Mediană

Medianele și centrul de greutate al triunghiului.

Mediana într-un triunghi este segmentul (ceviană) determinat de un vârf al triunghiului și mijlocul laturii opuse acestuia. Există trei mediane corespunzătoare celor trei laturi ale triunghiului. Acestea se intersectează într-un punct numit centrul de greutate al triunghiului.

Proprietăți

Concurența medianelor într-un triunghi

Toate cele trei mediane ale unui triunghi sunt concurente într-un punct G numit centru de greutate al acestuia. Centrul de greutate se găsește pe fiecare mediană la 1/3 de mijlocul laturii pe care cade mediana și 2/3 de vârful triunghiului din care pleacă mediana.[1][2]

Împărțirea egală a ariilor

Ca o consecință imediată a proprietății anterioare, rezultă că fiecare mediană împarte triunghiul în alte două triunghiuri de arii egale (echivalente).[3] Toate cele trei mediane împart triunghiul în 6 triunghiuri mai mici având arii egale.

Demonstrație directă

În figura alăturată se observă că D F {\displaystyle DF} este linia mijlocie a triunghiului : A B C {\displaystyle ABC} , opusă laturii B C {\displaystyle BC} . Prin urmare, este paralelă cu B C {\displaystyle BC} și are lungimea egală cu B C 2 {\displaystyle {\frac {BC}{2}}} .

Deoarece BC || DF rezultă egalitatea unghiurilor:

O C B = O D F {\displaystyle OCB=ODF}

și

O B C = O F D {\displaystyle OBC=OFD}

fiind alterne interne. Prin urmare, triunghiurile Δ O B C {\displaystyle \Delta OBC} și Δ O F D {\displaystyle \Delta OFD} sunt asemenea. Rezultă că

O F O B {\displaystyle {\frac {OF}{OB}}} = O D O C {\displaystyle {\frac {OD}{OC}}} = F D B C {\displaystyle {\frac {FD}{BC}}} = 1 2 {\displaystyle {\frac {1}{2}}}

Demonstrație prin teorema lui Ceva

Deoarece:

A F F C {\displaystyle {\frac {AF}{FC}}} = C E E B {\displaystyle {\frac {CE}{EB}}} = B D D A {\displaystyle {\frac {BD}{DA}}} = 1, rezultă că și : A F F C {\displaystyle {\frac {AF}{FC}}} . C E E B {\displaystyle {\frac {CE}{EB}}} . B D D A {\displaystyle {\frac {BD}{DA}}} =1. Deci, conform teoremei reciproce pentru teorema lui Ceva medianele sunt concurente.

Lungimea medianei

Folosind teorema lui Stewart, lungimea medianei corespunzătoare laturii a este egală cu:

m a = 2 b 2 + 2 c 2 − a 2 4 {\displaystyle m_{a}={\sqrt {\frac {2b^{2}+2c^{2}-a^{2}}{4}}}} .

Alte proprietăți

  • Într-un triunghi dreptunghic, mediana corespunzătoare ipotenuzei are o lungime egală cu jumătate din cea a ipotenuzei.
  • Medianele unui triunghi dreptunghic având ipotenuza c satisfac proprietatea m a 2 + m b 2 = 5 m c 2 . {\displaystyle m_{a}^{2}+m_{b}^{2}=5m_{c}^{2}.}
  • Medianele corespunzătoare laturilor a și b sunt perpendiculare dacă și numai dacă a 2 + b 2 = 5 c 2 . {\displaystyle a^{2}+b^{2}=5c^{2}.} [4]
  • Între lungimile laturilor unui triunghi și lungimile medianelor există relația:[5]
3 4 ( a 2 + b 2 + c 2 ) = m a 2 + m b 2 + m c 2 . {\displaystyle {\tfrac {3}{4}}(a^{2}+b^{2}+c^{2})=m_{a}^{2}+m_{b}^{2}+m_{c}^{2}.}
  • Se poate exprima aria unui triunghi, T, în funcție de lungimile medianelor ma, mb și mc și semisuma lungimilor medianelor (ma + mb + mc)/2 notată σ, când se obține:[6]
T = 4 3 σ ( σ − m a ) ( σ − m b ) ( σ − m c ) . {\displaystyle T={\frac {4}{3}}{\sqrt {\sigma (\sigma -m_{a})(\sigma -m_{b})(\sigma -m_{c})}}.}

Note

  1. ^ Weisstein, Eric W. (). CRC Concise Encyclopedia of Mathematics, Second Edition. CRC Press. pp. 375–377. ISBN 9781420035223. 
  2. ^ Algebra.com
  3. ^ Bottomley, Henry. „Medians and Area Bisectors of a Triangle”. Accesat în . 
  4. ^ Boskoff, Homentcovschi, and Suceava (2009), Mathematical Gazette, Note 93.15.
  5. ^ Posamentier, Alfred S., and Salkind, Charles T., Challenging Problems in Geometry, Dover, 1996: pp. 86-87.
  6. ^ Benyi, Arpad, "A Heron-type formula for the triangle," Mathematical Gazette" 87, July 2003, 324–326.

Vezi și

Commons
Commons
Wikimedia Commons conține materiale multimedia legate de Mediană
  • triunghi;
  • bisectoarele;
  • înălțime (geometrie);
  • mediatoare;
  • linia mijlocie