Hiperbolična trigonometrija

Hiperbolična trigonometrija ima svoju ulogu u geometriji Lobačevskog. Koristi se za proučavanje otpornosti materijala, u elektrotehnici, statičkim proračunima visećih mostova u građevinarstvu i drugim granama nauke. U matematici se hiperbolične funkcije koriste, na primer, za rešavanje integrala gde se pojavljuje ( 1 + x 2 ) , {\displaystyle \surd (1+x^{2}),} za razliku od oblika ( 1 x 2 ) {\displaystyle \surd (1-x^{2})} gde se koristi obična, tj. ravninska trigonometrija.

Hiperbolične funkcije

Hiperbolične funkcije je uveo u upotrebu italijanski matematičar Vinčenco Rikati (Vincenzo Riccati, 1707-1775). On je koristio oznake Sh. i Ch. za hiperbolni sinus i kosinus. Teoriju je dalje razvio Lambert (Johann Heinrich Lambert, 1728-1777. Histoire de l'académie Royale des sciences et des belles-lettres de Berlin, tom. XXIV, str. 327 (1768)), negde oko 1771, upotrebljavajući sinh i cosh. Kod nas se za hiperbolne funkcije koriste oznake sh x, ch x, th x, cth x, sech x, cosech x, ali ovde sledimo skraćenice koje podržava Vikipedijin softver, tj. Lateh, a to su uobičajene anglosaksonske oznake.

Definicija hiperboličnih funkcija

Sinus hiperbolični, kosinus hiperbolični i tangens hiperbolični određeni su formulama:

sinh x = e x e x 2 , {\displaystyle \sinh x={\frac {e^{x}-e^{-x}}{2}},}
cosh x = e x + e x 2 , {\displaystyle \cosh x={\frac {e^{x}+e^{-x}}{2}},}
tanh x = e x e x e x + e x . {\displaystyle \tanh x={\frac {e^{x}-e^{-x}}{e^{x}+e^{-x}}}.}
  • Sl.1. Graf sinusa hiperboličnog (plave boje, donji), i kosinus (crven, iznad)
    Sl.1. Graf sinusa hiperboličnog (plave boje, donji), i kosinus (crven, iznad)
  • Sl.2. Graf tangensa hiperboličnog (plav)
    Sl.2. Graf tangensa hiperboličnog (plav)
  • Sl.3. Graf kotangensa hiperboličnog (crven)
    Sl.3. Graf kotangensa hiperboličnog (crven)

Kotangens hiperbolični, sekans hiperbolični i kosekans hiperbolični su recipročne vrednosti:

coth x = 1 tanh x = e x + e x e x e x , {\displaystyle \coth x={\frac {1}{\tanh x}}={\frac {e^{x}+e^{-x}}{e^{x}-e^{-x}}},}
sech x = 1 cosh x = 2 e x + e x , {\displaystyle \operatorname {sech} x={\frac {1}{\cosh x}}={\frac {2}{e^{x}+e^{-x}}},}
csch x = 1 sinh x = 2 e x e x . {\displaystyle \operatorname {csch} x={\frac {1}{\sinh x}}={\frac {2}{e^{x}-e^{-x}}}.}
  • Sl.4. Graf sekansa hiperboličnog (crven)
    Sl.4. Graf sekansa hiperboličnog (crven)
  • Sl.5. Graf kosekansa hiperboličnog (plav)
    Sl.5. Graf kosekansa hiperboličnog (plav)

Geometrijsko određivanje hiperboličnih funkcija analogno je određivanju trigonometrijskih funkcija sinus, kosinus, tangens (v. ravninska trigonometrija).

Geometrijsko određivanje

U trigonometrijskom krugu definisane su funkcije sin x , cos x , tan x {\displaystyle \sin x,\;\cos x,\;\tan x} kao odsečci BC, OB, AD (poluprečnik r=1), a ugao α je centralni ugao AOC. Isti ugao smo mogli definisati i kao površinu Pk dvostrukog kružnog isečka COK (sl.6. šrafirano).

