Göreli elektromanyetizma

Şablon:Yj:bekletmeli sil

Göreli elektromanyetizma, Coulomb yasası ve Lorentz dönüşümleri nden gelen elektromanyetik alan teorisinin gelişmesini amaçlayan modern bir öğretim stratejisidir. Coulomb yasası uzaktaki eylemi ifade etse de, bunun elektrik kuvveti ilkesi olduğu kolayca anlaşılmaktadır. Uzayzamandaki elektromanyetik alanlar tarafından ifade edilen daha içerilikli başka bir elektromanyetizma bakış açısına uzay zaman simetrilerinin uygulanmasıyla yaklaşıldı. Çeşitli eşzamanlı hiperdüzlemlerdeki göreli yük yoğunluğu dolayısıyla, bazı özel yapılandırmalarda manyetik etkiler elde edilmesi mümkündür. Fizik eğitimi ve elektrik elektronik mühendisleri eğitim ve öğretimine olan bu yaklaşım Britannica Ansiklopedisi’nde (1956), Feynman'ın Fizik Üzerine Dersleri'nde (The Feynman Lectures on Physics (1964)), Edward M. Purcell (1965), Jack R. Tessman (1966), W.G.V. Rosser (1968), Anthony French (1968), Dale R. Corson ve Paul Lorrain (1970)’de görülebilir. Bu yaklaşım; Biot-Savart yasası, Amper yasası ve Maxwell denklemleri ndeki manyetik güçlerin anlaşılması için bazı hazırlıklar sağlar.

Einstein'ın Motivasyonu

1953 yılında Albert Einstein, Michelson-Morley deneyini anma vesilesiyle Cleveland Fizik Derneği'ne yazdı. Yazdığı bu mektupta;^[1]

Bana direkt olarak özel görelilik teorisine fazla ya da az ne izin verirse, o manyetik alanda hareket halindeki cisme uygulanan elektromotif kuvvetin hiçbir şey olmadığı fakat elektrik alan olduğu inancıdır.

şeklinde belirtiyordu. Einstein'ın bu beyanı, elektrik ve manyetik güçlerin tamamlayıcılığını belirlemek için uzay-zaman simetrilerini araştırdığını ortaya koymaktadır.

Giriş

Purcell bir eylemsiz referans çerçevesi nde bir elektrik alanının olup olmadığı ve ilkine göre hareketli farklı bir referans çerçevesinden nasıl göründüğü sorusunun, hareketli kaynaklar tarafından yaratılan alanları anlamak için çok önemli olduğunu iddia etti. Özel durumda, alanı oluşturan kaynaklar referans çerçevelerinin birine göre hareketsizdir. Purcell, kaynakların hareketsiz çerçevesindeki bazı noktalardaki (uzay ve zamandaki) elektrik alanların ve diğer çerçevede aynı noktadaki elektrik alanı hesaplamak için gerekli tüm bilgiyi sağlayan iki çerçevenin göreli hız ını bilmenin esas varsayım olduğunu belirtti. Diğer bir deyişle; diğer çerçevedeki elektrik alan, yükler in kaynağının belirli dağılımına değil, yalnızca elektrik alanın ilk çerçevedeki o noktadaki yerel değerine bağlıdır. Purcell, elektrik alanın uzaktaki yüklerin etkisinin tam bir temsili olduğunu varsaydı. Alternatif olarak, manyetizma nın giriş niteliğindeki ele alınışı, bir elektrik akımı ile bağlantılı manyetik alanı tanımlayan Biot-Savart yasası nı getirdi. Statik sisteme göre hareketsiz bir gözlemci, bir manyetik alan gözlemleyemez. Ancak, aynı yük grubuna bakan hareketli bir gözlemci; bir akım ve dolayısıyla bir manyetik alan algılar.

Düzgün elektrik alan - basit inceleme

Hareketsiz çerçevede plakalar ve dışarısı arasındaki elektrik alanın (kenar etkileri ihmal edildiğinde) düzenli olduğu yüklü bir paralel plakalı kondansatör ün çok basit bir durumunu düşünelim.

