Ters Gama fonksiyonu

Reel eksen etrafında 1/Γ(x)'nın çizimi
kompleks düzlemde1/Γ(z) ters gama fonksiyonu. z noktasına karşılık 1/Γ(z). keskin renkler sıfıra yakın olan değerler tonlar argument'olarak kodlanmıştır.

Matematik'te ters gama fonksiyonu özel fonksiyon'dur.

f ( z ) = 1 Γ ( z ) , {\displaystyle f(z)={\frac {1}{\Gamma (z)}},}

Burada Γ ( z ) {\displaystyle \Gamma (z)} Gama fonksiyonu'nu gösterir.Gama fonksiyonundan dolayı meromorf'tır. Karmaşık düzlemde sıfırdan farklı her yerde, tersi de Tam fonksiyon'dur. . Ters gama bazen sayısal hesaplama'ların başlangıç noktaları için kullanılır.

Karl Weierstrass ters Gamma fonksiyonunu "faktorielle" olarak adlandırdı ve Weierstrass faktorizasyon teoremi'inin geliştirilmesinde kullandı.

Taylor serisi

Taylor serisi 0 etrafında açılım verir:

1 Γ ( z ) = z + γ z 2 + ( γ 2 2 − π 2 12 ) z 3 + ⋯ {\displaystyle {\frac {1}{\Gamma (z)}}=z+\gamma z^{2}+\left({\frac {\gamma ^{2}}{2}}-{\frac {\pi ^{2}}{12}}\right)z^{3}+\cdots }

Burada γ {\displaystyle \gamma } Euler-Mascheroni sabiti'dir.k > 2 için katsayı ak için zk terimleri türetilebilir.

a k = k a 1 a k − a 2 a k − 1 + ∑ j = 2 k − 1 ( − 1 ) j ζ ( j ) a k − j {\displaystyle a_{k}=ka_{1}a_{k}-a_{2}a_{k-1}+\sum _{j=2}^{k-1}(-1)^{j}\,\zeta (j)\,a_{k-j}}

burada ζ(s) Riemann zeta fonksiyonu'dur.

k a k {\displaystyle a_{k}}
1 1.0000000000000000000000000000000000000000
2 0.5772156649015328606065120900824024310422
3 −0.6558780715202538810770195151453904812798
4 −0.0420026350340952355290039348754298187114
5 0.1665386113822914895017007951021052357178
6 −0.0421977345555443367482083012891873913017
7 −0.0096219715278769735621149216723481989754
8 0.0072189432466630995423950103404465727099
9 −0.0011651675918590651121139710840183886668
10 −0.0002152416741149509728157299630536478065
11 0.0001280502823881161861531986263281643234
12 −0.0000201348547807882386556893914210218184
13 −0.0000012504934821426706573453594738330922
14 0.0000011330272319816958823741296203307449
15 −0.0000002056338416977607103450154130020573
16 0.0000000061160951044814158178624986828553
17 0.0000000050020076444692229300556650480600
18 −0.0000000011812745704870201445881265654365
19 0.0000000001043426711691100510491540332312
20 0.0000000000077822634399050712540499373114
21 −0.0000000000036968056186422057081878158781
22 0.0000000000005100370287454475979015481323
23 −0.0000000000000205832605356650678322242954
24 −0.0000000000000053481225394230179823700173
25 0.0000000000000012267786282382607901588938
26 −0.0000000000000001181259301697458769513765
27 0.0000000000000000011866922547516003325798
28 0.0000000000000000014123806553180317815558
29 −0.0000000000000000002298745684435370206592
30 0.0000000000000000000171440632192733743338

Kontr-integral gösterimi

integral gösterimi Hermann Hankel tarafından;

1 Γ ( z ) = i 2 π ∮ C ( − t ) − z e − t d t , {\displaystyle {\frac {1}{\Gamma (z)}}={\frac {i}{2\pi }}\oint _{C}(-t)^{-z}e^{-t}dt,}

Burada C 0 çevresinde pozitif reel eksen etrafında pozitif yönde,artı sonsuza kadar başlar ve biter. Schmelzer & Trefethen'e göre, Hankel integrali Gama fonksiyonunu sayısal değerlendirmesi için en iyi hesaplama yöntemidir.

Reel eksen etrafında Integral

Ters Gama fonksiyonu'nun pozitif reel eksen etrafında verilen değeri

∫ 0 ∞ 1 Γ ( x ) d x ≈ 2.80777024 , {\displaystyle \int _{0}^{\infty }{\frac {1}{\Gamma (x)}}\,dx\approx 2.80777024,}

Fransén–Robinson sabiti olarak bilinir..

Ayrıca bakınız

Kaynakça

  • Thomas Schmelzer & Lloyd N. Trefethen, Computing the Gamma function using contour integrals and rational approximations 17 Nisan 2007 tarihinde Wayback Machine sitesinde arşivlendi.
  • Mette Lund, An integral for the reciprocal Gamma function 31 Mayıs 2020 tarihinde Wayback Machine sitesinde arşivlendi.
  • Milton Abramowitz & Irene A. Stegun, Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables
  • Eric W. Weisstein, Gamma Function6 Temmuz 2017 tarihinde Wayback Machine sitesinde arşivlendi., MathWorld