  • Sl.6. Trigonometrijska kružnica
    Sl.6. Trigonometrijska kružnica
  • Sl.7. Trigonometrijska hiperbola
    Sl.7. Trigonometrijska hiperbola

Naime, kada je ugao AOC, tj. α u radijanima, tada dvostruki centralni isečak COK ima površinu P k = 1 2 r 2 2 α = α . {\displaystyle P_{k}={\frac {1}{2}}r^{2}\cdot 2\alpha =\alpha .} Uzimajući analognu funkciju površine, ali ne za kružnicu x 2 + y 2 = 1 , {\displaystyle x^{2}+y^{2}=1,} nego za istostranu hiperbolu x 2 y 2 = 1 , {\displaystyle x^{2}-y^{2}=1,} i označavajući sa P h = x {\displaystyle P_{h}=x} površinu analognog sektora COK (šrafirano na sl.7.), definišemo hiperbolne funkcije: sh x = BC, ch x = OB, th x = AB, odnosno istim redom sinh x, cosh x, tanh x, tj. sinus, kosinus i tangens hiperbolni.

Kada površinu h izračunamo (v. određeni integral) dobijamo izraze za BC, OB, AD:

x = ln ( B C + B C 2 + 1 ) = ln ( O B + O B 2 1 ) = 1 2 ln 1 + A D 1 A D , {\displaystyle x=\ln(BC+{\sqrt {BC^{2}+1}})=\ln(OB+{\sqrt {OB^{2}-1}})={\frac {1}{2}}\ln {\frac {1+AD}{1-AD}},}

dakle za hiperbolne funkcije dobijamo prethodno navedene izraze u eksponencijalnom obliku:

B C = e x e x 2 = sinh x , {\displaystyle BC={\frac {e^{x}-e^{-x}}{2}}=\sinh x,}
O B = e x + e x 2 = cosh x , {\displaystyle OB={\frac {e^{x}+e^{-x}}{2}}=\cosh x,}
A D = e x e x e x + e x = tanh x . {\displaystyle AD={\frac {e^{x}-e^{-x}}{e^{x}+e^{-x}}}=\tanh x.}

Trigonometrijske veze

sin z = i sinh z , sinh z = i sin i z , {\displaystyle \sin z=-i\sinh z,\quad \sinh z=-i\sin iz,}
cos z = i cosh z , cosh z = i cos i z , {\displaystyle \cos z=i\cosh z,\quad \cosh z=i\cos iz,}
tan z = i tanh z , tanh z = i tan i z , {\displaystyle \tan z=-i\tanh z,\quad \tanh z=-i\tan iz,}
cot z = i sinh z , coth z = i cot i z . {\displaystyle \cot z=i\sinh z,\quad \coth z=i\cot iz.}

Svaka formula koja povezuje hiperbolične funkcije argumenta h ili ah, ali ne ax+b, može se dobiti iz odgovarajuće formule koja povezuje obične trigonometrijske funkcije ugla z zamenom sin z {\displaystyle \sin z\,} sa i sinh x {\displaystyle i\sinh x\,} i zamenom cos z {\displaystyle \cos z\,} sa cosh x . {\displaystyle \cosh x.\,} Na primer:

cos 2 z + sin 2 z = 1 {\displaystyle \cos ^{2}z+\sin ^{2}z=1\,} prelazi u cosh 2 x sinh 2 x = 1 , {\displaystyle \cosh ^{2}x-\sinh ^{2}x=1,\,}
sin 2 z = 2 sin y cos z , {\displaystyle \sin 2z=2\sin y\cos z,\,} prelazi u sinh 2 x = 2 sinh x cosh x . {\displaystyle \sinh 2x=2\sinh x\cosh x.\,}

Osnovne formule

Za hiperbolne funkcije vrede formule analogne formulama za funkcije obične trigonometrije.

Funkcije jednog argumenta

cosh 2 x sinh 2 x = 1 , sech 2 x + tanh 2 x = 1 , {\displaystyle \cosh ^{2}x-\sinh ^{2}x=1,\quad \operatorname {sech} ^{2}x+\tanh ^{2}x=1,}
coth 2 x csch 2 x = 1 , tanh x coth x = 1 , {\displaystyle \coth ^{2}x-\operatorname {csch} ^{2}x=1,\quad \tanh x\cdot \coth x=1,}
sinh x cosh x = tanh x , cosh x sinh x = coth x . {\displaystyle {\frac {\sinh x}{\cosh x}}=\tanh x,\quad {\frac {\cosh x}{\sinh x}}=\coth x.}