Elektrik alanın hareketli olduğu bir referans çerçevesindeki yük dağılımının elektrik alanını hesaplamak için, hareketin plakalara paralel yönde olduğunu varsayalım. Bu durumda plakalar;

${\displaystyle {\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}}$

değişkeniyle, hareketsiz çerçevedekine göre daha kısa olacaktır fakat plakalar arası mesafe aynı kalır. Yükler hangi çerçevede ölçüldüklerine bağlı olmadıklarından, her plakadaki toplam yük de aynı kalacaktır. Bu yüzden plakalardaki yük bölü alan oranı,

${\displaystyle 1 \over {\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}}$

değişkeniyle, hareketsiz çerçevedekine göre daha büyük olacaktır. Buna göre plakalar arasındaki elektrik alan daha güçlü olacaktır.

Ayrıntılı Analiz

Kendine paralel yönde hareket eden, pozitif yüklü, sonsuz bir plakanın elektrik alanını düşünelim. Elektrik alan hareketsiz çerçevesinde düzgün olduğundan, plakanın hem üstünde hem altında düzgündür. Ayrıca bir çerçevedeki elektrik alanı hesaplamak için, diğer çerçevedeki elektrik alanı bilmenin yeterli olduğunu varsayalım.

Ancak plaka hareket ile aynı yönde sıfırdan farklı bir elektrik alan bileşenine sahip olabilirdi. Bu durumda bile, sonsuz negatif yüklü plakanın elektrik alanı, pozitif plakanınkine eşit ve zıt olmalıdır. Çünkü plakaların birleşimi nötrdür ve bu yüzden herhangi bir net elektrik alan üretemez. Plakalar ayrıldığında, yatay bileşenler iptal olur ve bileşke Şekil 1’de gösterildiği gibi dikey düzgün bir elektrik alandır.

Eğer Gauss Yasası Şekil 1’deki gibi hap kutusuna uygulanırsa, levhalar arasındaki manyetik alan

${\displaystyle |E'|={\sigma ' \over \epsilon _{0}}\ }$

şeklinde gösterilebilir. Bu eşitlikte üs sembolü (‘) levhaların hareket ettiği çerçevede ölçülen değeri temsil etmektedir. sembolü artı yüklü levhanın yüzey yük yoğunluğudur. Levhalar

${\displaystyle {\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}}$

etkenince boyca daraldığından, hareketli çerçevedeki yüzey yük yoğunluğu hareketsiz çerçevedeki yük yoğunluğuyla

${\displaystyle \sigma '\ ={\sigma \over {\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}}}$

şeklinde orantılıdır. Ancak hareketsiz çerçevedeki elektrik alan, σ / ε₀ değerine sahip olduğundan ve alan çizgileri her iki çerçevede de aynı yönde olduğundan;

${\displaystyle E'={E \over {\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}}\ }$

Hareketli çerçevedeki elektrik alan (E), hareketsiz çerçevedeki elektrik alandan (E’) daha kuvvetlidir. Eğer hareketin yönü levhalara dik ise, levhalarda boyca daralma meydana gelmez fakat levhalar arasındaki mesafe kısalır. Fakat bu mesafenin daha yakın oluşu elektrik alanın kuvvetini etkilemez. Bu yüzden elektrik alana paralel bir hareket için,

${\displaystyle E'=E\ }$

Hareketin elektrik alan doğrultusuna çapraz olduğu durum yalnızca dik ve paralel alanların süperpozisyonudur (Şekil 3’te gösterilen birbirine göre dik açılı her bir levha seti). Her iki levha seti de boyca daraldığından, elektrik alan bileşenleri

${\displaystyle E'_{y}={E_{y} \over {\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}}}$

ve

${\displaystyle E'_{x}=E_{x}\ }$

şeklindedir. Eşitlikteki y altsimgesi dik bileşeni, x altsimgesi paralel bileşeni temsil etmektedir.

