Množenje

Množenje je binarna operacija u matematici. Zapisuje se kao a · b ili a × b. [[Operandlli a i b se nazivaju činioci (faktori), a rezultat množenja proizvod.

Ako je jedan operand prirodan broj, onda množenje predstavlja skraćeni zapis sabiranja. Npr, ako je n ∈ ℕ, onda je

${\displaystyle a\cdot n=\underbrace {a+\cdots +a} _{n}.}$

U algebri se oznaka za množenje podrazumeva i može se preskočiti, pa se 3 · a · b može zapisati i kao 3 a b

Inverzna operacija množenju je deljenje.

Množenje brojeva

Osobine

Množenje ima prioritet nad sabiranjem. Množenje brojeva ima sledeće osobine (za množenje drugih objekata pogledati niže u tekstu):

1. ${\displaystyle a\cdot 1=1\cdot a=a}$	(neutral)
2. ${\displaystyle a\cdot 0=0\cdot a=0}$	(svaki broj pomnožen nulom jednak je nuli)
3. ${\displaystyle (a\cdot b)\cdot c=a\cdot (b\cdot c)}$	(asocijativnost)
4. ${\displaystyle a\cdot b=b\cdot a}$	komutativnost
5. ${\displaystyle a\cdot (b+c)=a\cdot b+a\cdot c}$	distributivnost množenja prema sabiranju

5. Na skupu racionalnih, realnih i kompleksnih brojeva, svaki broj osim nule ima tačno jedan inverzan broj, takav da je njihov proizvod jedinica:

${\displaystyle \forall a\ \exists _{1}b:a\cdot b=1}$

Inverzan broj broja ${\displaystyle a}$ se zapisuje kao ${\displaystyle {\tfrac {1}{a}}}$. Inverzan broj inverznog broja je polazni broj:

${\displaystyle {\frac {1}{\frac {1}{a}}}=a}$

Množenje celih brojeva

Prilikom množenja celih brojeva, ako su oba istog znaka (oba pozitivna ili negativna), rezultat je pozitivan. Proizvod pozitivnog i negativnog broja je negativan.

Racionalni činioci

Glavni članak: Racionalan broj

Proizvod racionalnih brojeva je racionalan broj kome je brojilac proizvod brojilaca činilaca, a imenilac proizvod imenilaca činilaca:

${\displaystyle a={\frac {p_{1}}{q_{1}}}\land b={\frac {p_{2}}{q_{2}}}\Rightarrow a\cdot b={\frac {p_{1}\cdot p_{2}}{q_{1}\cdot q_{2}}}}$

Iracionalni činioci

Glavni članak: Realni brojevi

Neka je b ∈ ℝ \ ℚ iracionalan broj, tada je proizvod a · b granična vrednost

${\displaystyle a\cdot b=\lim _{{\frac {p}{q}}\rightarrow b}a\cdot {\frac {p}{q}}}$

gde je ${\displaystyle {\tfrac {p}{q}}}$ racionalan broj i predstavlja približnu vrednost broja b.

Množenje kompleksnih brojeva

Glavni članak: Kompleksni brojevi

Svaki kompleksan broj z možemo zapisati kao uređeni par ili u trigonometrijskom (polarnom) zapisu:

${\displaystyle z=(a,b)=\rho (\cos \phi +i\sin \phi )}$.

Kako je ${\displaystyle i^{2}=-1}$, formula za množenje u algebarskom zapisu glasi

${\displaystyle (a_{1},b_{1})\cdot (a_{2},b_{2})=(a_{1}a_{2}-b_{1}b_{2},a_{1}b_{2}+a_{2}b_{1})}$.

Iz trigonometrijskih jednačina sledi formula za množenje kompleksnih brojeva u trigonometrijskom obliku:

${\displaystyle \rho _{1}(\cos \phi _{1}+i\sin \phi _{1})\cdot \rho _{2}(\cos \phi _{2}+i\sin \phi _{2})=\rho _{1}\rho _{2}(\cos \left(\phi _{1}+\phi _{2}\right)+i\sin \left(\phi _{1}+\phi _{2}\right))}$

Množenje vektora

Glavni članak: Vektor

Postoji nekoliko vrsta množenja vektora: množenje vektora skalarom, skalarni, vektorski i mešoviti proizvod vektora. Skalarni proizvod vektora se obeležava sa „·“, a vektorski sa „ד.

