Định lý Viète

Trong toán học, định lý Viète hay hệ thức Viète (tiếng Pháp: Relations de Viète) do nhà toán học Pháp François Viète tìm ra, nêu lên mối quan hệ giữa các nghiệm của một phương trình đa thức (trong trường số phức) và các hệ số của nó.

Phương trình bậc hai

Trong trường hợp phương trình bậc hai, công thức Viète được ghi như sau:

Nếu x1 và x2 là hai nghiệm của phương trình:
a x 2 + b x + c = 0 , a ≠ 0 {\displaystyle ax^{2}+bx+c=0,\,a\neq 0}
thì: { x 1 + x 2 = S = − b a x 1 x 2 = P = c a {\displaystyle {\begin{cases}{x_{1}+x_{2}=S=-{\frac {b}{a}}}\\{x_{1}x_{2}=P={\frac {c}{a}}}\\\end{cases}}}
Áp dụng trong phương trình bậc hai a x 2 + b x + c = 0 {\displaystyle ax^{2}+bx+c=0} :
  • Nhẩm nghiệm nhanh:
    • Khi a + b + c = 0 {\displaystyle a+b+c=0} thì phương trình bậc ba có hai nghiệm x 1 = 1 {\displaystyle x_{1}=1} ; x 2 = c / a {\displaystyle x_{2}=c/a}
    • Khi a − b + c = 0 {\displaystyle a-b+c=0} thì phương trình bậc ba có hai nghiệm x 1 = − 1 {\displaystyle x_{1}=-1} ; x 2 = − ( c / a ) {\displaystyle x_{2}=-(c/a)}

Phương trình đa thức bất kỳ

Cho phương trình:

a 0 + a 1 x + a 2 x 2 + . . . + a n x n = 0 , a n ≠ 0 {\displaystyle a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}+...+a_{n}x^{n}=0,\,a_{n}\neq 0}

Cho x1, x2,..., xn là n nghiệm của phương trình trên, thì:

a 0 + a 1 x + a 2 x 2 + . . . + a n x n = a ( x − x 1 ) ( x − x 2 ) . . . ( x − x n ) {\displaystyle a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}+...+a_{n}x^{n}=a(x-x_{1})(x-x_{2})...(x-x_{n})\,}

Nhân toàn bộ vế phải ra, chúng ta sẽ có công thức Viète, được phát biểu như sau:

{ a = a n − a ( x 1 + x 2 + . . . + x n ) = a n − 1 … … ( − 1 ) n − 1 a ( x 1 x 2 . . . x n − 1 + x 1 x 2 . . . x n − 2 x n + . . . + x 2 x 3 . . . x n ) = a 1 ( − 1 ) n a ( x 1 x 2 . . . x n ) = a 0 {\displaystyle {\begin{cases}{a=a_{n}}\\{-a(x_{1}+x_{2}+...+x_{n})=a_{n-1}}\\{\ldots }\\{\ldots }\\{(-1)^{n-1}a(x_{1}x_{2}...x_{n-1}+x_{1}x_{2}...x_{n-2}x_{n}+...+x_{2}x_{3}...x_{n})=a_{1}}\\{(-1)^{n}a(x_{1}x_{2}...x_{n})=a_{0}}\\\end{cases}}}
và trong hàng k bất kỳ, vế phải của đẳng thức là a n − k {\displaystyle a_{n-k}\,} còn vế trái được tính như sau:
  • ( − 1 ) k a {\displaystyle (-1)^{k}a\,}
nhân với
  • Tổng của: các tích từng cụm k các nghiệm của phương trình trên.

Ví dụ phương trình bậc 3

- Nếu x1, x2, x3 là nghiệm của phương trình

a x 3 + b x 2 + c x + d = 0 {\displaystyle ax^{3}+bx^{2}+cx+d=0\,}

thì công thức Viète (sau khi chia đều hai bên cho a3 tức a, và chuyển dấu trừ nếu có qua vế phải) cho ta:

{ x 1 + x 2 + x 3 = − b / a x 1 x 2 + x 2 x 3 + x 3 x 1 = c / a x 1 x 2 x 3 = − d / a {\displaystyle {\begin{cases}{x_{1}+x_{2}+x_{3}=-b/a}\\{x_{1}x_{2}+x_{2}x_{3}+x_{3}x_{1}=c/a}\\{x_{1}x_{2}x_{3}=-d/a}\\\end{cases}}}

