Teoria clássica de campos

A teoria clássica de campos ^{(português brasileiro)} ou campo ^{(português europeu)} é uma teoria física que descreve o estudo de como um ou mais campos físicos interagem com a matéria. A palavra "clássica" é usada em contraste com as teorias de campo que incorporam a mecânica quântica (teoria quântica de campos).

Um campo físico pode ser pensado como a atribuição de uma quantidade física em todos os pontos do espaço e do tempo. Por exemplo, numa previsão do tempo, a velocidade do vento durante o dia em um país é descrita através da atribuição de um vetor para cada ponto no espaço. Cada vetor representa a direção do movimento do ar naquele momento. À medida que o dia passa, as direções dos vetores mudam à medida que a direção do vento muda. Do ponto de vista matemático, campos clássicos são descritos por um conjunto de vetores (teoria clássica de campos covariante). A expressão "teoria clássica de campos" é comumente reservada para descrever as teorias físicas sobre eletromagnetismo e gravitação, duas das forças fundamentais da natureza.

A descrição de campos físicos começou antes do advento da teoria da relatividade e em seguida foi revista à luz desta teoria. Conseqüentemente, as teorias clássicas de campos geralmente são classificadas como não-relativista e relativista.

Atualmente, seu desenvolvimento se associa a áreas da matemática como teoria de grupos, álgebras e representações, e até mesmo de topologia. É uma área de interesse para os pesquisadores que trabalham com sistemas não lineares, sistemas exatamente integráveis e sólitons.

Teorias de campos não-relativistas

Alguns dos campos físicos mais simples são os de força vetorial. Historicamente, os campos foram levados a sério pela primeira vez com as linhas de força de Faraday, ao descrever o campo elétrico. O campo gravitacional foi descrito então da mesma forma.

Gravitação newtoniana

Uma teoria clássica de campos sobre a gravidade é a gravitação newtoniana, que descreve a força gravitacional como uma interação mútua entre duas massas.

Em um campo gravitacional, se uma partícula de prova de massa gravitacional m experimenta uma força F, então a força do campo gravitacional g é definida por "g = F / m", onde é necessário que a massa de prova m seja pequena o suficiente para que sua presença efetivamente não perturbe o campo gravitacional. A lei da gravitação de Newton diz que duas massas separadas por uma distância r experimenta uma força

${\displaystyle {\vec {F}}=-{\frac {Gm_{1}m_{2}}{r^{2}}}{\hat {r}}}$

onde ${\displaystyle {\hat {r}}}$ é um vetor unitário que aponta para um dos objetos. Usando a segunda lei de Newton (para massa inercial constante), F = ma leva a uma definição da intensidade do campo gravitacional devido a uma massa m:

${\displaystyle {\vec {g}}=-G{\frac {m}{r^{2}}}{\hat {r}}.}$

A observação experimental de que as massas inercial e gravitacional são iguais leva à identificação da intensidade do campo gravitacional como idêntico à aceleração experimentada por uma partícula. Este é o ponto de partida do princípio da equivalência, que leva a relatividade geral.

Eletrostática

Uma partículas de teste carregada, de carga q, experimenta uma força F proveniente unicamente em sua carga. Podemos igualmente descrever o campo elétrico E de modo que F = qE. Usando isto e o conteúdo da lei de Coulomb, definimos o campo elétrico devido a uma única partícula carregada como

${\displaystyle {\vec {E}}={\frac {1}{4\pi \epsilon _{0}}}{\frac {q}{r^{2}}}{\hat {r}}.}$

Magnetismo

Hidrodinâmica

Teoria de campos relativística

Formulações modernas para teorias clássicas de campos geralmente requerem a covariância de Lorentz, pois isto hoje é reconhecido como um aspecto fundamental da natureza. Uma teoria de campos tende a ser expressa matematicamente com Lagrangianas. Esta é uma função que, quando submetida a um princípio de ação, dá origem às equações de campo e uma lei de conservação para a teoria.

Usamos um sistema de unidades onde c = 1.

Dinâmica lagrangiana

Dado um campo tensorial ${\displaystyle \phi }$, um escalar chamado de densidade Lagrangiana ${\displaystyle {\mathcal {L}}(\phi ,\partial \phi ,\partial \partial \phi ,...,x)}$ pode ser construído a partir de ${\displaystyle \phi }$ e suas derivadas.

A partir desta densidade, o funcional ação pode ser construído através da integração ao longo do espaço-tempo:

${\displaystyle {\mathcal {S}}[\phi ]=\int {{\mathcal {L}}[\phi (x)]\,\mathrm {d} ^{4}x}.}$

Em seguida, através da aplicação do Princípio da mínima ação, as equações de Euler-Lagrange são obtidas:

${\displaystyle {\frac {\delta {\mathcal {S}}}{\delta \phi }}={\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial \phi }}-\partial _{\mu }\left({\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial (\partial _{\mu }\phi )}}\right)=0.}$

Campos Relativísticos

Duas das teorias clássicas de campos covariante de Lorentz mais conhecidas são agora descritas.