Međusobno izražavanje

sinh x = cosh 2 x 1 = tanh x 1 tan 2 x = 1 coth 2 x 1 , {\displaystyle \sinh x={\sqrt {\cosh ^{2}x-1}}={\frac {\tanh x}{\sqrt {1-\tan ^{2}x}}}={\frac {1}{\sqrt {\coth ^{2}x-1}}},}
cosh x = sinh 2 x + 1 = 1 1 tanh 2 x = coth x cot 2 x 1 , {\displaystyle \cosh x={\sqrt {\sinh ^{2}x+1}}={\frac {1}{\sqrt {1-\tanh ^{2}x}}}={\frac {\coth x}{\sqrt {\cot ^{2}x-1}}},}
tanh x = sinh x sinh 2 x + 1 = cosh 2 x 1 cosh x = 1 coth x , {\displaystyle \tanh x={\frac {\sinh x}{\sqrt {\sinh ^{2}x+1}}}={\frac {\sqrt {\cosh ^{2}x-1}}{\cosh x}}={\frac {1}{\coth x}},}
coth x = sinh 2 x + 1 sinh x = cosh x cosh 2 x 1 = 1 tanh x . {\displaystyle \coth x={\frac {\sqrt {\sinh ^{2}x+1}}{\sinh x}}={\frac {\cosh x}{\sqrt {\cosh ^{2}x-1}}}={\frac {1}{\tanh x}}.}

Zbir i razlika argumenata

sinh ( x ± y ) = sinh x cosh y ± cosh x sinh y , {\displaystyle \sinh(x\pm y)=\sinh x\cosh y\pm \cosh x\sinh y,}
cosh ( x ± y ) = cosh x cosh y ± sinh x sinh y , {\displaystyle \cosh(x\pm y)=\cosh x\cosh y\pm \sinh x\sinh y,}
tanh ( x ± y ) = tanh x ± tanh y 1 ± tanh x tanh y , coth ( x ± y ) = 1 ± coth x coth y coth x ± coth y . {\displaystyle \tanh(x\pm y)={\frac {\tanh x\pm \tanh y}{1\pm \tanh x\tanh y}},\quad \coth(x\pm y)={\frac {1\pm \coth x\coth y}{\coth x\pm \coth y}}.}

Funkcije dvostrukog argumenta

sinh 2 x = 2 sinh x cosh x , cosh 2 x = sinh 2 x + cosh 2 x , {\displaystyle \sinh 2x=2\sinh x\cosh x,\quad \cosh 2x=\sinh ^{2}x+\cosh ^{2}x,}
tanh 2 x = 2 tanh x 1 + tanh 2 x , coth 2 x = 1 + coth 2 x 2 coth x . {\displaystyle \tanh 2x={\frac {2\tanh x}{1+\tanh ^{2}x}},\quad \coth 2x={\frac {1+\coth ^{2}x}{2\coth x}}.}

Moavrova hiperbolična formula

( cosh x ± sinh x ) n = cosh n x ± sinh n x {\displaystyle (\cosh x\pm \sinh x)^{n}=\cosh nx\pm \sinh nx}

Funkcije polovine argumenta

sinh x 2 = ± cosh x 1 2 , {\displaystyle \sinh {\frac {x}{2}}=\pm {\sqrt {\frac {\cosh x-1}{2}}},} + za x>0, - za x<0,
cosh x 2 = cosh x + 1 2 , {\displaystyle \cosh {\frac {x}{2}}={\sqrt {\frac {\cosh x+1}{2}}},}
tanh x 2 = cosh x 1 sinh x = sinh x cosh x + 1 , coth x 2 = sinh x cosh x 1 = cosh x + 1 sinh x . {\displaystyle \tanh {\frac {x}{2}}={\frac {\cosh x-1}{\sinh x}}={\frac {\sinh x}{\cosh x+1}},\quad \coth {\frac {x}{2}}={\frac {\sinh x}{\cosh x-1}}={\frac {\cosh x+1}{\sinh x}}.}

Zbir i razlika funkcija

sinh x ± sinh y = 2 sinh x ± y 2 cosh x y 2 , {\displaystyle \sinh x\pm \sinh y=2\sinh {\frac {x\pm y}{2}}\cosh {\frac {x\mp y}{2}},}
cosh x + cosh y = 2 cosh x + y 2 cosh x y 2 , {\displaystyle \cosh x+\cosh y=2\cosh {\frac {x+y}{2}}\cosh {\frac {x-y}{2}},}
cosh x cosh y = 2 sinh x + y 2 sinh x y 2 , {\displaystyle \cosh x-\cosh y=2\sinh {\frac {x+y}{2}}\sinh {\frac {x-y}{2}},}
tanh x ± tanh y = sinh ( x ± y ) cosh x cosh y . {\displaystyle \tanh x\pm \tanh y={\frac {\sinh(x\pm y)}{\cosh x\cosh y}}.}