Áp dụng

  • Trong trường hợp phương trình bậc hai, định lý Viète thường được dùng để tính nhẩm nghiệm số nguyên (nếu có) của phương trình.
    • Ví dụ: Có thể nhẩm tính phương trình: x 2 − 5 x + 6 = 0 {\displaystyle x^{2}-5x+6=0} có hai nghiệm là 2 và 3 vì 2+3=5 và 2 . {\displaystyle .\,} 3 = 6.
  • Định lý Viète cho phương trình bậc 3 hay cao hơn thường ít thấy trong toán học nghiên cứu, nhưng ngược lại khá quen thuộc trong các kỳ thi Olympic toán học. Định lý Vi-ét được ứng dụng rất nhiều trong chương trình toán học học kỳ 2, lớp 9 tại Việt Nam.
  • Áp dụng trong phương trình bậc hai a x 2 + b x + c = 0 , a ≠ 0 {\displaystyle ax^{2}+bx+c=0,\,a\neq 0}
    • Khi có tổng và tích của hai nghiệm { x 1 + x 2 = S = − b / a x 1 x 2 = P = c a {\displaystyle {\begin{cases}{x_{1}+x_{2}=S=-b/a}\\{x_{1}x_{2}=P={\frac {c}{a}}}\\\end{cases}}} với S 2 − 4 P ≥ 0 {\displaystyle S^{2}-4P\geq 0}
      • Khi đó x 1 , x 2 {\displaystyle x_{1},x_{2}} là nghiệm của phương trình X 2 − S X + P = 0 {\displaystyle X^{2}-SX+P=0}
      • Phương trình có hai nghiệm trái dấu ⇔ x 1 x 2 < 0 ⇔ {\displaystyle \Leftrightarrow x_{1}x_{2}<0\Leftrightarrow } P < 0 {\displaystyle P<0} hoặc tích của a c < 0 {\displaystyle ac<0} (tức a {\displaystyle a} và c {\displaystyle c} trái dấu nhau)
      • Phương trình có hai nghiệm dương phân biệt ⇔ 0 < x 1 < x 2 ⇔ { Δ > 0 S > 0 P > 0 {\displaystyle \Leftrightarrow 0<x_{1}<x_{2}\Leftrightarrow {\begin{cases}{\Delta >0}\\{S>0}\\{P>0}\\\end{cases}}}
      • Phương trình có hai nghiệm âm phân biệt ⇔ x 1 < x 2 < 0 ⇔ { Δ > 0 S < 0 P > 0 {\displaystyle \Leftrightarrow x_{1}<x_{2}<0\Leftrightarrow {\begin{cases}{\Delta >0}\\{S<0}\\{P>0}\\\end{cases}}}
      • Phương trình có đúng một nghiệm dương x 0 {\displaystyle x_{0}} ⇔ 0 < x 0 ⇔ { Δ = 0 x 0 + x 0 = S > 0 x 0 x 0 = P > 0 {\displaystyle \Leftrightarrow 0<x_{0}\Leftrightarrow {\begin{cases}{\Delta =0}\\{x_{0}+x_{0}=S>0}\\{x_{0}x_{0}=P>0}\\\end{cases}}}
      • Phương trình có đúng một nghiệm âm x 0 {\displaystyle x_{0}} ⇔ 0 < x 0 ⇔ { Δ = 0 x 0 + x 0 = S < 0 x 0 x 0 = P > 0 {\displaystyle \Leftrightarrow 0<x_{0}\Leftrightarrow {\begin{cases}{\Delta =0}\\{x_{0}+x_{0}=S<0}\\{x_{0}x_{0}=P>0}\\\end{cases}}}
    • Nhẩm nghiệm nhanh chóng
      • Khi a + b + c = 0 {\displaystyle a+b+c=0} thì phương trình bậc hai có hai nghiệm là x 1 = 1 {\displaystyle x_{1}=1} và x 2 = c / a {\displaystyle x_{2}=c/a}
      • Khi a − b + c = 0 {\displaystyle a-b+c=0} thì phương trình bậc hai có hai nghiệm là x 1 = − 1 {\displaystyle x_{1}=-1} và x 2 = − c / a {\displaystyle x_{2}=-c/a}
    • Phân tích đa thức thành nhân tử
      • Nếu hàm số f ( x ) = a x 2 + b x + c {\displaystyle f(x)={\displaystyle ax^{2}+bx+c}} có 2 nghiệm x 1 {\displaystyle x_{1}} và x 2 {\displaystyle x_{2}} thì nó có thể phân tích thành nhân tử f ( x ) = a ( x − x 1 ) ( x − x 2 ) {\displaystyle f(x)=a(x-x_{1})(x-x_{2})}
      • Nếu hàm số f ( x ) = a x 2 + b x + c {\displaystyle f(x)={\displaystyle ax^{2}+bx+c}} chỉ có 1 nghiệm x 0 {\displaystyle x_{0}} thì nó có thể phân tích thành nhân tử f ( x ) = a ( x − x 0 ) 2 {\displaystyle f(x)=a(x-x_{0})^{2}}
  • Áp dụng trong phương trình bậc ba a x 3 + b x 2 + c x + d = 0 {\displaystyle ax^{3}+bx^{2}+cx+d=0} :
    • Nhẩm nghiệm nhanh:
      • Khi a + b + c + d = 0 {\displaystyle a+b+c+d=0} thì phương trình bậc ba có một nghiệm x 1 = 1 {\displaystyle x_{1}=1}
      • Khi a − b + c − d = 0 {\displaystyle a-b+c-d=0} thì phương trình bậc ba có một nghiệm x 1 = − 1 {\displaystyle x_{1}=-1}

Tham khảo

Xem thêm