Hareketli noktasal yükün alanı

Elektrik alan dönüşüm denklemlerinin çok önemli bir uygulaması, sabit hızla hareket eden noktasal bir yükün elektrik alanı yönündedir. Hareketsiz çerçevede, pozitif bir noktasal yükün elektrik alan kuvveti tüm yönlerde aynı ve dışarı doğrudur. Başka bir referans çerçevesinde alan farklı bir şekilde görünecektir.

Dönüşüm formüllerinin düzgün olmayan bir elektrik alana uygulanmasında; yalnızca alanın değerini değil, yanı sıra boşlukta hangi noktada bu değere sahip olduğunu kaydetmek önemlidir.

Parçacığın hareketsiz çerçevesinde, noktasal yük hareketsiz küresel bir kabukla çevrelenmiş gibi düşünülebilir. Fakat bizim referans çerçevemizde, hem parçacık hem de küresi hareket etmektedir. Bu yüzden, boyca daralma Şekil 4’teki enine kesitlerde gösterildiği gibi, kürenin basık bir küremsi cisme deforme olması şeklindedir. x ve y, yükle kürenin üzerindeki bir nokta arasındaki, şekilde gösterildiği gibi hareketin yönüne paralel ve dik olarak ölçülen yer değiştirmenin bileşenleri olsun. Yükün hareketsiz çerçevesinde elektrik alan yükten dışarı yönde olduğundan, bileşenleri, yer değiştirmenin bileşenleri ile aynı orandadır.

${\displaystyle {E_{y} \over E_{x}}={y \over x}}$

Yükün hareketli olduğu referans çerçevemizde, hareket yönündeki yer değiştirme;

${\displaystyle x'=x{\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}}$

şeklindedir. Kürenin üzerindeki herhangi bir noktadaki elektrik alan yükten dışarı doğrudur. (b) Yük ve kürenin sağa doğru hareket ettiği referans çerçevesinde, küre boyca daralmaya uğrar fakat elektrik alanın dikey bileşeni güçlenir. Bu iki etki elektrik alanın yine yükün akım konumundan direkt dışarı yönde olmasını sağlar. (Yer değiştirmenin y bileşeni her iki çerçeve için de aynı iken.)

Fakat yukarıdaki sonuçlara göre, alanın x bileşeni her iki çerçeve için de aynıyken, y bileşeni benzer bir

${\displaystyle E'_{y}={E_{y} \over {\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}}}$

etmeniyle artar. Böylece alan bileşenlerinin oranı

${\displaystyle {E'_{y} \over E'_{x}}={E_{y} \over E_{x}{\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}}={y' \over x'}}$

şeklindedir. Bu yüzden, hareketsiz çerçevedeki elektrik alan aynı hareketli çerçevede olduğu gibi yükten doğruca dışarı yöndedir. Hareketli noktasal yükün elektrik alan görünümü Şekil 4’te gösterildiği gibidir. Yük ne kadar hızlı hareket ederse, elektrik alanın dik bileşeninde o kadar gözle görülebilir bir artış meydana gelir. Eğer yükün hızı ışık hızından çok çok az ise, bu artış ihmal edilebilir. Fakat bazı belirli durumlarda yük düşük hızda olsa bile, kritik biçimde önemlidir.

Manyetik kuvvetlerin kökeni

Yatay olarak esnemiş bir kablodaki olayların en basit modelinde akım, sağa doğru hareket eden eşit boşluklu pozitif yükler tarafından temsil edilebilir (eşit sayıda negatif yük hareketsiz kalır iken). Eğer kablo elektrostatik olarak nötr ise, komşu pozitif yükler arasındaki mesafe ile komşu negatif yükler arasındaki mesafe aynı olmalıdır.

‘Laboratuvar çerçevesi’nde (Şekil 5) kablonun dışında v hızıyla (kablonun içindeki hareketli yüklerin hızına eşit) akıma paralel hareket eden pozitif bir deneme yükümüz (Q) olduğunu varsayalım. Yük, deney ile kolayca doğrulanabilen bir manyetik kuvvete maruz kalacaktır.

