Inom matematiken, speciellt inom analytisk talteori, är Dirichlets etafunktion en viktig speciell funktion som definieras som följande Dirichletserie, som konvergerar för alla komplexa tal vars reella del > 0:
![{\displaystyle \eta (s)=\sum _{n=1}^{\infty }{(-1)^{n-1} \over n^{s}}={\frac {1}{1^{s}}}-{\frac {1}{2^{s}}}+{\frac {1}{3^{s}}}-{\frac {1}{4^{s}}}+\cdots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/10cb2427ea9a1dcc76f3b8dd265db95cec721047)
Denna Dirichletserie är precis serien för Riemanns zetafunktion förutom att termerna har alternerande tecken. Därför kallas Dirichlets eta-funktion ibland för alternerande zetafunktionen och betecknas med ζ*(s). Följande enkla relation gäller:
![{\displaystyle \eta (s)=\left(1-2^{1-s}\right)\zeta (s).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/89e67e674ed461c7f993be13fdf8b73a96d71a04)
Etafunktionen kan även definieras som integralen
![{\displaystyle \eta (s)={\frac {1}{\Gamma (s)}}\int _{0}^{\infty }{\frac {x^{s-1}}{e^{x}+1}}{dx}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4612db0a59dfba6830286ffccc1abff09414c2cb)
Eulerprodukt
För
gäller
![{\displaystyle \eta (s)=\left(1-{\frac {1}{2^{s-1}}}\right)\prod _{p\ \mathrm {primtal} }{\frac {1}{1-{\frac {1}{p^{s}}}}}=\left(1-{\frac {1}{2^{s-1}}}\right)\cdot {\frac {1}{(1-{\frac {1}{2^{s}}})(1-{\frac {1}{3^{s}}})(1-{\frac {1}{5^{s}}})\cdots }}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bb20e9e93478b12116c16429ba735e1c181a4aa1)
Integralrepresentationer
Det finns ett flertal integralrepresentationer för etafunktionen. Följande formler gäller för
![{\displaystyle {\begin{aligned}\Gamma (s)\eta (s)&=\int _{0}^{\infty }{\frac {x^{s-1}}{e^{x}+1}}\,dx=\int _{0}^{\infty }\int _{0}^{x}{\frac {x^{s-2}}{e^{x}+1}}\,dy\,dx\\[8pt]&=\int _{0}^{\infty }\int _{0}^{\infty }{\frac {(t+r)^{s-2}}{e^{t+r}+1}}{dr}\,dt=\int _{0}^{1}\int _{0}^{1}{\frac {(-\log(xy))^{s-2}}{1+xy}}\,dx\,dy.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b61c29db29682c8743a9e957957af2c3583f2b86)
Följande formel kan bevisas med hjälp av Cauchy–Schlömilchs transformation, som gäller för
:
![{\displaystyle 2^{1-s}\,\Gamma (s+1)\,\eta (s)=2\int _{0}^{\infty }{\frac {x^{2s+1}}{\cosh ^{2}(x^{2})}}\,dx=\int _{0}^{\infty }{\frac {t^{s}}{\cosh ^{2}(t)}}\,dt.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d30272b70489cfae284365f33ba579993a6b75d8)
Följande formel av Ernst Lindelöf (1905) gäller i hela komplexa planet om man tar det principiella värdet av logaritmen.
![{\displaystyle \eta (s)=\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {(1/2+it)^{-s}}{e^{\pi t}+e^{-\pi t}}}\,dt.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2e01ca19ce646bc58a0414fbf23a98997f198c4e)
Följande formel bevisades också av Lindelöf:
![{\displaystyle (s-1)\zeta (s)=\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {(1/2+it)^{1-s}}{(e^{\pi t}+e^{-\pi t})^{2}}}\,dt.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7aa6eba2f172407f8d9b93d47fb960f0a23c3f6d)
En generalisering valid för
och alla
![{\displaystyle \eta (s)={\frac {1}{2}}\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {(c+it)^{-s}}{\sin {(\pi (c+it))}}}\,dt.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/55b71404bdb04b4529cdc851fa6e2238ace0044a)
Genom att låta
får man formeln
![{\displaystyle \eta (s)=-\sin(s\pi /2)\int _{0}^{\infty }{\frac {t^{-s}}{\sinh {(\pi t)}}}\,dt.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2212a71461cb4d4ea9c2bd7ce35568f653672690)
En annan integral är
![{\displaystyle \int \limits _{0}^{1}\int \limits _{0}^{1}{\frac {[-\ln(xy)]^{s}}{1+xy}}\;\mathrm {d} x\,\mathrm {d} y=\Gamma (s+2)\eta (s+2).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e56424cebee9c008a6af18a6b972a4c6e96d7f28)
För alla
gäller
![{\displaystyle \eta (s)={\frac {2^{s-1}-1}{s-1}}-(2^{s}-2)\int \limits _{0}^{\infty }{\frac {\sin(s\arctan x)}{(1+x^{2})^{s/2}(e^{\pi x}+1)}}\mathrm {d} x.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/351de1d4fe1b0ab17c65d61fc9284ca31b171f6c)
Serierepresentationer
![{\displaystyle \eta (s)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{2^{n+1}}}\sum _{k=0}^{n}(-1)^{k}{n \choose k}{\frac {1}{(k+1)^{s}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2b0213d9cb983417583b39ae060563fe4f1d01f3)
Funktionalekvation
Etafunktionen satisfierar funktionalekvationen
![{\displaystyle \eta (-s)=2{\frac {1-2^{-s-1}}{1-2^{-s}}}\pi ^{-s-1}s\sin \left({\pi s \over 2}\right)\Gamma (s)\eta (s+1).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b861e35364308ad65a4618ce4f6ad6d621172896)
Speciella värden
Några specialfall av etafunktionen kan skrivas i sluten form:
A072691 ![{\displaystyle \eta (4)={{7\pi ^{4}} \over 720}\approx 0.94703283}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dca4999ca818615e2b3d0930957aa8783bdda865)
![{\displaystyle \eta (6)={{31\pi ^{6}} \over 30240}\approx 0.98555109}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9bbf4ca710fb1acdbb6861c0eb1a2fcd26e45169)
![{\displaystyle \eta (8)={{127\pi ^{8}} \over 1209600}\approx 0.99623300}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/05d9ff7f75667254b98d240e88dc153ec7bdcdee)
![{\displaystyle \eta (10)={{73\pi ^{10}} \over 6842880}\approx 0.99903951}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4ff8143cebba23817796becfcf6f6d40bccf387c)
![{\displaystyle \eta (12)={{1414477\pi ^{12}} \over {1307674368000}}\approx 0.99975769}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/08bb61ab0cd630069bbc80764190c37071ad53ab)
och i allmänhet för positiva heltal n
Några värden för udda argument är
![{\displaystyle \!\ \eta (1)=\ln 2}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c89d1f9a063fb8aa54d80050f036ed844f335d2d)
![{\displaystyle \eta (3)={\frac {3}{4}}\zeta (3)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f19ea5e22eead656fd0150d0c2fcd83fe1a7b625)
![{\displaystyle \eta (5)={\frac {15}{16}}\zeta (5).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/97aa119385893deb871f19e99c92550f1098e302)
Derivata
Etafunktionens derivata är
.
