Transformada de Abel

Em Matemática, a Transformada de Abel, enunciada por Niels Henrik Abel, é uma transformada integral utilizada em análise de projeções de funções que apresentam simetria esférica ou axial, como, por exemplo, na estimativa da distribuição de massa em galáxias a partir de observações astronômicas, na obtenção da variação de parâmetros atmosféricos com a altitude a partir da ocultação de ondas de rádio pela Terra^[1] e na análise da imagem captada por uma câmara de TV que varre uma faixa estreita.^[2] Podem-se definir 4 versões diferentes para a transformação, denotadas aqui por ${\displaystyle {\mathcal {A}}_{1}}$ a ${\displaystyle {\mathcal {A}}_{4}}$, cada uma delas sendo útil na solução de determinados problemas. Não há consenso na literatura a respeito da numeração a ser atribuída a cada versão.^[3]

A versão mais usada da transformada de Abel de uma função f(r) é dada por:

${\displaystyle F(y)=2\int _{y}^{\infty }{\frac {f(r)r\,dr}{\sqrt {r^{2}-y^{2}}}}.}$

Assumindo f(r) indo a zero mais rapidamente que 1/r, a correspondente transformada inversa é dada por:

${\displaystyle f(r)=-{\frac {1}{\pi }}\int _{r}^{\infty }{\frac {dF}{dy}}\,{\frac {dy}{\sqrt {y^{2}-r^{2}}}}.}$^[2][3]

Essa versão é um caso especial da transformada de Radon bidimensional.^[3] Ela também pode ser relacionada com a transformada de Hankel e com a transformada de Fourier por meio do teorema da fatia central.^[4]

A transformada de Abel também está associada ao tema das transformadas fracionais, tendo sido Abel um dos primeiros a explorar o Cálculo Fracional. As equações integrais (fracionárias) de Riemann-Liouville e de Weyl podem ser resolvidas com ajuda da transformada de Abel, após a conveniente substituição de variáveis.^[5] Derivadas fracionárias aparecem frequentemente também na descrição da dinâmica da condução de calor em sólidos e da transmissão de sinais elétricos por cabos metálicos.^[2]

Definições

Origem

Abel foi o pioneiro no estudo das equações integrais, ao trabalhar, entre 1802 e 1809, com a chamada equação integral de Abel^{[nota 1]}

${\displaystyle g(x)\;=\;\int _{0}^{x}{\frac {f(y)}{(x\;-\;y)^{\alpha }}}\;dy\qquad |x\;>\;0,\;0\;<\;\alpha \;<\;1\qquad (1a)}$

com g(x) dada e f(x) incógnita. Essa é uma equação integral de Volterra do primeiro tipo; com α = ½, tem relevância na solução do problema da curva tautocrônica, o que foi o fato motivador da pesquisa original. Demonstra-se facilmente que

${\displaystyle \int _{0}^{x}{\frac {f(y)}{(x\;-\;y)^{\alpha }}}\;dy\;=\;f(x)\;*\;{\frac {1}{x^{\alpha }}}\qquad (1b)}$

onde * denota a operação de convolução. A equação de convolução resultante

${\displaystyle g(x)\;=\;f(x)\;*\;{\frac {1}{x^{\alpha }}}\qquad (1c)}$

pode ser resolvida por meio da transformada de Laplace, resultando em

${\displaystyle g(x)\;=\;{\frac {\sin(\alpha \pi )}{\pi }}\left[{\frac {g(0+)}{x^{1-\alpha }}}\;+\;\int _{0}^{x}{\frac {{\frac {d}{dy}}\;g(y)}{(x\;-\;y)^{1-\alpha }}}\;dy\right]\qquad (1d)}$

onde g(0+) é uma forma concisa de escrever o limite

${\displaystyle \lim _{x\to 0}\left[\int _{0}^{x}{\frac {f(y)}{(x\;-\;y)^{\alpha }}}\;dy\right]\qquad (1e)}$

