Inverzní matice

V matematice je inverzní matice,^[1] reciproká matice nebo zkráceně inverze k dané regulární matici taková matice, která při součinu s původní maticí dá jednotkovou matici. Inverzní matice k matici ${\displaystyle {\boldsymbol {A}}}$ se značí ${\displaystyle {\boldsymbol {A}}^{-1}}$.^[2] Ne každá čtvercová matice má svou inverzi; invertibilní matice se nazývají regulární matice. Regulární matice reprezentují bijektivní lineární zobrazení a inverzní matice pak odpovídají inverzním zobrazením. Množina regulárních matic pevné velikosti tvoří obecnou lineární grupu s maticovým součinem jako grupovou operací. Inverzní matice je pak odpovídají inverzním prvkům v této grupě.

Inverzní matice se používají v lineární algebře mimo jiné při řešení soustav lineárních rovnic a v některých rozkladech matic.

Výpočet inverzní matice se nazývá invertování nebo též inverze matice a lze jej provést pomocí Gaussovy–Jordanovy eliminace nebo pomocí adjungované matice. Výpočet inverzní matice je důležitý při řešení řady úloh z lineární algebry, statistiky a dalších oborů aplikované matematiky.

Definice

Je-li ${\displaystyle {\boldsymbol {A}}\in R^{n\times n}}$ regulární matice se prvky z okruhu s jednotkovým prvkem ${\displaystyle R}$ (v praxi jde obvykle o těleso reálných čísel ), pak odpovídající inverzní maticí je matice ${\displaystyle {\boldsymbol {A}}^{-1}\in R^{n\times n}}$, pro kterou platí:

${\displaystyle {\boldsymbol {AA}}^{-1}={\boldsymbol {A}}^{-1}{\boldsymbol {A}}=\mathbf {I} _{n}}$,

kde binární operací je maticový součin a symbol ${\displaystyle \mathbf {I} }$ značí jednotkovou matici stejného řádu ${\displaystyle n}$ jako má matice ${\displaystyle {\boldsymbol {A}}}$. Je-li ${\displaystyle R}$ je komutativní okruh, těleso nebo i komutativní těleso, jsou obě podmínky ekvivalentní, to znamená, že pravá inverzní matice je zároveň levá inverzní a naopak.

Ukázka

Inverzní matice k reálné matici řádu 2

${\displaystyle {\boldsymbol {A}}={\begin{pmatrix}2&1\\6&4\end{pmatrix}}}$

je

${\displaystyle {\boldsymbol {A}}^{-1}={\begin{pmatrix}2&-{\tfrac {1}{2}}\\-3&1\end{pmatrix}}}$,

protože platí:

${\displaystyle {\boldsymbol {A}}{\boldsymbol {A}}^{-1}={\begin{pmatrix}2&1\\6&4\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}2&-{\tfrac {1}{2}}\\-3&1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}4-3&-1+1\\12-12&-3+4\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}}=\mathbf {I} _{2}}$

Inverzní matice k diagonální matici s prvky ${\displaystyle d_{1},\ldots ,d_{n}\neq 0}$ na diagonále se získá pomocí převrácených hodnot diagonálních prvků, protože:

${\displaystyle \operatorname {diag} \left(d_{1},\ldots ,d_{n}\right)\cdot \operatorname {diag} \left(d_{1}^{-1},\ldots ,d_{n}^{-1}\right)=\operatorname {diag} \left(1,\ldots ,1\right)=\mathbf {I_{n}} }$

Vlastnosti

Algebraické vlastnosti

Množina regulárních matic pevného řádu nad okruhem ${\displaystyle R}$ s jednotkovým prvkem a s maticovým součinem jako binární (ne nutně komutativní) operací tvoří grupu, nazývanou obecnou lineární grupu ${\displaystyle \operatorname {GL} _{n}(R)}$. Jednotková matice je jejím neutrálním prvkem a inverzní matice odpovídají inverzním prvkům. Inverzní matice jednoznačně definovaná a je inverzní zleva i zprava. Jednotková matice je inverzní sama k sobě:

${\displaystyle \mathbf {I} ^{-1}=\mathbf {I} }$

Inverze k inverzní matici je opět původní matice:

${\displaystyle \left({\boldsymbol {A}}^{-1}\right)^{-1}={\boldsymbol {A}}}$

Matice ${\displaystyle {\boldsymbol {A}}}$ a ${\displaystyle {\boldsymbol {A}}^{-1}}$ se proto nazývají navzájem inverzní. Součin dvou regulárních matic je opět regulární a inverze součinu je součinem příslušných inverzí, ale v opačném pořadí:

${\displaystyle ({\boldsymbol {AB}})^{-1}={\boldsymbol {B}}^{-1}{\boldsymbol {A}}^{-1}}$

Pokud lze matici reprezentovat jako součin snadno invertovatelných matic, lze inverzní matici součinu několika matic určit pomocí obecného vzorce:

${\displaystyle ({\boldsymbol {A}}_{1}{\boldsymbol {A}}_{2}\cdots {\boldsymbol {A}}_{k})^{-1}={\boldsymbol {A}}_{k}^{-1}\cdots {\boldsymbol {A}}_{2}^{-1}{\boldsymbol {A}}_{1}^{-1}}$

pro ${\displaystyle k\in \mathbb {N} }$ . Vztah platí i pro inverzi mocniny matice:

${\displaystyle \left({\boldsymbol {A}}^{k}\right)^{-1}=\left({\boldsymbol {A}}^{-1}\right)^{k}}$

Uvedená matice se obvykle značí ${\displaystyle {\boldsymbol {A}}^{-k}}$.

Vlastnosti matic nad tělesy

Pro inverzní matici s prvky z tělesa ${\displaystyle T}$ platí navíc i následující vlastnosti:

• Pro inverzi násobku matice nenulovým skalárem ${\displaystyle c\in T}$ platí:

${\displaystyle (c{\boldsymbol {A}})^{-1}=c^{-1}{\boldsymbol {A}}^{-1}}$

• Inverze transpozice matice se rovná transpozici inverzní matice:

${\displaystyle \left({\boldsymbol {A}}^{\mathrm {T} }\right)^{-1}=\left({\boldsymbol {A}}^{-1}\right)^{\mathrm {T} }}$

• Totéž platí pro hermitovskou transpozici komplexní matice:

${\displaystyle \left({\boldsymbol {A}}^{\mathrm {H} }\right)^{-1}=\left({\boldsymbol {A}}^{-1}\right)^{\mathrm {H} }}$

• Plná hodnost (neboli regularita) matice se při inverzi zachovává:

${\displaystyle \operatorname {rank} \left({\boldsymbol {A}}^{-1}\right)=\operatorname {rank} ({\boldsymbol {A}})=n}$

• Pro determinant inverzní matice platí:

${\displaystyle \operatorname {det} \left({\boldsymbol {A}}^{-1}\right)=(\det {\boldsymbol {A}})^{-1}}$

• Je ${\displaystyle \lambda }$ vlastní číslo matice ${\displaystyle {\boldsymbol {A}}}$ příslušné vlastnímu vektoru ${\displaystyle {\boldsymbol {x}}}$, pak ${\displaystyle \lambda ^{-1}}$ je vlastní číslo inverzní matice ${\displaystyle {\boldsymbol {A}}^{-1}}$ a přísluší stejnému vlastnímu vektoru ${\displaystyle {\boldsymbol {x}}}$ . Uvedený vztah lze geometricky interpretovat tak, že směr vektoru ${\displaystyle {\boldsymbol {x}}}$ zůstává zachován při zobrazení odpovídajícímu matici ${\displaystyle {\boldsymbol {A}}}$ i při jemu inverznímu zobrazení odpovídajícímu ${\displaystyle {\boldsymbol {A}}^{-1}}$.

Invarianty

Některé regulární matice si při inverzi zachovávají své další vlastnosti, například:

• horní a dolní trojúhelníkové matice a striktně horní a dolní trojúhelníkové matice,
• pozitivně definitní a negativně definitní matice,
• symetrické, persymetrické, bisymetrické a středově symetrické matice,
• unimodulární a celočíselné unimodulární matice.

Výpočet

V následujících odstavcích se pro jednoduchost předpokládá, že prvky matice náleží komutativnímu tělesu, aby bylo vždy možné provést příslušné aritmetické operace.

Gaussova–Jordanova eliminace

Reprezentace rovnic

Hledaná inverzní matice ${\displaystyle {\boldsymbol {A}}^{-1}}$ je řešením maticové rovnice ${\displaystyle {\boldsymbol {AX}}=\mathbf {I} }$:

${\displaystyle {\begin{pmatrix}a_{11}&\ldots &a_{1n}\\\vdots &~&\vdots \\a_{n1}&\ldots &a_{nn}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x_{11}&\ldots &x_{1n}\\\vdots &~&\vdots \\x_{n1}&\ldots &x_{nn}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1&~&0\\~&\ddots &~\\0&~&1\end{pmatrix}}}$

