\displaystyle \mu _{0}} é a constante magnética, E {\displaystyle \mathbf {E} } é o campo elétrico, B {\displaystyle \mathbf {B} } é o campo magnético e δ i j {\displaystyle \delta _{ij}} é o delta de Kronecker. Na unidade cgs gaussiana, é dado por:

σ i j = 1 4 π ( E i E j + H i H j − 1 2 ( E 2 + H 2 ) δ i j ) {\displaystyle \sigma _{ij}={\frac {1}{4\pi }}\left(E_{i}E_{j}+H_{i}H_{j}-{\frac {1}{2}}\left(E^{2}+H^{2}\right)\delta _{ij}\right)} ,

onde H {\displaystyle \mathbf {H} } é o campo magnetizante [en].

Uma forma alternativa de expressar este tensor é:

σ ↔ = 1 4 π [ E ⊗ E + H ⊗ H − E 2 + H 2 2 I ] {\displaystyle {\overset {\leftrightarrow }{\boldsymbol {\sigma }}}={\frac {1}{4\pi }}\left[\mathbf {E} \otimes \mathbf {E} +\mathbf {H} \otimes \mathbf {H} -{\frac {E^{2}+H^{2}}{2}}\mathbb {I} \right]}

onde ⊗ {\displaystyle \otimes } é o produto diádico, e o último tensor é a díade unitária:

I ≡ ( 1 0 0 0 1 0 0 0 1 ) = ( x ^ ⊗ x ^ + y ^ ⊗ y ^ + z ^ ⊗ z ^ ) {\displaystyle \mathbb {I} \equiv {\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}}=\left(\mathbf {\hat {x}} \otimes \mathbf {\hat {x}} +\mathbf {\hat {y}} \otimes \mathbf {\hat {y}} +\mathbf {\hat {z}} \otimes \mathbf {\hat {z}} \right)}

O elemento i j {\displaystyle ij} do tensor de tensão de Maxwell tem unidades de momento por unidade de área por unidade de tempo e fornece o fluxo de momento paralelo ao i {\displaystyle i} -ésimo eixo cruzando uma superfície normal ao j {\displaystyle j} -ésimo eixo (na direção negativa) por unidade de tempo.

Essas unidades também podem ser vistas como unidades de força por unidade de área (pressão negativa), e o elemento i j {\displaystyle ij} do tensor também pode ser interpretado como a força paralela ao i {\displaystyle i} -ésimo eixo sofrida por uma superfície normal ao j {\displaystyle j} -ésimo eixo por unidade de área. De fato, os elementos diagonais fornecem a tensão (puxando) atuando em um elemento de área diferencial normal ao eixo correspondente. Ao contrário das forças devido à pressão de um gás ideal, um elemento de área no campo eletromagnético também sente uma força em uma direção que não é normal ao elemento. Este cisalhamento é dado pelos elementos fora da diagonal do tensor de tensão.

O tensor de tensão de Maxwell é um número complexo cuja parte real é a densidade de fluxo de momento [en] de Poynting.[2]

Na magnetostática

Se o campo for apenas magnético (o que é amplamente verdadeiro em motores, por exemplo), alguns dos termos desaparecem e a equação em unidades S.I. torna-se:

σ i j = 1 μ 0 B i B j − 1 2 μ 0 B 2 δ i j . {\displaystyle \sigma _{ij}={\frac {1}{\mu _{0}}}B_{i}B_{j}-{\frac {1}{2\mu _{0}}}B^{2}\delta _{ij}\,.}

Para objetos cilíndricos, como o rotor de um motor, isso é ainda mais simplificado para:

σ r t = 1 μ 0 B r B t − 1 2 μ 0 B 2 δ r t . {\displaystyle \sigma _{rt}={\frac {1}{\mu _{0}}}B_{r}B_{t}-{\frac {1}{2\mu _{0}}}B^{2}\delta _{rt}\,.}

onde r {\displaystyle r} é o cisalhamento na direção radial (para fora do cilindro) e t {\displaystyle t} é o cisalhamento na direção tangencial (ao redor do cilindro). É a força tangencial que gira o motor. B r {\displaystyle B_{r}} é a densidade de fluxo na direção radial, e B t {\displaystyle B_{t}} é a densidade de fluxo na direção tangencial.