De forma mais genérica, outras equações integrais em que o integrando é ou pode ser levado, por meio de uma substituição de variáveis, à forma ${\displaystyle {\frac {f(x)}{h(x-y)}}}$ são resolvidas pela mesma técnica. Por exemplo, a solução da equação mais geral

${\displaystyle g(x)\;=\;\int _{0}^{x}f(y)\cdot h(x\;-\;y)\;dy\qquad |h(u)\;=\;0\;/\;u\;<\;0\qquad (1f)}$

é dada por

${\displaystyle g(x)\;=\;{\frac {d}{dy}}\left[\int _{0}^{x}g(y)\cdot h(x\;-\;y)\;dy\right]\;=\;g(0+)\cdot h(x)\;+\;\int _{0}^{x}\left[{\frac {d}{dy}}g(y)\right]\cdot h(x\;-\;y)\;dy\qquad (1g)}$

e uma equação na forma

${\displaystyle g(x)\;=\;\int _{0}^{x}\phi (y)\cdot h(x^{2}\;-\;y^{2})\;dy\qquad (1h)}$

com as substituições u = x² e v = y², se transforma na equação

${\displaystyle g(x)\;=\;{\frac {1}{2}}\int _{0}^{u}{\sqrt {v}}\cdot \phi ({\sqrt {v}})\cdot h(u\;-\;v)\;dv\qquad (1i)}$

que tem a forma da equação (1f), com ${\displaystyle f(v)\;=\;{\frac {1}{2}}{\sqrt {v}}\cdot \phi ({\sqrt {v}})}$, e a solução, portanto, é dada por (1g).^[3]

Transformadas diretas e inversas

As 4 versões da transformada de Abel são as seguintes:

${\displaystyle {\mathcal {A}}_{1}\{f(x)\}\;=\;A_{1}(y)\;=\;2\int _{y}^{\infty }{\frac {x\cdot f(x)}{\sqrt {x^{2}\;-\;y^{2}}}}\;dx\qquad |\;y\;>\;0\qquad (2a)}$

${\displaystyle {\mathcal {A}}_{2}\{f(x)\}\;=\;A_{2}(y)\;=\;\int _{y}^{\infty }{\frac {f(x)}{\sqrt {x^{2}\;-\;y^{2}}}}\;dx\qquad |\;y\;>\;0\qquad (2b)}$

${\displaystyle {\mathcal {A}}_{3}\{f(x)\}\;=\;A_{3}(y)\;=\;\int _{0}^{y}{\frac {f(x)}{\sqrt {y^{2}\;-\;x^{2}}}}\;dx\qquad |\;y\;>\;0\qquad (2c)}$

${\displaystyle {\mathcal {A}}_{4}\{f(x)\}\;=\;A_{4}(y)\;=\;2\int _{0}^{y}{\frac {x\cdot f(x)}{\sqrt {y^{2}\;-\;x^{2}}}}\;dx\qquad |\;y\;>\;0\qquad (2d)}$.^[3]

A solução das equações integrais (2a) a (2d), sob a condição geral

${\displaystyle \lim _{y\to \infty }A_{k}(y)\;=\;0\qquad (4a)}$

é dada pela respectiva transformada inversa de Abel:

${\displaystyle f(x)\;=\;{\mathcal {A}}_{1}^{-1}\{A_{1}(y)\}\;=\;-{\frac {1}{\pi x}}\left[{\frac {d}{dx}}\int _{x}^{\infty }{\frac {y\cdot A_{1}(y)}{\sqrt {y^{2}\;-\;x^{2}}}}\;dy\right]\;=\;-{\frac {1}{\pi }}\int _{x}^{\infty }{\frac {{\frac {d}{dy}}\;A_{1}(y)}{\sqrt {y^{2}\;-\;x^{2}}}}\;dy\qquad (3a)}$