‘Deneme yükü çerçevesi’nde (Şekil 6) tek muhtemel kuvvet elektrostatik kuvvettir (F_e = Q * E) çünkü manyetik alan aynı olmasına rağmen deneme yükü hareketsizdir ve dolayısıyla onu hissedemez. Bu çerçevede negatif yük yoğunluğu, laboratuvar çerçevesinde artırılan hızdan dolayı sahip olduklarımıza bağlı olarak Lorentz-daralması na sahiptir. Yani yükler arasındaki boşluk, laboratuvar çerçevesi boşluğuna bağlı olarak Lorentz etmeni yle düşürülür.

${\displaystyle l_{-}={l{\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}}}$

Bu yüzden pozitif yük (hızı düşürüldüğünden dolayı) Lorentz-genişlemesine sahiptir.

${\displaystyle l_{+}=l/{\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}}$

Bu iki etki, kablonun deneme yükü çerçevesinde negatif yüke sahip olmasını sağlar. Negatif yüklü kablo pozitif yüklü parçacığa çekici bir kuvvet uyguladığından, deneme yükü çekilip kabloya doğru hareket edecektir.

Eğer ${\displaystyle v<<c}$ ise, iki kuvveti de açıkça hesaplayabiliriz.^[2] Laboratuvar çerçevesinde hissedilen manyetik kuvvet:

${\displaystyle F_{m}={QvI \over 2\pi \epsilon _{0}c^{2}R}}$

Öncelikle laboratuvar çerçevesi uzunluğuna (l) bağlı yük yokluğunu hesaplayalım.

${\displaystyle \lambda ={q \over l}_{+}-{q \over l}_{-}={q \over l}({\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}-1/{\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}})\approx {q \over l}(1-0.5({v^{2} \over c^{2}})-1-0.5({v^{2} \over c^{2}}))=-{q \over l}{v^{2} \over c^{2}}}$

Buna ek olarak,

${\displaystyle I={q \over t}=q{v \over l}}$

eşitliğini kullanırsak, elektrostatik kuvveti de hesaplayabiliriz.

${\displaystyle F_{e}=QE=Q{\lambda \over 2\pi \epsilon _{0}R}={Qqv^{2} \over 2\pi \epsilon _{0}c^{2}Rl}={QvI \over 2\pi \epsilon _{0}c^{2}R}}$

Buradan elektrostatik kuvvetin, laboratuvar çerçevesinde hissedilen manyetik kuvvete tamamen eşit olduğunu görürüz, ${\displaystyle F_{e}=F_{m}}$ .

Buradaki çıkarım, farklı referans çerçevelerindeki gözlemcilerin aynı olayı gözlemleyeceği fakat kendi nedenlerine katılmayacağıdır.

Eğer akımlar zıt yöndeyse, yükün sola doğru hareket ettiğini düşünelim. Deneme yükünün referans çerçevesinde, şu an hiçbir yük hareketsiz değil. Negatif yükler deneme yükü çerçevesinde v hızıyla hareket etmekte, bu yüzden boşlukları tekrar

${\displaystyle l_{(-)}={l{\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}}}$

şeklindedir. Pozitif yükler arasındaki mesafeyi hesaplamak daha zordur. Özel görelilikten dolayı göreli hız 2 v den az olmalıdır. Kolaylık olması açısından hızın 2 v olduğunu varsayalım. Böylece pozitif yük boşluğu daralması serbest çerçevedeki değerine bağlı olarak

${\displaystyle {\sqrt {1-(2v/c)^{2}}}}$

şeklinde olacaktır. Buradan serbest çerçevesindeki değeri

${\displaystyle l_{(+)}={l \over {\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}}}$

şeklinde bulunur. Böylece son durumdaki pozitif yük boşluğu

${\displaystyle l_{(+)}={l \over {\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}}{\sqrt {1-(2v/c)^{2}}}}$

şeklindedir. l₍₊₎ ya da l_(-) değerlerinden hangisinin daha büyük olduğuna karar vermek için v’nin c’den çok küçük olduğunu (v << c) varsayar ve iki terimli yaklaşım kullanırsak:

${\displaystyle (1+x)^{p}\approxeq 1+px{\mbox{ when }}x<<1}$

Bazı cebirsel hesaplamalardan sonra l₍₊₎ değerinin l_(-) değerinden küçük olduğunu buluruz ve böylece deneme yükünün çerçevesinde kablo pozitif yüklüdür.^[3]

Resime bakıldığında, resmin yapay olduğu düşünülür çünkü gerçekte ivmelenen elektronlar, kabloyu yüklü yaparak laboratuvar çerçevesinde aktarmalıdır. Fakat doğal olarak tüm elektronlar aynı ivmeli kuvveti hisseder ve bu yüzden Bell’in uzay gemileri yle aynı şekilde, elektronlar arasındaki mesafe laboratuvar çerçevesinde değişmez. (Diğer bir deyişle onlara özgü hareketli çerçevelerinde genişler.) Ancak tren gibi katı cisimler, onlara özgü çerçevelerinde genişlemez, bu yüzden hareketsiz çerçevede gözlemlendiğinde daralır.

Manyetik alanın hesaplanması

Lorentz kuvvet yasası

Akım taşıyan kablonun yakınındaki hareketli deneme yükü, kablonun içindeki hareketli yüklerin hızına bağlı bir manyetik kuvvet hissedecektir. Eğer akım sağa doğru akarsa ve pozitif bir deneme yükü kablonun altında hareket ederse, hareketin yönüne göre 90° ile saat yönünün tersinde bir kuvvet olacaktır.

Kablonun manyetik alanı

Akım taşıyan bir kablonun hareketli bir yük üzerine uyguladığı kuvvetin büyüklüğünün hesaplanması, kablo tarafından üretilen manyetik alanın hesaplanması ile eşdeğerdir. Tekrar şekillerde gösterilen durumları düşünelim. Deneme yükünün referans çerçevesindeki durumu gösteren ikinci şekil, şekilde yeniden üretilmiştir. Her biri –q yüklü olan negatif yükler v hızıyla sola doğru hareket ederken, kablonun içindeki her biri q yüklü olan pozitif yükler bu çerçevede hareketsizdir. Bu çerçevede negatif yükler arasındaki ortalama mesafe boyca daralmıştır. Laboratuvar çerçevesinde aralarındaki mesafe

${\displaystyle {\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}}$

şeklindedir. Benzer bir şekilde, pozitif yükler arasındaki mesafe (boyca daralmaya uğramamıştır)

${\displaystyle {\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}}$

Bu iki etki kablonun, deneme yüküne çekici kuvvet uygulaması için negatif net yüke sahip olmasına sebep olur.

Notes and references

• Edward M. Purcell (1965,85) Electricity and Magnetism: Berkeley Physics Course Volume 2, published by McGraw-Hill, 2nd ed.
• Daniel V. Schroeder (1999) Purcell Simplified: Magnetism, Radiation, and Relativity 9 Mayıs 2015 tarihinde Wayback Machine sitesinde arşivlendi.
• Hans de Vries (2008) Magnetism as a relativistic side effect of electrostatics8 Temmuz 2011 tarihinde Wayback Machine sitesinde arşivlendi..
• Jack R. Tessman (1966) "Maxwell - Out of Newton, Coulomb, and Einstein" American Journal of Physics 34:1048–55.
• W.G.V. Rosser (1968) Classical Electromagnetism via Relativity: an alternative approach to Maxwell's equations, Plenum Press, New York.
• Anthony French (1968) Special Relativity, Norton, New York (chapter 8).
• Dale Corson & Paul Lorrain (1970) Electromagnetic Fields and Waves, W.H. Freeman, San Francisco (chapter 6).
• David Jefferies (2000) Electromagnetism, Relativity, and Maxwell 14 Mart 2015 tarihinde Wayback Machine sitesinde arşivlendi..
• Richard Easther Relativistic E&M: Visualizations. Retrieved 2014-08-05