Numeriska algoritmer
Peter Borwein har härlett en effektiv metod för numerisk räkning av etafunktionen. Om
![{\displaystyle d_{k}=n\sum _{i=0}^{k}{\frac {(n+i-1)!4^{i}}{(n-i)!(2i)!}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4551a435e227f73980f97b0bfc89af29f4669a3d)
är
![{\displaystyle \eta (s)=-{\frac {1}{d_{n}}}\sum _{k=0}^{n-1}{\frac {(-1)^{k}(d_{k}-d_{n})}{(k+1)^{s}}}+\gamma _{n}(s),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f075f982f3bb459646181471ea82632067429fe7)
där för
gäller för feltermen γn
![{\displaystyle |\gamma _{n}(s)|\leq {\frac {3}{(3+{\sqrt {8}})^{n}}}(1+2|\Im (s)|)\exp({\frac {\pi }{2}}|\Im (s)|).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/823b6db786053fa0e65502098953977762d3e220)
Generaliseringar
Etafunktionen är ett specialfall av polylogaritmen
![{\displaystyle \ \eta (x)=-\mathrm {Li} _{x}(-1)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a33d347a59344f2ccd6cc99d0d9f81264a89b9ee)
vilket gör den även ett specialfall av Lerchs transcendent:
![{\displaystyle \,\eta (s)=\Phi (-1,s,1).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e8be611a926635eae01a09587ffd78a7ff1ef4e1)
Se även
Källor
- Den här artikeln är helt eller delvis baserad på material från engelskspråkiga Wikipedia, Dirichlet eta function, 13 december 2013.
- Jensen, J. L. W. V. (1895). L'intermédiaire des Mathématiciens II: sid. 346.
- Lindelöf, Ernst (1905). Le calcul des résidus et ses applications à la théorie des fonctions. Gauthier-Villars. sid. 103
- Widder, David Vernon (1946). The Laplace Transform. Princeton University Press. sid. 230
- Landau, Edmund, Handbuch der Lehre von der Verteilung der Primzahlen, Erster Band, Berlin, 1909, p. 160. (Second edition by Chelsea, New York, 1953, p. 160, 933)
- Titchmarsh, E. C. (1986). The Theory of the Riemann Zeta Function, Second revised (Heath-Brown) edition. Oxford University Press.
- Conrey, J. B. (1989). ”More than two fifths of the zeros of the Riemann zeta function are on the critical line”. Journal für die Reine und Angewandte Mathematik 399: sid. 1–26. doi:10.1515/crll.1989.399.1.
- Knopp, Konrad (1990) [1922]. Theory and Application of Infinite Series. Dover. ISBN 0-486-66165-2
- Borwein, P., An Efficient Algorithm for the Riemann Zeta Function, Constructive experimental and nonlinear analysis, CMS Conference Proc. 27 (2000), 29–34.
- Sondow, Jonathan (2002). ”Double integrals for Euler's constant and ln 4/π and an analog of Hadjicostas's formula”. Amer. Math. Monthly (112 (2005)): sid. 61–65, formula 18. https://arxiv.org/abs/math.CO/0211148.
- Sondow, Jonathan. ”Zeros of the Alternating Zeta Function on the Line R(s)=1”. Amer. Math. Monthly (110 (2003)): sid. 435–437. https://arxiv.org/abs/math/0209393.
- Gourdon, Xavier; Sebah, Pascal (2003). ”Numerical evaluation of the Riemann Zeta-function”. http://numbers.computation.free.fr/Constants/Miscellaneous/zetaevaluations.pdf.
- Amdeberhan, T.; Glasser, M. L.; Jones, M. C; Moll, V. H.; Posey, R.; Varela, D. (2010). ”The Cauchy–Schlomilch Transformation”. https://arxiv.org/abs/1004.2445. p. 12.
- Milgram, Michael S. (2012). ”Integral and Series Representations of Riemann’s Zeta Function, Dirichlet’s Eta Function and a Medley of Related Results”. https://arxiv.org/abs/1208.3429.
Externa länkar
Wikimedia Commons har media som rör Dirichlets etafunktion.Bilder & media