Teorema de Girsanov

Visualização do teorema de Girsanov. O lado esquerdo mostra um processo de Wiener negativo; do lado direito, cada etapa do processo está colorido de acordo com a probabilidade na medida Q. A densidade de transformação de P a Q é dada pelo teorema de Girsanov.

Na teoria da probabilidade, o teorema de Girsanov (em nome de Igor Vladimirovich Girsanov) descreve como a dinâmica de processos estocásticos muda quando o a medida original é alterada para uma medida da probabilidade equivalente.[1]:607 O teorema é especialmente importante na teoria da matemática financeira, na medida em que converte a probabilidade de uma medida física que descreve a probabilidade de que um ativo subjacente (como um preço ou uma taxa de juros) ter um determinado valor ou valores em uma medida de risco-neutro, uma uma ferramenta muito útil para o cálculo de preços derivados do subjacente.

História

Resultados deste tipo foram pela primeira vez demonstrados por Cameron–Martin na década de 1940 e por Girsanov, em 1960.[2] Eles foram, posteriormente, estendido para classes mais gerais de processo que culminaram na forma geral de Lenglart (1977).

Significado

O teorema de Girsanov é importante na teoria geral de processos estocásticos, pois permite que o resultado-chave de que se Q é uma medida absolutamente contínua com respeito a P , então, todo P-semimartingale é um Q-semimartingale.[3]

Demonstração do teorema

Apresentamos o teorema primeiro para o caso especial quando o processo estocástico subjacente é um processo de Wiener. Este caso especial é suficiente para preços de risco-neutro no modelo de Black-Scholes e em muitos outros modelos (por exemplo, modelos contínuos).

Deixe { W t } {\displaystyle \{W_{t}\}} ser um processo de Wiener espaço de probabilidade Wiener { Ω , F , P } {\displaystyle \{\Omega ,{\mathcal {F}},P\}} . Deixe X t {\displaystyle X_{t}} ser um processo adaptado mensurável para a filtragem natural do processo de Wiener { F t W } {\displaystyle \{{\mathcal {F}}_{t}^{W}\}} com X 0 = 0 {\displaystyle X_{0}=0} .

Defina o exponencial Doléans E ( X ) t {\displaystyle {\mathcal {E}}(X)_{t}} de X com respeito a W

E ( X ) t = exp ⁡ ( X t − 1 2 [ X ] t ) , {\displaystyle {\mathcal {E}}(X)_{t}=\exp \left(X_{t}-{\frac {1}{2}}[X]_{t}\right),}

Se E ( X ) t {\displaystyle {\mathcal {E}}(X)_{t}} é um martingale estritamente positivo, uma medida de probabilidade Q pode ser definida em { Ω , F } {\displaystyle \{\Omega ,{\mathcal {F}}\}} de tal forma a termos um derivativo de de Radon–Nikodym

d Q d P | F t = E ( X ) t {\displaystyle {\frac {dQ}{dP}}|_{{\mathcal {F}}_{t}}={\mathcal {E}}(X)_{t}}

Em seguida, para cada t a medida Q restrita para os campos sigma não aumentados F t W {\displaystyle {\mathcal {F}}_{t}^{W}} é equivalente a P restrito a F t W {\displaystyle {\mathcal {F}}_{t}^{W}} . Além disso, se Y é um local de martingale em P, então o processo

Y ~ t = Y t − [ Y , X ] t {\displaystyle {\tilde {Y}}_{t}=Y_{t}-\left[Y,X\right]_{t}}

é um Q local de martingale no espaço de probabilidade filtrado { Ω , F , Q , { F t W } } {\displaystyle \{\Omega ,F,Q,\{F_{t}^{W}\}\}} .

Ver também

  • Teorema de Cameron–Martin

Referências

  1. ↑ Musiela, M.; Rutkowski, M. (2004). Martingale Methods in Financial Modelling (2nd ed.). New York: Springer. ISBN 3-540-20966-2.
  2. ↑ Girsanov, I. (1 de janeiro de 1960). «On Transforming a Certain Class of Stochastic Processes by Absolutely Continuous Substitution of Measures». Theory of Probability & Its Applications. 5 (3): 285–301. ISSN 0040-585X. doi:10.1137/1105027 
  3. ↑ Lenglart, E. «Transformation des martingales locales par changement absolument continu de probabilities». Zeitschrift für Wahrscheinlichkeitstheorie und Verwandte Gebiete (em francês). 39 (1): 65–70. ISSN 0044-3719. doi:10.1007/BF01844873 

Ligações externas

  • Notas sobre Estocásticos Cálculo que contém um esquema simples prova do teorema de Girsanov.
  • Aplicada Multidimensional Teorema de Girsanov que contém financeiras aplicações do teorema de Girsanov.