Eletromagnetismo

Historicamente, as primeiras teorias (clássicas) de campos foram as que descrevem os campos elétrico e magnético (separadamente). Depois de inúmeras experiências, verificou-se que esses dois campos estão relacionados, ou, na verdade, dois aspectos do mesmo campo: o campo eletromagnético. A teoria eletromagnética de Maxwell descreve a interação da matéria carregada com o campo eletromagnético. A primeira formulação dessa teoria de campos utilizou campos de vetores para descrever os campos elétrico e magnético. Com o advento da relatividade especial, uma formulação melhorada (e mais consistente com a mecânica) utilizando campos tensoriais foi obtida. Em vez de usar dois campos de vetores que descrevem os campos elétrico e magnético, é usado um campo tensorial que representa esses dois campos.

Temos o potencial eletromagnético, ${\displaystyle A_{a}=\left(-\phi ,{\vec {A}}\right)}$, e a quadricorrente ${\displaystyle j_{a}=\left(-\rho ,{\vec {j}}\right)}$. O campo eletromagnético em qualquer ponto do espaço-tempo é descrito pelo tensor do campo eletromagnético anti-simétrico de ordem 2

${\displaystyle F_{ab}=\partial _{a}A_{b}-\partial _{b}A_{a}.}$

A Lagrangiana

Para obter a dinâmica para este campo, tentamos construir um escalar a partir do campo. No vácuo, temos ${\displaystyle {\mathcal {L}}={\frac {-1}{4\mu _{0}}}F^{ab}F_{ab}.}$ Podemos usar a teoria de campos de calibre para obter o termo de interação, e isso nos fornece

${\displaystyle {\mathcal {L}}={\frac {-1}{4\mu _{0}}}F^{ab}F_{ab}+j^{a}A_{a}.}$

As Equações

Isto juntamente com as equações de Euler-Lagrange fornece o resultado desejado, já que as equações de Euler-Lagrange dizem que

${\displaystyle \partial _{b}\left({\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial \left(\partial _{b}A_{a}\right)}}\right)={\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial A_{a}}}.}$

É fácil ver que ${\displaystyle \partial {\mathcal {L}}/\partial A_{a}=\mu _{0}j^{a}}$. O lado esquerdo é mais complicado. Tomando cuidado com os fatores de ${\displaystyle F^{ab}}$, no entanto, o cálculo fornece ${\displaystyle \partial {\mathcal {L}}/\partial (\partial _{b}A_{a})=F^{ab}}$. Juntas, as equações de movimento são então

${\displaystyle \partial _{b}F^{ab}=\mu _{0}j^{a}.}$

Isto nos fornece uma equação vetorial, que são as equações de Maxwell no vácuo. As outras duas são obtidas do fato de que F é o 4-rotacional de A:

${\displaystyle 6F_{[ab,c]}\,=F_{ab,c}+F_{ca,b}+F_{bc,a}=0.}$

onde a vírgula indica derivada parcial.

Gravitação

Após a gravitação de Newton ser considerada inconsistente com a relatividade especial, Albert Einstein formulou uma nova teoria da gravitação chamada de relatividade geral. Esta trata a gravidade como um fenômeno geométrico ("espaço-tempo curvo"), causado pela matéria e representa o campo gravitacional matematicamente por um campo tensorial chamado tensor métrico. As equações de campo de Einstein descrevem como tal curvatura é produzida. As equações de campo podem ser diferenciadas usando-se a ação de Einstein-Hilbert. Variando-se a Lagrangiana

${\displaystyle {\mathcal {L}}=\,R{\sqrt {-g}}}$,

onde ${\displaystyle R\,=R_{ab}g^{ab}}$ é o tensor de Ricci escrito em termos do tensor de Ricci ${\displaystyle \,R_{ab}}$ e do tensor métrico ${\displaystyle \,g_{ab}}$, que levam às equações de campo no vácuo,

${\displaystyle G_{ab}\,=0}$,

onde ${\displaystyle G_{ab}\,=R_{ab}-{\frac {R}{2}}g_{ab}}$ é o tensor de Einstein.

Ver também

• Teoria clássica de campos covariante
• Eletromagnetismo
• Campo (física)
• Relatividade geral
• Teoria Quântica de Campos
• Métodos Variacionais na relatividade geral

Referências

• Este artigo foi inicialmente traduzido, total ou parcialmente, do artigo da Wikipédia em inglês cujo título é «Classical Theory of Fields», especificamente desta versão.

• Truesdell, C.; Toupin, R.A. (1960), «The Classical Field Theories», in: Flügge, Siegfried, Principles of Classical Mechanics and Field Theory/Prinzipien der Klassischen Mechanik und Feldtheorie, Handbuch der Physik (Encyclopedia of Physics), III/1, Berlin–Heidelberg–New York: Springer-Verlag, pp. 226–793, Zbl 0118.39702 .

Ligações externas

• Thidé, Bo. «Electromagnetic Field Theory» (PDF). Consultado em 14 de fevereiro de 2006. Arquivado do original (PDF) em 17 de setembro de 2003 
• Carroll, Sean M. «Lecture Notes on General Relativity». arXiv:gr-qc/9712019 
• Binney, James J. «Lecture Notes on Classical Fields» (PDF). Consultado em 30 de abril de 2007 
• Giachetta, G., Mangiarotti, L., Sardanashvily, G., "Advanced Classical Field Theory", World Scientific, 2009, ISBN 9789812838957 Arxiv)