Biểu thức dạng đóng

Trong toán học, một biểu thức dạng đóng là một biểu thức toán học có thể được tính toán với số phép toán hữu hạn. Nó có thể chứa hằng số, biến số, một số phép toán "đã biết" (ví dụ: + − × ÷), và hàm số (ví dụ., các hàm căn bậc n, lũy thừa, lôgarit, hàm lượng giác, và các hàm hyperbol nghịch đảo), nhưng thường không có giới hạn. Tập hợp các phép toán và các hàm số được thừa nhận trong một biểu thức đóng có thể thay đổi theo tác giả và ngữ cảnh.

Các bài toán được cho là có thể thực hiện nếu chúng có thể được giải quyết dưới dạng biểu thức dạng đóng.

Ví dụ: nghiệm của đa thức

Cách giải bất kỳ phương trình bậc hai nào với số phức có thể được thể hiện ở dạng đóng với các phép cộng, phép trừ, phép nhân, phép chia và căn bậc hai, chúng đều là các hàm cơ bản. Ví dụ, phương trình bậc hai:

a x 2 + b x + c = 0 , {\displaystyle ax^{2}+bx+c=0,}

có thể thực hiện/theo dõi được vì các giải pháp của nó có thể được thể hiện dưới dạng biểu thức dạng đóng, tức là chỉ dùng các hàm cơ bản:

x = − b ± b 2 − 4 a c 2 a {\displaystyle x={-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}} \over 2a}}

Tương tự lời giải của phương trình bậc ba và bậc bốn có thể được biểu diễn bằng các phép toán số học, khai căn bậc hai, và khai căn bậc ba, hoặc sử dụng các phép tính số học và lượng giác. Tuy nhiên, có những phương trình bậc năm mà không có các lời giải dạng đóng bằng cách sử dụng các hàm số cơ bản, chẳng hạn phương trình x5 − x + 1 = 0.

Một lĩnh vực nghiên cứu về toán học được đề cập đến với cái tên là lý thuyết Galois liên quan đến chứng minh rằng không có biểu hiện dạng đóng trong một số ngữ cảnh, dựa trên ví dụ trung tâm của các lời giải dạng đóng đối với đa thức.

Đọc thêm

  • Ritt, J. F. (1948), Integration in finite terms
  • Chow, Timothy Y. (tháng 5 năm 1999), “What is a Closed-Form Number?”, American Mathematical Monthly, 106 (5): 440–448, doi:10.2307/2589148, JSTOR 2589148
  • Jonathan M. Borwein and Richard E. Crandall (tháng 1 năm 2013), “Closed Forms: What They Are and Why We Care”, Notices of the American Mathematical Society, 60 (1): 50–65, doi:10.1090/noti936

Tham khảo

Hình tượng sơ khai Bài viết liên quan đến đại số này vẫn còn sơ khai. Bạn có thể giúp Wikipedia mở rộng nội dung để bài được hoàn chỉnh hơn.
  • x
  • t
  • s
  • x
  • t
  • s
 Biểu thức số học Biểu thức đa thức Biểu thức đại số Biểu thức dạng đóng Biểu thức vi phân Biểu thức toán học
Hằng số Có Có Có Có Có Có
Biến số Có Có Có Có Có Có
Phép toán số học cơ sở Có Phép cộng, trừ & nhân Có Có Có Có
Giai thừa Có Có Có Có Có Có
Số mũ nguyên Không Có Có Có Có Có
Căn bậc n Không Không Có Có Có Có
Số mũ hữu tỷ Không Không Có Có Có Có
Số mũ vô tỷ Không Không Không Có Có Có
Logarit Không Không Không Có Có Có
Hàm lượng giác Không Không Không Có Có Có
Hàm lượng giác ngược Không Không Không Có Có Có
Hàm hypebolic Không Không Không Có Có Có
Hàm hyperbolic ngược Không Không Không Có Có Có
Hàm gamma Không Không Không Không Có Có
Hàm Bessel Không Không Không Không Có Có
Hàm đặc biệt Không Không Không Không Có Có
Phân số liên tục Không Không Không Không Có Có
Chuỗi vô hạn Không Không Không Không hội tụ Có
Chuỗi hàm hình thức Không Không Không Không Không Có
Vi phân Không Không Không Không Không Có
Giới hạn Không Không Không Không Không Có
Tích phân Không Không Không Không Không Có