Na eletrostática

Na eletrostática, os efeitos do magnetismo não estão presentes. Neste caso, o campo magnético desaparece, ou seja, B = 0 {\displaystyle \mathbf {B} =\mathbf {0} } , e obtemos o tensor de tensão de Maxwell eletrostático. Ele é dado na forma de componentes por:

σ i j = ε 0 E i E j − 1 2 ε 0 E 2 δ i j {\displaystyle \sigma _{ij}=\varepsilon _{0}E_{i}E_{j}-{\frac {1}{2}}\varepsilon _{0}E^{2}\delta _{ij}}

e na forma simbólica por:

σ = ε 0 E ⊗ E − 1 2 ε 0 ( E ⋅ E ) I {\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}=\varepsilon _{0}\mathbf {E} \otimes \mathbf {E} -{\frac {1}{2}}\varepsilon _{0}(\mathbf {E} \cdot \mathbf {E} )\mathbf {I} }

onde I {\displaystyle \mathbf {I} } é o tensor de identidade apropriado ( {\displaystyle {\big (}} geralmente 3 × 3 ) {\displaystyle 3\times 3{\big )}} .

Autovalor

Os autovalores do tensor de tensão de Maxwell são dados por:

{ λ } = { − ( ϵ 0 2 E 2 + 1 2 μ 0 B 2 ) ,   ± ( ϵ 0 2 E 2 − 1 2 μ 0 B 2 ) 2 + ϵ 0 μ 0 ( E ⋅ B ) 2 } {\displaystyle \{\lambda \}=\left\{-\left({\frac {\epsilon _{0}}{2}}E^{2}+{\frac {1}{2\mu _{0}}}B^{2}\right),~\pm {\sqrt {\left({\frac {\epsilon _{0}}{2}}E^{2}-{\frac {1}{2\mu _{0}}}B^{2}\right)^{2}+{\frac {\epsilon _{0}}{\mu _{0}}}\left({\boldsymbol {E}}\cdot {\boldsymbol {B}}\right)^{2}}}\right\}}

Esses autovalores são obtidos pela aplicação iterativa do lema dos determinantes da matriz, em conjunto com a fórmula de Sherman–Morrison [en].

Observando que a matriz de equação característica, σ ↔ − λ I {\displaystyle {\overleftrightarrow {\boldsymbol {\sigma }}}-\lambda \mathbf {\mathbb {I} } } , pode ser escrita como

σ ↔ − λ I = − ( λ + V ) I + ϵ 0 E E T + 1 μ 0 B B T {\displaystyle {\overleftrightarrow {\boldsymbol {\sigma }}}-\lambda \mathbf {\mathbb {I} } =-\left(\lambda +V\right)\mathbf {\mathbb {I} } +\epsilon _{0}\mathbf {E} \mathbf {E} ^{\textsf {T}}+{\frac {1}{\mu _{0}}}\mathbf {B} \mathbf {B} ^{\textsf {T}}}

onde

V = 1 2 ( ϵ 0 E 2 + 1 μ 0 B 2 ) {\displaystyle V={\frac {1}{2}}\left(\epsilon _{0}E^{2}+{\frac {1}{\mu _{0}}}B^{2}\right)}

definimos

U = − ( λ + V ) I + ϵ 0 E E T {\displaystyle \mathbf {U} =-\left(\lambda +V\right)\mathbf {\mathbb {I} } +\epsilon _{0}\mathbf {E} \mathbf {E} ^{\textsf {T}}}

Aplicando o lema do determinante de matriz uma vez, isso nos dá

det ( σ ↔ − λ I ) = ( 1 + 1 μ 0 B T U − 1 B ) det ( U ) {\displaystyle \det {\left({\overleftrightarrow {\boldsymbol {\sigma }}}-\lambda \mathbf {\mathbb {I} } \right)}=\left(1+{\frac {1}{\mu _{0}}}\mathbf {B} ^{\textsf {T}}\mathbf {U} ^{-1}\mathbf {B} \right)\det {\left(\mathbf {U} \right)}}