${\displaystyle f(x)\;=\;{\mathcal {A}}_{2}^{-1}\{A_{2}(y)\}\;=\;-{\frac {2}{\pi }}\left[{\frac {d}{dx}}\int _{x}^{\infty }{\frac {y\cdot A_{2}(y)}{\sqrt {y^{2}\;-\;x^{2}}}}\;dy\right]\;=\;-{\frac {2x}{\pi }}\int _{x}^{\infty }{\frac {{\frac {d}{dy}}\;A_{2}(y)}{\sqrt {y^{2}\;-\;x^{2}}}}\;dy\qquad (3b)}$

${\displaystyle f(x)\;=\;{\mathcal {A}}_{3}^{-1}\{A_{3}(y)\}\;=\;{\frac {2}{\pi }}\left[{\frac {d}{dx}}\int _{0}^{x}{\frac {y\cdot A_{3}(y)}{\sqrt {x^{2}\;-\;y^{2}}}}\;dy\right]\;=\;{\frac {2\cdot A_{3}(0)}{\pi }}\;+\;{\frac {2x}{\pi }}\int _{0}^{x}{\frac {{\frac {d}{dy}}\;A_{3}(y)}{\sqrt {x^{2}\;-\;y^{2}}}}\;dy\qquad (3c)}$

${\displaystyle f(x)\;=\;{\mathcal {A}}_{4}^{-1}\{A_{4}(y)\}\;=\;{\frac {1}{\pi x}}\left[{\frac {d}{dx}}\int _{0}^{x}{\frac {y\cdot A_{4}(y)}{\sqrt {x^{2}\;-\;y^{2}}}}\;dy\right]\;=\;{\frac {A_{4}(0)}{\pi x}}\;+\;{\frac {1}{\pi }}\int _{0}^{x}{\frac {{\frac {d}{dy}}\;A_{4}(y)}{\sqrt {x^{2}\;-\;y^{2}}}}\;dy\qquad (3d)}$

A transformada ${\displaystyle {\mathcal {A}}_{1}}$, por ser um caso especial (o caso que apresenta simetria circular) da transformada de Radon bidimensional, pode ainda ser invertida pela fórmula

${\displaystyle f(x)\;=\;{\mathcal {A}}_{1}^{-1}\{A_{1}(y)\}\;=\;-{\frac {1}{\pi }}\left[{\frac {d}{dx}}\int _{x}^{\infty }{\frac {x\cdot A_{1}(y)}{y{\sqrt {y^{2}\;-\;x^{2}}}}}\;dy\right]\qquad (3e)}$^[3]

O núcleo de Abel

A equação (2a) também pode ser escrita na forma

${\displaystyle {\mathcal {A}}_{1}\{f(x)\}\;=\;A_{1}(y)\;=\;2\int _{0}^{\infty }f(x)\cdot k(x,y)\;dx\qquad k(x)\;=\;\left\{{\begin{matrix}0&:&x\;<\;y\\\\{\frac {2x}{x^{2}\;-\;y^{2}}}&:&x\;\geq \;y\end{matrix}}\right.\qquad (2e)}$

que é a forma de uma transformada integral genérica. A função k(x) é chamada o núcleo de Abel^[2].

Propriedades

Relação geral entre as transformadas

As diferentes versões da transformada de Abel mantêm entre si as seguintes igualdades:

${\displaystyle {\begin{matrix}{\mathcal {A}}_{1}\{f(x)\}\;=\;2{\mathcal {A}}_{2}\{x\cdot f(x)\}&\qquad &{\mathcal {A}}_{4}\{f(x)\}\;=\;2{\mathcal {A}}_{3}\{x\cdot f(x)\}\\\\{\mathcal {A}}_{1}\left\{{\frac {f(x)}{x}}\right\}\;=\;2{\mathcal {A}}_{2}\{f(x)\}&\qquad &{\mathcal {A}}_{4}\left\{{\frac {f(x)}{x}}\right\}\;=\;2{\mathcal {A}}_{3}\{f(x)\}\\\\f(x)\;=\;{\frac {2}{\pi }}{\frac {d}{dy}}{\mathcal {A}}_{1}\{y\cdot A_{1}(y)\}&\qquad &f(x)\;=\;-{\frac {2}{\pi }}{\frac {d}{dy}}{\mathcal {A}}_{2}\{y\cdot A_{2}(y)\}\end{matrix}}\qquad (4b)}$^[3]

