Linearna jednačina

Grafički primer linearne jednačine.

Linearna jednačina je algebrska jednačina u kojoj je svaki član bilo konstanta ili proizvod konstante i jedne promenljive prvog reda.

O pravcu se može razmišljati kao o najkraćoj udaljenosti između dviju točaka ili kao o krivulji s beskonačno velikim radijusom zakrivljenosti. Pojmovi kao što su točke i pravci te njihovi jednostavni i složeniji odnosi u prostoru jedan su od temelja Euklidske geometrije, a kasnije i analitičke geometrije kakvu je danas poznajemo.

Jednadžba pravca

Implicitna jednadžba pravca

Razmatramo li jednakost oblika

A x + B y + C = 0 {\displaystyle Ax+By+C=0\,}

ustanovit ćemo da postoji beskonačan broj parova x,y koji udovoljavaju jednakosti. Kako svaki uređen par brojeva u kartezijanskom koordinatnom sustavu x0y određuje koordinate jedne točke, grafički prikaz svih točaka daje nam sliku pravca u ravnini, a gore prikazanu jednadžbu nazivamo implicitnom ili općom jednadžbom pravca.

Eksplicitna jednadžba pravca

Preuredimo li implicitnu jednadžbu pravca

A x + B y + C = 0 {\displaystyle Ax+By+C=0\,}

u drugi oblik kako slijedi

B y = − A x − C {\displaystyle By=-Ax-C\,}
y = − A B x − C B {\displaystyle y=-{\frac {A}{B}}x-{\frac {C}{B}}\,}

naći ćemo i eksplicitnu jednadžbu pravca koja se može zapisati i u obliku

y = a x + b {\displaystyle y=ax+b\,}

gdje a i b ovise o A, B i C na način da je

a = − A B {\displaystyle a=-{\frac {A}{B}}}
b = − C B {\displaystyle b=-{\frac {C}{B}}}

Eksplicitna jednadžba pravca izravno prikazuje koficijent smjera pravca, odn. nagib pravca a te odsječak b koji pravac određuje na y-osi, odn. ordinati.

Segmentna jednadžba pravca

Grafički prikaz pravca y=ax+b i njegovih odsječaka na osima x i y.

Preuredimo li sada eksplicitnu jednadžbu pravca

y = a x + b {\displaystyle y=ax+b\,}

u treći oblik kako slijedi

y − a x = b {\displaystyle y-ax=b\,}
y b − a x b = 1 {\displaystyle {\frac {y}{b}}-{\frac {ax}{b}}=1\,}
y b + x − b a = 1 {\displaystyle {\frac {y}{b}}+{\frac {x}{\frac {-b}{a}}}=1\,}

naći ćemo i jednadžbu pravca u segmentnom obliku gdje su b i -b/a segmenti ili odsječci na y, odn. x-osi. Segmentna jednadžba pravca može se zapisati i u sljedećem obliku

x m + y n = 1 {\displaystyle {\frac {x}{m}}+{\frac {y}{n}}=1\,}

gdje su

m = − b a , {\displaystyle m=-{\frac {b}{a}},\,}
n = b . {\displaystyle n=b.\,}

Druge oznake

Ponekad se implicitna jednadžba pravca iskazuje u obliku

a x + b y + c = 0 {\displaystyle ax+by+c=0\,}

gdje se tada eksplicitna jednadžba pravca prikazuje kao

y = k x + l {\displaystyle y=kx+l\,}

gdje je k koeficijent smjer pravca, a l odsječak na y-osi.

Određenost pravca

Pravac je u ravnini određen ili sa zadanom točkom kroz koju prolazi pravac i koeficijentom smjera ili s dvjema zadanim točkama kroz koje pravac prolazi.

Pravac određen točkom i koeficijentom smjera

Neka je pravac određen točkom ″ T ″ ( x 1 , y 1 ) {\displaystyle ''T''(x_{1},y_{1})} i koeficijentom smjera a. Jednadžba pravca se u tom slučaju uobičajeno prikazuje u obliku

y − y 1 = a ( x − x 1 ) {\displaystyle y-y_{1}=a(x-x_{1})\,} .

