Poissons ekvation

Poissons ekvation, en partiell differentialekvation. Dess allmänna form är:

∇ 2 u = f {\displaystyle \nabla ^{2}u=f}

där ∇ 2 {\displaystyle \nabla ^{2}} är Laplaceoperatorn, och f är en godtycklig funktion. I ett tredimensionellt rum med kartesiska koordinater skrivs den

∂ 2 u ∂ x 2 + ∂ 2 u ∂ y 2 + ∂ 2 u ∂ z 2 = f {\displaystyle {\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}u}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}u}{\partial z^{2}}}=f} .

Laplaces ekvation är ett specialfall av Poissons ekvation, med f=0.

Exempel

Ekvationen används till exempel inom elektrostatiken i formen

∇ 2 V = − ρ ε {\displaystyle \nabla ^{2}V=-{\frac {\rho }{\varepsilon }}}

Där V är den elektriska potentialen, ε {\displaystyle \varepsilon } är permittiviteten hos mediet (som är konstant) och ρ {\displaystyle \rho } är volymdensiteten för fria laddningar.