Teorema lui Pitagora: a 2 + b 2 = c 2 Animație ce demonstrează cel mai simplu caz de triplet pitagoreic: 32 + 42 = 52 . Un triplet pitagoreic este format din trei numere naturale nenule a , b și c , cu proprietatea că a 2 + b 2 = c 2 (a , b , c ) , iar printre exemplele cele mai întâlnite se numără tripletul (3, 4, 5) . [1] (a , b , c ) este un triplet pitagoreic, atunci (ka , kb , kc ) este tot un triplet pitagoreic pentru oricare număr întreg pozitiv k . Un triplet pitagoreic primitiv este un triplet format din a , b și c astfel încât numerele să fie prime între ele .
Numele este derivat din denumirea teoremei lui Pitagora; astfel, tripletele pitagoreice descriu trei laturi de lungime numere naturale ale unui triunghi dreptunghic.
Forma generală Forma generală a unui triplet pitagoreic este dată de relațiile:
a
=
m
2
−
n
2
,
b
=
2
m
n
,
c
=
m
2
+
n
2
{\displaystyle a=m^{2}-n^{2},\quad b=2mn,\quad c=m^{2}+n^{2}}
m
,
n
{\displaystyle m,n}
numere prime între ele și
m
>
n
.
{\displaystyle m>n.}
Acest rezultat se poate folosi și pentru rezolvarea unor ecuații diofantice.
Exemplu Ecuația pitagoreică „negativă”: x − 2 + y − 2 = z − 2 {\displaystyle x^{-2}+y^{-2}=z^{-2}}
Se prelucrează ecuația 1 x 2 + 1 y 2 = 1 z 2 {\displaystyle {\frac {1}{x^{2}}}+{\frac {1}{y^{2}}}={\frac {1}{z^{2}}}}
x 2 + y 2 x 2 y 2 = 1 z 2 , {\displaystyle {\frac {x^{2}+y^{2}}{x^{2}y^{2}}}={\frac {1}{z^{2}}},}
x 2 + y 2 = ( x y z ) 2 . {\displaystyle x^{2}+y^{2}=({\frac {xy}{z}})^{2}.} ( x , y , z ) {\displaystyle (x,y,z)} z | x y {\displaystyle z|xy} x 2 + y 2 {\displaystyle x^{2}+y^{2}} pătrat perfect .
Notând m x 2 + y 2 = t 2 , t ∈ N ∗ {\displaystyle x^{2}+y^{2}=t^{2},\quad t\in \mathbb {N} ^{*}}
t = x y z {\displaystyle t={\frac {xy}{z}}}
Fie d = ( x , y , t ) {\displaystyle d=(x,y,t)} x = a d , y = b d , t = c d , {\displaystyle x=ad,\quad y=bd,\quad t=cd,} a , b , c ∈ Z + {\displaystyle a,b,c\in \mathbb {Z} _{+}} ( a , b , c ) = 1 {\displaystyle (a,b,c)=1}
Ecuația va fi echivalentă cu
z = a b d c {\displaystyle z={\frac {abd}{c}}}
Din notarea ecuației cu t {\displaystyle t}
a 2 + b 2 = c 2 {\displaystyle a^{2}+b^{2}=c^{2}}
Din z = a b d c {\displaystyle z={\frac {abd}{c}}} z {\displaystyle z} c | d {\displaystyle c|d} d = k c , k ∈ N {\displaystyle d=kc,k\in \mathbb {N} }
Prin urmare
x = a d = k a c , y = b d = k b c , t = c d = k c 2 , z = k a b {\displaystyle x=ad=kac,\quad y=bd=kbc,\quad t=cd=kc^{2},\quad z=kab}
Ecuația a 2 + b 2 = c 2 {\displaystyle a^{2}+b^{2}=c^{2}}
a = m 2 − n 2 , b = 2 m n , c = m 2 + n 2 . {\displaystyle a=m^{2}-n^{2},\quad b=2mn,\quad c=m^{2}+n^{2}.}
Soluțiile ecuației date sunt:
x = k ( m 4 − n 4 ) , y = 2 k m n ( m 2 + n 2 ) , z = 2 k m n ( m 2 − n 2 ) , {\displaystyle x=k(m^{4}-n^{4}),\quad y=2kmn(m^{2}+n^{2}),\quad z=2kmn(m^{2}-n^{2}),} k , m , n ∈ Z + {\displaystyle k,m,n\in \mathbb {Z} _{+}} m > n {\displaystyle m>n} [2]
Referințe ^ Câteva probleme privind triplete pitagoreice, Mircea Crâșmăreanu; accesat pe 26 martie 2015 ^ Titu Andreescu, Dorin Andrica, „O introducere în studiul Ecuațiilor diofantiene”, Editura Gil, 2002.
Legături externe Eric W. Weisstein, Pythagorean Triple la MathWorld. Pythagorean Triples la cut-the-knot Aplicație interactivă ilustrând relația dintre cercul unitate și tripletele pitagoreice (engleză) 
