Tensor simétrico

Em matemática, um tensor simétrico é um tensor que é invariante sob uma permutação de seus argumentos de vetor. Tensores simétricos de rank dois são apenas matrizes simétricas, e então são algumas vezes chamados formas quadráticas. Em termos mais abstratos, tensores simétricos de rank geral são isomórficos a formas algébricas; isto é, polinômios homogêneos e tensores simétricos são a mesma coisa. Um conceito relacionado é o tensor antisimétrico ou forma alternativa; entretanto, tensores anti-simétricos tem propriedades que são muito diferentes dos tensores simétricos, e dividem pouco em comum. Tensores simétricos ocorrem frequentemente em engenharia, física e matemática.

Definição

Um tensor de segunda ordem é apenas uma matriz. Uma matrix A , com componentes A_ij, é dito ser simétrico se

A_ij = A_ji

para todo i, j. Usando notação de vetores, uma matriz é simétrica se, para vetores v e w, uma tem

${\displaystyle \ A(v,w)=A(w,v)}$

Usando notação de tensores, dados vetores base ${\displaystyle e_{i}}$, seus duais ${\displaystyle e_{i}^{*}}$, pode-se escrever uma matriz em termos do tensor produto da base dual como

${\displaystyle A=\sum _{i,j=1}^{n}A_{ij}e_{i}^{*}\otimes e_{j}^{*}}$

e assim, para uma matriz simétrica, tem-se

${\displaystyle A(v\otimes w)=A(w\otimes v)}$

Mais genericamente, os componente de um tensor simétrico de ordem m satisfazem

${\displaystyle A_{i_{1}i_{2}\cdots i_{m}}=A_{i_{\pi (1)}i_{\pi (2)}\cdots i_{\pi (m)}}}$

para qualquer permutação ${\displaystyle \pi }$. Equivalentemente, pode-se escrever

${\displaystyle A(v_{1},v_{2},\cdots ,v_{m})=A(v_{\pi (1)},v_{\pi (2)},\cdots ,v_{\pi (m)})}$

para vetores ${\displaystyle v_{1},v_{2},\cdots }$.

Polinômios homogêneos

O dual de ${\displaystyle \mathrm {Sym} ^{r}(V)}$ é isomórfico ao espaço de polinômios homogêneos de grau r sobre V.

Sendo ${\displaystyle f\in \mathrm {Sym} ^{2}(V)}$. Então ${\displaystyle f=f^{ij}e_{i}\odot e_{j}}$ e seu dual é ${\displaystyle f^{*}=f_{ij}e^{i}\odot e^{j}}$. O mapa ${\displaystyle (\mathrm {Sym} ^{r}(V))^{*}=\mathrm {Sym} ^{r}(V^{*})\to \mathrm {Poly} _{r}(V):f^{*}\mapsto (v\mapsto f^{*}(v,v,\ldots ,v))}$ é um isomorfismo de álgebras.

Exemplos

Muitas propriedades dos materiais e campos usados em física e engenharia podem ser representados como campos de tensores simétricos; por exemplo , tensão mecânica, tensor tensão, e conductividade anisotrópica. Tensores de ordem 2 podem ser diagonalizados por escolhendo um quadro ortogonal de valores próprios. Estes valores próprios são os eixos principais do tensor, e geralmente têm um importante significado físico. Por exemplo, os eixos principais do momento de inércia definem o elipsoide que representa tal momento.

Elipsoides são exemplos de variedades algébricas; e então, para ordem geral, tensores simétricos, a pretexto de polinômios homogêneos, são usados para definir variedades projetivas, e são frequentemente estudados como tais.

Propriedades

Qualquer tensor de ordem dois ${\displaystyle A_{ij}\,}$ pode ser representado como a soma de um tensor simétrico e um tensor antisimétrico

${\displaystyle A_{ij}={\frac {1}{2}}(A_{ij}+A_{ji})+{\frac {1}{2}}(A_{ij}-A_{ji})}$

É facilmente verificado que o primeiro termo, denominado ${\displaystyle A_{(ij)}\,}$ não sofre mudança quando índices são intercambiados

${\displaystyle A_{(ij)}={\frac {1}{2}}(A_{ij}+A_{ji})=A_{(ji)}}$

Quando o segundo termo, ${\displaystyle A_{[ij]}\,}$, recebe um sinal menos.

${\displaystyle A_{[ij]}={\frac {1}{2}}(A_{ij}-A_{ji})=-A_{[ji]}}$

Para um tensor de terceira ordem, as partes simétrica e anti-simétrica são

${\displaystyle A_{(ijk)}={\frac {1}{3!}}(A_{ijk}+A_{ikj}+A_{kij}+A_{kji}+A_{jki}+A_{jik})}$

${\displaystyle A_{[ijk]}={\frac {1}{3!}}(A_{ijk}-A_{ikj}+A_{kij}-A_{kji}+A_{jki}-A_{jik})}$

Então para um tensor geral de n-ésima ordem, as partes simétrica e anti-simétrica são dadas por ^[1]

${\displaystyle T_{(\mu _{1}\mu _{2}\mu _{3}\cdots \mu _{n})}={\frac {1}{n!}}\sum _{j=0}^{n!-1}({\mbox{permuts de }}\mu _{1}\cdots \mu _{n})}$ *

${\displaystyle T_{[\mu _{1}\mu _{2}\mu _{3}\cdots \mu _{n}]}={\frac {1}{n!}}\sum _{j=0}^{n!-1}(-1)^{j}({\mbox{permuts de }}\mu _{1}\cdots \mu _{n})}$

• permuts significando permutações)

O espaço de tensores simétricos de ordem m definido sobre um espaço vetorial V é frequentemente denominado por ${\displaystyle S^{m}(V)}$ or ${\displaystyle \operatorname {Sym} ^{m}(V)}$. Este espaço tem dimensão

${\displaystyle \mathrm {dim} \,\operatorname {Sym} ^{m}(V)={n+m-1 \choose m}}$

onde n é a dimensão de V ^[2] and ${\displaystyle {n \choose k}}$ is the binomial coefficient.

Ver também

• Matriz transposta
• Polinômios simétricos
• Polinômial de Schur
• Simetrizante de Young

Referências

Ligações externas

• «Diagonalização de um tensor simétrico em efisica.if.usp.br» 
• «Análise Tensorial - www.fem.unicamp.br» (PDF) 

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