Aplicá-lo novamente produz,

det ( σ ↔ − λ I ) = ( 1 + 1 μ 0 B T U − 1 B ) ( 1 − ϵ 0 E T E λ + V ) ( − λ − V ) 3 {\displaystyle \det {\left({\overleftrightarrow {\boldsymbol {\sigma }}}-\lambda \mathbf {\mathbb {I} } \right)}=\left(1+{\frac {1}{\mu _{0}}}\mathbf {B} ^{\textsf {T}}\mathbf {U} ^{-1}\mathbf {B} \right)\left(1-{\frac {\epsilon _{0}\mathbf {E} ^{\textsf {T}}\mathbf {E} }{\lambda +V}}\right)\left(-\lambda -V\right)^{3}}

A partir do último multiplicando no RHS, vemos imediatamente que λ = − V {\displaystyle \lambda =-V} é um dos autovalores.

Para encontrar o inverso de U {\displaystyle \mathbf {U} } , usamos a fórmula de Sherman-Morrison:

U − 1 = − ( λ + V ) − 1 − ϵ 0 E E T ( λ + V ) 2 − ( λ + V ) ϵ 0 E T E {\displaystyle \mathbf {U} ^{-1}=-\left(\lambda +V\right)^{-1}-{\frac {\epsilon _{0}\mathbf {E} \mathbf {E} ^{\textsf {T}}}{\left(\lambda +V\right)^{2}-\left(\lambda +V\right)\epsilon _{0}\mathbf {E} ^{\textsf {T}}\mathbf {E} }}}

Fatorando um termo ( − λ − V ) {\displaystyle \left(-\lambda -V\right)} no determinante, resta-nos encontrar os zeros da função racional:

( − ( λ + V ) − ϵ 0 ( E ⋅ B ) 2 μ 0 ( − ( λ + V ) + ϵ 0 E T E ) ) ( − ( λ + V ) + ϵ 0 E T E ) {\displaystyle \left(-\left(\lambda +V\right)-{\frac {\epsilon _{0}\left(\mathbf {E} \cdot \mathbf {B} \right)^{2}}{\mu _{0}\left(-\left(\lambda +V\right)+\epsilon _{0}\mathbf {E} ^{\textsf {T}}\mathbf {E} \right)}}\right)\left(-\left(\lambda +V\right)+\epsilon _{0}\mathbf {E} ^{\textsf {T}}\mathbf {E} \right)}

Assim, uma vez que resolvemos

− ( λ + V ) ( − ( λ + V ) + ϵ 0 E 2 ) − ϵ 0 μ 0 ( E ⋅ B ) 2 = 0 {\displaystyle -\left(\lambda +V\right)\left(-\left(\lambda +V\right)+\epsilon _{0}E^{2}\right)-{\frac {\epsilon _{0}}{\mu _{0}}}\left(\mathbf {E} \cdot \mathbf {B} \right)^{2}=0}

obtemos os outros dois autovalores.

Ver também

Referências

  1. ↑ Brauer, John R. (13 de janeiro de 2014). Magnetic actuators and densors (em inglês). [S.l.]: John Wiley & Sons. ISBN 9781118754979 
  2. ↑ Academia chinesa de ciências (14 de outubro de 2022). «The complex Maxwell stress tensor theorem: A novel scenery underlying electromagnetic optical forces». Phys.org [en] (em inglês). doi:10.1038/s41377-022-00979-2. Consultado em 19 de outubro de 2022 
  • David J. Griffiths, "Introduction to electrodynamics" (em inglês) páginas  351 – 352, Benjamin Cummings Inc., 2008
  • John David Jackson, "Classical electrodynamics" (em inglês), 3ª edição, John Wiley & Sons, Inc., 1999.
  • Richard Becker, "Electromagnetic fields and interactions" (em inglês), Dover publications Inc., 1964.