O núcleo modificado de Abel

A função núcleo modificado de Abel K(y) dada por

${\displaystyle K(y)\;=\;\left\{{\begin{matrix}{\frac {1}{\sqrt {-y}}}&:&y\;<\;0\\\\0&:&y\;\geq \;0\end{matrix}}\right.\qquad (4c)}$^[2]

possui a seguinte propriedade

${\displaystyle K(y)\;*\;\left(K(y)\;*\;\left[{\frac {d}{dy}}A_{3}(y)\right]\right)\;=\;-\pi A_{3}(y)\qquad (4d)}$

(4d) pode ser reescrita em forma de operadores como

${\displaystyle \mathbf {K} \;*\;\mathbf {K} \;*\;\mathbf {\partial } \;=\;-\pi \cdot {\mathcal {A}}_{3}\qquad (4e)}$

Ou seja, duas convoluções com a função núcleo modificado equivalem à inversa da diferenciação, isto é, a uma integração. Por isso, diz-se que uma convolução equivale a "meia integração". Essa propriedade leva diretamente aos conceitos de derivada fracional e de integral fracional.^[2]

Primeiro momento

${\displaystyle \int _{^{-}\infty }^{\infty }A_{3}(y)\;dy\;=\;2\pi \int _{0}^{\infty }x\cdot f(x)\;dx\qquad (4f)}$^[2]

Valor inicial

${\displaystyle A_{3}(0)\;=\;2\int _{0}^{\infty }f(x)\;dx\qquad (4g)}$^[2]

Relação com as transformadas de Radon, de Hankel e de Fourier

Se uma função bidimensional f(x,y) possui simetria circular, podemos escrever f(x,y) = f(r). A transformada de Radon de f(r) será uma função apenas de ρ, e podemos fazer θ = 0 na fórmula de definição

${\displaystyle {\mathcal {R}}\{f(x,y)\}\;=\;\phi (\rho ,\theta )\;=\;\int _{-\infty }^{\infty }\int _{-\infty }^{\infty }f(x,y)\cdot \delta \left(\rho \;-\;x\cos(\theta )\;-\;y\sin(\theta )\right)\;dx\;dy}$

onde ${\displaystyle {\mathcal {R}}\{f(x,y)\}}$ é a transformada de Radon bidimensional de f(x,y), de forma a obter

${\displaystyle \phi (\rho )\;=\;2\int _{\rho }^{\infty }{\frac {u\cdot f(u)}{\sqrt {u^{2}\;-\;\rho ^{2}}}}\;du\qquad |\;\rho \;>\;0}$

que é a definição da transformada de Abel ${\displaystyle {\mathcal {A}}_{3}}$.

Como ${\displaystyle {\mathcal {A}}_{3}}$ é um caso especial de ${\displaystyle {\mathcal {R}}}$, vale o teorema da fatia central e podemos escrever, em forma de operadores

${\displaystyle {\mathcal {F}}_{1}{\mathcal {A}}_{3}\;=\;{\mathcal {F}}_{2}\qquad (4h)}$

onde ${\displaystyle {\mathcal {F}}_{n}}$ denota a transformada de Fourier de dimensão n. Essa propriedade é importante porque permite obter transformadas de Abel a partir de tabelas de transformadas de Fourier.

Finalmente, como a transformada de Hankel de ordem 0 ${\displaystyle {\mathcal {K}}_{0}}$ é idêntica à transformada bidimensional de Fourier para a situação considerada, de simetria circular, e como a transformada de Hankel é sua própria inversa, podemos também escrever

${\displaystyle {\mathcal {F}}_{1}{\mathcal {A}}_{3}\;=\;{\mathcal {K}}_{0}\qquad \implies {\mathcal {A}}_{3}^{-1}\;=\;{\mathcal {K}}_{0}{\mathcal {F}}_{1}\qquad (4i)}$^[6].