Pravac određen dvjema točkama

Pravac je po definiciji određen dvjema točkama koje nisu jednake, a jednadžba pravca koji prolazi kroz dvije točke ″ T 1 ″ ( x 1 , y 1 ) {\displaystyle ''T_{1}''(x_{1},y_{1})} i ″ T 2 ″ ( x 2 , y 2 ) {\displaystyle ''T_{2}''(x_{2},y_{2})} prikazuje se uobičajeno u obliku

y − y 1 = y 2 − y 1 x 2 − x 1 ( x − x 1 ) {\displaystyle y-y_{1}={\frac {y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}}(x-x_{1})\,} .

Značaj

Pravac, njegovu grafičku i matematičku interpretaciju nalazimo u brojnim područjima matematike i ne samo matematike. Naime, razmotrimo li eksplicitni oblik jednadžbe pravca

y = a x + b {\displaystyle y=ax+b\,}

i ukoliko definiramo da je x slobodna promjenljiva veličina, odn. nezavisna varijabla, a y zavisna varijabla gdje će nezavisna varijabla poprimati vrijednosti iz domene realnih brojeva i gdje će se svakom elementu domene pridružiti jedan i samo jedan odgovarajući element kodomene, tada gore prikazani izraz možemo nazvati funkcijom gdje je

y = f ( x ) = a x + b {\displaystyle y=f(x)=ax+b\,}

Kodomenu nazivamo i područjem vrijednosti funkcije, a u slučaju gdje je funkcija oblika: y = a x + b {\displaystyle y=ax+b} , funkciju nazivamo i linearnom funkcijom, a pravac grafom ili grafičkim prikazom takve funkcije. Linearna funkcija uključuje i proporcionalnu, odn. razmjernu funkciju oblika

y = f ( x ) = a x {\displaystyle y=f(x)=ax\,}

koju slijede brojni prirodni zakoni i pojave u svim područjima znanosti.

Literatura

  • Barnett, R.A.; Ziegler, M.R.; Byleen, K.E. (2008), College Mathematics for Business, Economics, Life Sciences and the Social Sciences (11th izd.), Upper Saddle River, N.J.: Pearson, ISBN 0-13-157225-3 
  • Hans Wilhelm Alt: Lineare Funktionalanalysis: Eine anwendungsorientierte Einführung. 5. Auflage. Springer-Verlag, 2008, ISBN 3-540-34186-2.
  • Bernd Aulbach: Gewöhnliche Differenzialgleichungen. 2. Auflage. Spektrum Akademischer Verlag, 2004, ISBN 3-827-41492-X.
  • Albrecht Beutelspacher: Lineare Algebra. Eine Einführung in die Wissenschaft der Vektoren, Abbildungen und Matrizen. 7. Auflage. Vieweg, 2009, ISBN 3-528-66508-4.
  • Peter Bundschuh: Einführung in die Zahlentheorie. 6. Auflage. Springer-Verlag, 2010, ISBN 3-540-76490-9.
  • Gerd Fischer: Lineare Algebra: Eine Einführung für Studienanfänger. 17. Auflage. Vieweg Verlag, 2009, ISBN 3-834-80996-9.
  • Günter Gramlich: Lineare Algebra. Fachbuchverlag Leipzig im Carl Hanser Verlag, 2003, ISBN 3-446-22122-0.
  • Jürgen Jost: Partielle Differentialgleichungen: Elliptische (und parabolische) Gleichungen. 1. Auflage. Springer-Verlag, 2009, ISBN 3-540-64222-6.

Vanjske veze

  • Linear Equations and Inequalities Arhivirano 2014-11-15 na Wayback Machine-u Open Elementary Algebra textbook chapter on linear equations and inequalities.
  • Hazewinkel Michiel, ur. (2001). „Linear equation”. Encyclopaedia of Mathematics. Springer. ISBN 978-1-55608-010-4.