Sluten mängd

En sluten mängd är inom matematiken en mängd i ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ sådan att alla dess randpunkter tillhör mängden självt. Det är ekvivalent med att dess komplement är en öppen mängd.

Mer konkret har vi att om ${\displaystyle M\subseteq \mathbb {R} ^{n}}$ ska kallas en sluten mängd så ska det för varje öppet klot ${\displaystyle K}$ och en (rand)punkt ${\displaystyle a\in \mathbb {R} ^{n}}$, dvs. ${\displaystyle K=\{a,x\in \mathbb {R} ^{n}\land r\in \mathbb {R} |\quad |x-a|<r\}}$, finnas enbart punkter från ${\displaystyle M}$. Vidare, om ${\displaystyle M}$ kallas en sluten mängd så gäller det att ${\displaystyle M^{\complement }}$ är en öppen mängd, vilket betyder att randpunkter till ${\displaystyle M^{\complement }}$ ligger i ${\displaystyle (M^{\complement })^{\complement }=M}$.

För att kunna tala om slutna delmängder i en mängd behöver alltså en topologi vara definierad på mängden. En mängd är sluten om och endast om den är lika med sitt slutna hölje, eller om den innehåller alla sina randpunkter.

Egenskaper

I alla topologiska rum är hela rummet och den tomma mängden sluten.

Snittet av godtyckligt många slutna mängder är slutet och unionen av ändligt många slutna mängder är sluten.

Unionen av uppräkneligt många slutna mängder behöver inte vara sluten, sådana mängder kallas F_σ-mängder.

Exempel

• Det slutna intervallet ${\displaystyle [a,b]}$ av reella tal är en sluten delmängd av de reella talen.
• Intervallet ${\displaystyle [0,1]}$ är slutet i det metriska rummet av reella tal. ${\displaystyle [0,1]\cap \mathbb {Q} }$ är slutet i det metriska rummet av rationella tal, men inte i det metriska rummet av reella tal.

Se även

• Öppen mängd