A expressão (4i) é conhecida como o anel (ou o ciclo) de transformadas Abel-Fourier-Hankel (ing. Abel-Fourier-Hankel ring of transforms). Cumpre recordar que a função original f precisa apresentar simetria circular para que a transformação de Abel seja aplicada.^[2]

Aplicações

Solução de equações integrais fracionárias

A equação integral de Riemann-Liouville

${\displaystyle g(x)\;=\;{\frac {1}{\Gamma (\mu )}}\int _{0}^{x}{\frac {f(y)}{(x\;-\;y)^{\mu \;-\;1}}}dy\qquad (5a)}$

onde Γ(x) é a função gama, é resolvida com ajuda da transformada de Abel ${\displaystyle {\mathcal {A}}_{4}}$ após a substituição de variáveis x = u² e y = v², e fazendo α = ½. Com isso, (5a) se transforma em

${\displaystyle {\sqrt {\pi }}\cdot \left.g(u^{2})\right|_{\mu ={\frac {1}{2}}}\;=\;2\int _{0}^{u}{\frac {vf(v^{2})}{(u^{2}\;-\;v^{2})^{\frac {1}{2}}}}\;dv\qquad (5b)}$

A equação integral de Weyl

${\displaystyle g(x)\;=\;{\frac {1}{\Gamma (\mu )}}\int _{x}^{\infty }{\frac {f(y)}{(y\;-\;x)^{\mu \;-\;1}}}dy\qquad (5c)}$

mediante a mesma substituição de variáveis, se transforma em

${\displaystyle {\sqrt {\pi }}\cdot \left.g(u^{2})\right|_{\mu ={\frac {1}{2}}}\;=\;2\int _{u}^{\infty }{\frac {vf(v^{2})}{(v^{2}\;-\;u^{2})^{\frac {1}{2}}}}\;dv\qquad (5d)}$^[5]

Tabelas de transformadas de Abel

Tabela 1 - Transformadas de Abel do tipo 1 de algumas funções f(x)^[7][2]