Inverzne (Area) funkcije

Nazivi area-sinus, area-kosinus, area-tangens i area-kotangens potiču od reči area (površina) jer area-funkcije možemo predstaviti površinom hiperboličnog sektora. One su inverzne funkcijama sinus hiperbolni, kosinus hiperbolni, tangens hiperbolni i kotangens hiperbolni, tj. ako je y = sinh x {\displaystyle y=\sinh x\,} tada je x = A r sinh y , {\displaystyle x=Ar\sinh y,\,} itd:

y = A r sinh x {\displaystyle y=Ar\sinh x\,} area-sinus, ako je x = sinh y , {\displaystyle x=\sinh y,\,}
y = A r cosh x {\displaystyle y=Ar\cosh x\,} area-kosinus, ako je x = cosh y , {\displaystyle x=\cosh y,\,}
y = A r tanh x {\displaystyle y=Ar\tanh x\,} area-tangens, ako je x = tanh y , {\displaystyle x=\tanh y,\,}
y = A r coth x {\displaystyle y=Ar\coth x\,} area-kotangens, ako je x = coth y . {\displaystyle x=\coth y.\,}

Izražavanje logaritmima

A r sinh x = ln ( x + x 2 + 1 ) , {\displaystyle Ar\sinh x=\ln(x+{\sqrt {x^{2}+1}}),}
A r cosh x = ± ln ( x + x 2 1 ) , x 1 , {\displaystyle Ar\cosh x=\pm \ln(x+{\sqrt {x^{2}-1}}),\;x\geq 1,}
A r tanh x = 1 2 ln 1 + x 1 x , | x | < 1 , {\displaystyle Ar\tanh x={\frac {1}{2}}\ln {\frac {1+x}{1-x}},\;|x|<1,}
A r coth x = 1 2 ln x + 1 x 1 , | x | > 1. {\displaystyle Ar\coth x={\frac {1}{2}}\ln {\frac {x+1}{x-1}},\;|x|>1.}

Međusobno izražavanje inverznih

A r sinh x = ± A r cosh x 2 + 1 = A r tanh x x 2 + 1 = A r coth x 2 + 1 x , {\displaystyle Ar\sinh x=\pm ^{*}Ar\cosh {\sqrt {x^{2}+1}}=Ar\tanh {\frac {x}{\sqrt {x^{2}+1}}}=Ar\coth {\frac {\sqrt {x^{2}+1}}{x}},}
A r cosh x = ± A r sinh x 2 1 = ± A r tanh x 2 1 x = ± A r cosh x x 2 1 , {\displaystyle Ar\cosh x=\pm Ar\sinh {\sqrt {x^{2}-1}}=\pm Ar\tanh {\frac {\sqrt {x^{2}-1}}{x}}=\pm Ar\cosh {\frac {x}{\sqrt {x^{2}-1}}},}
A r tanh x = A r sinh x 1 x 2 = ± A r cosh 1 1 x 2 = A r coth 1 x , {\displaystyle Ar\tanh x=Ar\sinh {\frac {x}{\sqrt {1-x^{2}}}}=\pm ^{*}Ar\cosh {\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}}=Ar\coth {\frac {1}{x}},}
A r coth x = A r sinh 1 x 2 1 = ± A r cosh x x 2 1 = A r tanh 1 x . {\displaystyle Ar\coth x=Ar\sinh {\frac {1}{\sqrt {x^{2}-1}}}=\pm ^{*}Ar\cosh {\frac {x}{\sqrt {x^{2}-1}}}=Ar\tanh {\frac {1}{x}}.}

Uz indeks * ide predznak + za h pozitivno, - za h negativno.

Odnosi među inverznim

A r sinh x ± A r sinh y = A r sinh ( x 1 + y 2 ± y 1 + x 2 ) , {\displaystyle Ar\sinh x\pm Ar\sinh y=Ar\sinh(x{\sqrt {1+y^{2}}}\pm y{\sqrt {1+x^{2}}}),}
A r cosh x ± A r cosh y = A r cosh ( x y ± ( x 2 1 ) ( y 2 1 ) ) , {\displaystyle Ar\cosh x\pm Ar\cosh y=Ar\cosh(xy\pm {\sqrt {(x^{2}-1)(y^{2}-1)}}),}
A r tanh x ± A r tanh y = A r tanh x ± y 1 ± x y . {\displaystyle Ar\tanh x\pm Ar\tanh y=Ar\tanh {\frac {x\pm y}{1\pm xy}}.}

Povezano