Posmatrajmo vektor u trodimenzionalnom Euklidskom prostoru: ${\displaystyle \mathbf {a} =(a_{x},a_{y},a_{z})\in \mathbb {R} ^{3}}$.

Množenje vektora skalarom

Vektor se množi skalarom tako što se svaka njegova koordinata pomnoži skalarom. Ova operacija je komutativna.

${\displaystyle k\in \mathbb {R} ,\mathbf {a} \in \mathbb {R} ^{3}\Rightarrow k\mathbf {a} =(ka_{x},ka_{y},ka_{z})}$

Skalarni proizvod

Skalarni proizvod vektora je skalar jednak sumi proizvoda odgovarajućih koordinata:

${\displaystyle \mathbf {a} ,\mathbf {b} \in \mathbb {R} ^{3}}$

${\displaystyle \cdot :\mathbb {R} ^{3}\times \mathbb {R} ^{3}\rightarrow \mathbb {R} }$

${\displaystyle \mathbf {a} \cdot \mathbf {b} =a_{x}b_{x}+a_{y}b_{y}+a_{z}b_{z}}$

Skalarni proizvod je komutativan.

Vektorski proizvod

Vektorski proizvod vektora je novi vektor, čiji je intenzitet jednak površini paralograma koji vektori-činioci zaklapaju, pravac mu je normalan na ravan koju vektori-činioci definišu, a smer se definiše pravilom leve ili desne ruke, zavisno od konvencije. Ovaj proizvod je specifičan za ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$, i antikomutativan je. Vektorski proizvod se računa kao determinanta matrice:

${\displaystyle \times :\mathbb {R} ^{3}\times \mathbb {R} ^{3}\rightarrow \mathbb {R} ^{3}}$

${\displaystyle \mathbf {a} ,\mathbf {b} \in \mathbb {R} ^{3}}$

${\displaystyle \mathbf {a} \times \mathbf {b} ={\begin{vmatrix}\mathbf {i} &\mathbf {j} &\mathbf {k} \\a_{x}&a_{y}&a_{z}\\b_{x}&b_{y}&b_{z}\end{vmatrix}}}$

gde su ${\displaystyle \mathbf {i} ,\mathbf {j} }$ i ${\displaystyle \mathbf {k} }$ ortovi duž x, y i z ose, respektivno.

Mešoviti proizvod

Mešoviti proizvod tri vektora je skalar koji je jednak zapremini paralelopipeda koji ti vektori zaklapaju. Zapisuje se kao [a, b, c] i po definiciji je:

${\displaystyle []:\mathbb {R} ^{3}\times \mathbb {R} ^{3}\times \mathbb {R} ^{3}\rightarrow \mathbb {R} }$

${\displaystyle \mathbf {a} ,\mathbf {b} ,\mathbf {c} \in \mathbb {R} ^{3}}$

${\displaystyle [\mathbf {a} ,\mathbf {b} ,\mathbf {c} ]={\begin{vmatrix}a_{x}&a_{y}&a_{z}\\b_{x}&b_{y}&b_{z}\\c_{x}&c_{y}&c_{z}\\\end{vmatrix}}}$

Množenje matrica

Glavni članak: Matrica (matematika)

Neka su date matrice A i B veličine m_A×n_A i m_B×n_B, respektivno. Proizvod AB je definisan ako je n_A = m_B, a dobijena matrica ima dimenzije m_A×n_B. Elementi matrice-proizvoda su

${\displaystyle (AB)_{i,j}=\sum _{k=1}^{n_{A}}A_{i,k}B_{k,j}}$

Množenje matrica nije komutativno. Matrice 1×3 i 3×2 možemo pomnožiti samo na jedan način, a 5×4 i 4×5 sa obe strane, ali proizvodi neće imati istu veličinu (5×5 na jedan i 4×4 na drugi način). Ako se pomnože dve kvadratne matrice iste veličine, proizvodi su takođe iste veličine, i može se definisati komutator:

${\displaystyle [A,B]=A\times B-B\times A}$

Vidi još

• Deljenje
• Stepenovanje
• Tablica množenja
• Linearna funkcija
• Egipatsko množenje