Trigama fonksiyonu

kompleks düzlem'de Trigama fonksiyonu ψ 1 ( z ) {\displaystyle \psi _{1}(z)} Renkli nokta z {\displaystyle z} 'ye karşı kodlanan değer ψ 1 ( z ) {\displaystyle \psi _{1}(z)} . koyu renkler sıfıra yakın değerlerdir ve tonlar argument olarak kodlanmıştır.

Matematik'te, trigama fonksiyonu, ψ1(z), olarak gösterilen ikincil poligama fonksiyonu'dur ve tanımı

ψ 1 ( z ) = d 2 d z 2 ln ⁡ Γ ( z ) {\displaystyle \psi _{1}(z)={\frac {d^{2}}{dz^{2}}}\ln \Gamma (z)} .

Bu tanıma dayanarak

ψ 1 ( z ) = d d z ψ ( z ) {\displaystyle \psi _{1}(z)={\frac {d}{dz}}\psi (z)}

burada ψ(z) digama fonksiyonu'dur. Seri toplamı olarak da tanımlanabilir.

ψ 1 ( z ) = ∑ n = 0 ∞ 1 ( z + n ) 2 , {\displaystyle \psi _{1}(z)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{(z+n)^{2}}},}

özel bir durumu Hurwitz zeta fonksiyonu'dur.

ψ 1 ( z ) = ζ ( 2 , z ) . {\displaystyle \psi _{1}(z)=\zeta (2,z).}

Not son iki formülde 1-z doğal sayı değildir..

Hesaplama

Bir çift integral gösterimi

ψ 1 ( z ) = ∫ 0 1 d y y ∫ 0 y x z − 1 d x 1 − x {\displaystyle \psi _{1}(z)=\int _{0}^{1}{\frac {dy}{y}}\int _{0}^{y}{\frac {x^{z-1}\,dx}{1-x}}}

geometrik seri toplamı için kullanılan bir formül. Kısmi integrasyonla:

ψ 1 ( z ) = − ∫ 0 1 x z − 1 ln ⁡ x 1 − x d x {\displaystyle \psi _{1}(z)=-\int _{0}^{1}{\frac {x^{z-1}\ln {x}}{1-x}}\,dx}

Asimtotik açılım Bernoulli sayıları yardımıyla olur

ψ 1 ( 1 + z ) = 1 z − 1 2 z 2 + ∑ k = 1 ∞ B 2 k z 2 k + 1 {\displaystyle \psi _{1}(1+z)={\frac {1}{z}}-{\frac {1}{2z^{2}}}+\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {B_{2k}}{z^{2k+1}}}} .

Tekrarlama ve refleksiyon formulleri

The trigamma fonksiyonuna karşı gelen tekrarlama ilişkisi:

ψ 1 ( z + 1 ) = ψ 1 ( z ) − 1 z 2 {\displaystyle \psi _{1}(z+1)=\psi _{1}(z)-{\frac {1}{z^{2}}}}

ve refleksiyon formülü:

ψ 1 ( 1 − z ) + ψ 1 ( z ) = π 2 csc 2 ⁡ ( π z ) . {\displaystyle \psi _{1}(1-z)+\psi _{1}(z)=\pi ^{2}\csc ^{2}(\pi z).\,}

Özel değerler

Trigama fonksiyonunun bazı özel değerleri:

ψ 1 ( 1 4 ) = π 2 + 8 K {\displaystyle \psi _{1}\left({\frac {1}{4}}\right)=\pi ^{2}+8K}

ψ 1 ( 1 2 ) = π 2 2 {\displaystyle \psi _{1}\left({\frac {1}{2}}\right)={\frac {\pi ^{2}}{2}}}

ψ 1 ( 1 ) = π 2 6 {\displaystyle \psi _{1}(1)={\frac {\pi ^{2}}{6}}}

Burada K gösterimi Catalan sabiti'dir.

Ayrıca bakınız

Kaynakça

  • Milton Abramowitz and Irene A. Stegun, Handbook of Mathematical Functions, (1964) Dover Publications, New York. ISBN 0-486-61272-4. See section §6.42 Eylül 2009 tarihinde Wayback Machine sitesinde arşivlendi.
  • Eric W. Weisstein. Trigamma Function -- from MathWorld--A Wolfram Web Resource12 Ağustos 2009 tarihinde Wayback Machine sitesinde arşivlendi.