Produktregeln

Produktregeln används inom matematisk analys för att finna derivatan av produkten av två eller flera funktioner. För två funktioner kan regeln formuleras som^[1]

${\displaystyle (f\cdot g)'=f'\cdot g+f\cdot g'}$

eller med Leibniz notation

${\displaystyle {\dfrac {d}{dx}}(u\cdot v)={\dfrac {du}{dx}}\cdot v+u\cdot {\dfrac {dv}{dx}}}$

Med differentialnotation, kan detta skrivas som

${\displaystyle d(uv)=u\,dv+v\,du}$

Med Leibniz notation, är derivatian av tre funktioner

${\displaystyle {\dfrac {d}{dx}}(u\cdot v\cdot w)={\dfrac {du}{dx}}\cdot v\cdot w+u\cdot {\dfrac {dv}{dx}}\cdot w+u\cdot v\cdot {\dfrac {dw}{dx}}}$

vilket kan generaliseras till k funktioner ${\displaystyle f_{1},\dots ,f_{k}}$:

${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\left[\prod _{i=1}^{k}f_{i}(x)\right]=\sum _{i=1}^{k}\left(\left({\frac {d}{dx}}f_{i}(x)\right)\prod _{j\neq i}f_{j}(x)\right)=\left(\prod _{i=1}^{k}f_{i}(x)\right)\left(\sum _{i=1}^{k}{\frac {f'_{i}(x)}{f_{i}(x)}}\right)}$

Exempel

Tillämpa produktregeln för att derivera

${\displaystyle x^{2}\sin(x)}$

Med

${\displaystyle f(x)=x^{2}\quad \Rightarrow \quad f'(x)=2x}$

${\displaystyle g(x)=\sin(x)\quad \Rightarrow \quad g'(x)=\cos(x)}$

ger produktregeln för två funktioner

${\displaystyle (f\cdot g)'=f'\cdot g+f\cdot g'=2x\sin(x)+x^{2}\cos(x)}$

Bevis

Antag h(x) = f(x)g(x) och att f och g båda är differentierbara i x. Vi vill visa att h är differentierbar i x och att dess derivata ges av

${\displaystyle h'(x)=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)}$

För att åstadkomma detta, adderas

${\displaystyle f(x)g(x+\Delta x)-f(x)g(x+\Delta x)}$

(vilket är noll och således inte ändrar värde) till täljaren för att möjliggöra dess faktorisering och sedan tillämpas egenskaper hos gränsvärden.

${\displaystyle {\begin{aligned}h'(x)&=\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {h(x+\Delta x)-h(x)}{\Delta x}}\\[5pt]&=\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {f(x+\Delta x)g(x+\Delta x)-f(x)g(x)}{\Delta x}}\\[5pt]&=\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {f(x+\Delta x)g(x+\Delta x)-f(x)g(x+\Delta x)+f(x)g(x+\Delta x)-f(x)g(x)}{\Delta x}}\\[5pt]&=\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {{\big [}f(x+\Delta x)-f(x){\big ]}\cdot g(x+\Delta x)+f(x)\cdot {\big [}g(x+\Delta x)-g(x){\big ]}}{\Delta x}}\\[5pt]&=\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}}\cdot \underbrace {\lim _{\Delta x\to 0}g(x+\Delta x)} _{\text{* Se anmärkning nedan}}+\lim _{\Delta x\to 0}f(x)\cdot \lim _{\Delta x\to 0}{\frac {g(x+\Delta x)-g(x)}{\Delta x}}\\[5pt]&=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)\end{aligned}}}$

* Det faktum att

${\displaystyle \lim _{\Delta x\to 0}g(x+\Delta x)=g(x)}$

kan härledas från satsen att differentierbara funktioner är kontinuerliga.

Se även

• Kvotregeln
• Partialintegration

Referenser

Noter