${\displaystyle f(x)}$[nota 2]	${\displaystyle A_{1}(y)}$
${\displaystyle \delta (x\;-\;a)}$	${\displaystyle 2a\;{\frac {\chi \left({\frac {y}{a}}\right)}{\sqrt {a^{2}\;-\;y^{2}}}}}$
${\displaystyle {\frac {\chi \left({\frac {x}{a}}\right)}{\sqrt {a^{2}\;-\;x^{2}}}}}$	${\displaystyle \pi \cdot \chi \left({\frac {y}{a}}\right)}$
${\displaystyle \chi \left({\frac {x}{a}}\right)}$	${\displaystyle 2\;{\frac {\chi \left({\frac {y}{a}}\right)}{\sqrt {a^{2}\;-\;y^{2}}}}}$
${\displaystyle \chi \left({\frac {x}{a}}\right)\cdot {\sqrt {a^{2}\;-\;x^{2}}}}$	${\displaystyle {\frac {\pi }{2}}\;\chi \left({\frac {y}{a}}\right)\cdot (a^{2}\;-\;y^{2})}$
${\displaystyle \chi \left({\frac {x}{a}}\right)\cdot (a^{2}\;-\;x^{2})}$	${\displaystyle {\frac {4}{3}}\;\chi \left({\frac {y}{a}}\right)\cdot (a^{2}\;-\;y^{2})^{\frac {3}{2}}}$
${\displaystyle \chi \left({\frac {x}{a}}\right)\cdot (a^{2}\;-\;x^{2})^{\frac {3}{2}}}$	${\displaystyle {\frac {3\pi }{8}}\;\chi \left({\frac {y}{a}}\right)\cdot (a^{2}\;-\;y^{2})^{2}}$
${\displaystyle \chi \left({\frac {x}{a}}\right)\cdot (a^{2}\;-\;x^{2})^{\frac {n-1}{2}}}$	${\displaystyle C_{n}\;\chi \left({\frac {y}{a}}\right)\cdot (a^{2}\;-\;y^{2})^{\frac {n}{2}}}$
${\displaystyle {\frac {1}{a^{2}\;+\;x^{2}}}}$	${\displaystyle {\frac {\pi }{\sqrt {a^{2}\;+\;y^{2}}}}}$
${\displaystyle e^{-x^{2}}}$	${\displaystyle {\sqrt {\pi }}\cdot e^{-y^{2}}}$
${\displaystyle x^{2}e^{-x^{2}}}$	${\displaystyle \left(y^{2}\;+\;{\frac {1}{2}}\right){\sqrt {\pi }}\cdot e^{-y^{2}}}$
${\displaystyle sinc(2ax)}$	${\displaystyle {\frac {1}{2a}}\cdot J_{0}\cdot sinc(2a\pi y)}$
${\displaystyle \cos(ax)}$	${\displaystyle -\pi \cdot y\cdot J_{1}(ay)}$
${\displaystyle J_{0}(ax)}$	${\displaystyle {\frac {2}{a}}\cos(ay)}$
${\displaystyle {\frac {1}{x}}J_{1}(ax)}$	${\displaystyle {\frac {2}{ay}}\sin(ay)}$
${\displaystyle {\frac {1}{x}}J_{2n}(2ax)}$	${\displaystyle -\pi \cdot J_{n}(ay)\cdot Y_{n}(ay)}$
${\displaystyle {\frac {1}{x}}Y_{2n}(2ax)}$	${\displaystyle {\frac {\pi }{2}}\left[J_{n}^{2}(ay)\;-\;Y_{n}^{2}(ay)\right]}$

Tabela 2 - Transformadas de Abel do tipo 2 de algumas funções f(x)^[7]

${\displaystyle f(x)}$[nota 2]	${\displaystyle A_{2}(y)}$
${\displaystyle {\frac {\chi \left({\frac {x}{a}}\right)}{\sqrt {a^{2}\;-\;x^{2}}}}}$	${\displaystyle {\frac {1}{a}}\cdot F\left({\frac {\pi }{2}},{\sqrt {1\;-\;{\frac {y}{a}}}}\right)\qquad |\;y\;<\;a}$
${\displaystyle \chi \left({\frac {x}{a}}\right)}$	${\displaystyle \ln \left({\frac {a\;+\;{\sqrt {a^{2}\;-\;y^{2}}}}{y}}\right)\qquad |\;y\;<\;a}$
${\displaystyle \delta (x\;-\;a)}$	${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {a^{2}\;-\;y^{2}}}}\qquad |\;y\;<\;a}$
${\displaystyle \chi \left({\frac {x}{a}}\right)\cdot {\sqrt {a^{2}\;-\;x^{2}}}}$	${\displaystyle a\cdot \left[F\left({\frac {\pi }{2}},{\sqrt {1\;-\;{\frac {y}{a}}}}\right)\;-\;E\left({\frac {\pi }{2}},{\sqrt {1\;-\;{\frac {y}{a}}}}\right)\right]\qquad |\;y\;<\;a}$
${\displaystyle {\frac {x^{2}\cdot \chi \left({\frac {x}{a}}\right)}{\sqrt {a^{2}\;-\;x^{2}}}}}$	${\displaystyle a\cdot E\left({\frac {\pi }{2}},{\sqrt {1\;-\;{\frac {y}{a}}}}\right)\qquad |\;y\;<\;a}$
${\displaystyle (a\;-\;x)\cdot \chi \left({\frac {x}{a}}\right)}$	${\displaystyle \ln \left({\frac {a\;+\;{\sqrt {a^{2}\;-\;y^{2}}}}{y}}\right)\;-\;{\sqrt {a^{2}\;-\;y^{2}}}\qquad |\;y\;<\;a}$
${\displaystyle \sin(ax)}$	${\displaystyle {\frac {\pi }{2}}\;J_{0}(ay)}$
${\displaystyle x\cdot \cos(ax)}$	${\displaystyle -{\frac {\pi }{2}}\cdot y\cdot J_{1}(ay)}$
${\displaystyle x\cdot J_{0}(ax)}$	${\displaystyle {\frac {1}{a}}\;\cos(ay)}$

Tabela 3 - Transformadas de Abel do tipo 3 de algumas funções f(x)^[7]

${\displaystyle f(x)}$[nota 2]	${\displaystyle A_{3}(y)}$
${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {a^{2}\;-\;x^{2}}}}}$	${\displaystyle {\frac {1}{a}}\;F\left({\frac {\pi }{2}},{\frac {y}{a}}\right)\qquad |\;y\;<\;a}$
${\displaystyle \chi \left({\frac {x}{a}}\right)}$	${\displaystyle \arcsin \left({\frac {a}{y}}\right)\qquad |\;y\;>\;a}$
${\displaystyle \delta (x\;-\;a)}$	${\displaystyle {\sqrt {y^{2}\;-\;a^{2}}}\qquad |\;y\;>\;a}$
${\displaystyle {\sqrt {a^{2}\;-\;x^{2}}}}$	${\displaystyle a\;E\left({\frac {\pi }{2}},{\frac {y}{a}}\right)\qquad |\;y\;<\;a}$
${\displaystyle {\frac {x^{2}}{\sqrt {a^{2}\;-\;x^{2}}}}}$	${\displaystyle a\cdot \left[F\left({\frac {\pi }{2}},{\frac {y}{a}}\right)\;-\;E\left({\frac {\pi }{2}},{\frac {y}{a}}\right)\right]\qquad |\;y\;<\;a}$
${\displaystyle (a\;-\;x)}$	${\displaystyle {\frac {a\pi }{2}}\;-\;y\qquad |\;y\;<\;a}$
${\displaystyle \cos(ax)}$	${\displaystyle {\frac {\pi }{2}}\;J_{0}(ay)}$
${\displaystyle x\cdot \sin(ax)}$	${\displaystyle {\frac {\pi }{2}}\cdot y\cdot J_{1}(ay)}$
${\displaystyle x\cdot J_{0}(ax)}$	${\displaystyle {\frac {1}{a}}\;\sin(ay)}$
${\displaystyle J_{2n}(ax)}$	${\displaystyle {\frac {\pi }{2}}\cdot \left[J_{n}\left({\frac {ay}{2}}\right)\right]^{2}}$
${\displaystyle x^{n+1}\cdot J_{n}(ax)}$	${\displaystyle {\sqrt {\frac {\pi }{2a}}}\;y^{n+{\frac {1}{2}}}\cdot J_{n+{\frac {1}{2}}}(ay)}$
onde: ${\displaystyle \chi (x)\,}$ é a função indicadora para o círculo de raio unitário[nota 3] ${\displaystyle \delta (x)\,}$ é a função impulso unitário ${\displaystyle sinc(x)\,}$ é a função seno cardinal ${\displaystyle J_{n}(x)\,}$ é a função de Bessel de primeira espécie de ordem n ${\displaystyle Y_{n}(x)\,}$ é a função de Bessel de segunda espécie de ordem n ${\displaystyle F(x)\,}$ é a integral elíptica de primeira espécie ${\displaystyle E(x)\,}$ é a integral elíptica de segunda espécie ${\displaystyle C_{n}\,}$ é o valor da integral ${\displaystyle 2\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}\cos ^{n}(x)\;dx}$[nota 4] ${\displaystyle a\in {\mathcal {R}}\;|\;a\;>\;0}$ ${\displaystyle n\in {\mathcal {N}}}$

Notas

Ver também

• Teorema da convolução
• Lista de transformadas relacionadas à transformada de Fourier

Referências