Výpočet ${\displaystyle j}$-tého sloupce ${\displaystyle {\boldsymbol {x}}_{j}}$ inverzní matice odpovídá vyřešení soustavy lineárních rovnic ${\displaystyle {\boldsymbol {Ax}}_{j}={\boldsymbol {e}}_{j}}$, kde na pravé straně je ${\displaystyle j}$-tý vektor ${\displaystyle {\boldsymbol {e}}_{j}}$ přirozené báze. Inverzní matici lze pak sestavit ze sloupců ${\displaystyle {\boldsymbol {x}}_{j}=(x_{1j},x_{2j},\dots ,x_{nj})^{\mathrm {T} }}$ předpisem:

${\displaystyle {\boldsymbol {A}}^{-1}={\boldsymbol {X}}=\left({\boldsymbol {x}}_{1}~|~{\boldsymbol {x}}_{2}~|~\ldots ~|~{\boldsymbol {x}}_{n}\right)}$

Postup

Inverzní matici lze efektivně spočítat pomocí Gaussovy–Jordanovy eliminace. Hlavní myšlenkou postupu je řešit ${\displaystyle n}$ soustav lineárních rovnic ${\displaystyle {\boldsymbol {Ax}}_{j}={\boldsymbol {e}}_{j}}$ současně. K tomuto účelu se nejprve matice koeficientů ${\displaystyle {\boldsymbol {A}}}$ rozšíří o jednotkovou matici ${\displaystyle \mathbf {I} }$ na blokovou matici:

${\displaystyle (\,{\boldsymbol {A}}\,|\,\mathbf {I} \,)=\left({\begin{array}{ccc|ccc}a_{11}&\ldots &a_{1n}\,&\,1&~&0\\\vdots &~&\vdots \,&\,~&\ddots &~\\a_{n1}&\ldots &a_{nn}\,&\,0&~&1\end{array}}\right)}$

Poté je matice ${\displaystyle {\boldsymbol {A}}}$ převedena do horního trojúhelníkového tvaru pomocí elementárních řádkových úprav, přičemž jednotková matice ${\displaystyle \mathbf {I} }$ je upravována též:

${\displaystyle (\,{\boldsymbol {D}}\,|\,{\boldsymbol {B}}\,)=\left({\begin{array}{ccc|ccc}\,*\,&\ldots &\,*\,\,&\,\,*\,&\ldots &\,*\,\\~&\ddots &\vdots \,&\,\vdots &~&\vdots \\0&~&\,*\,\,&\,\,*\,&\ldots &\,*\,\end{array}}\right)}$

V tomto okamžiku je možné rozhodnout, zda ${\displaystyle {\boldsymbol {A}}}$ má inverzní matici. Matice ${\displaystyle {\boldsymbol {A}}}$ je invertibilní, právě když matice ${\displaystyle {\boldsymbol {D}}}$ neobsahuje nulu na hlavní diagonále. V takovém případě lze matici ${\displaystyle {\boldsymbol {D}}}$ nejprve převést na diagonální tvar pomocí dalších elementárních řádkových úprav a poté ji vhodným škálováním řádků převést na jednotkovou matici. Výsledný tvar blokové matice je:

${\displaystyle (\,\mathbf {I} \,|\,{\boldsymbol {A}}^{-1}\,)=\left({\begin{array}{ccc|ccc}1&~&0\,&\,x_{11}&\ldots &x_{1n}\\~&\ddots &~\,&\,\vdots &~&\vdots \\0&~&1\,&\,x_{n1}&\ldots &x_{nn}\end{array}}\right)}$,

kde na pravé straně je hledaná inverzní matice ${\displaystyle {\boldsymbol {A}}^{-1}}$.

Ukázky

Inverzní matice k reálné matici

${\displaystyle {\boldsymbol {A}}={\begin{pmatrix}1&2\\2&3\end{pmatrix}}}$

lze získat následujícím provedením Gaussovy–Jordanovy eliminace:

${\displaystyle \left({\begin{array}{cc|cc}1&2\,&\,1&0\\{\color {BrickRed}2}&3\,&\,0&1\end{array}}\right)\rightarrow \left({\begin{array}{cc|cc}1&{\color {OliveGreen}2}\,&\,1&0\\0&-1\,&\,-2&1\end{array}}\right)\rightarrow \left({\begin{array}{cc|cc}1&0\,&\,-3&2\\0&{\color {Blue}-1}\,&\,-2&1\end{array}}\right)\rightarrow \left({\begin{array}{cc|cc}1&0\,&\,-3&2\\0&1\,&\,2&-1\end{array}}\right)}$

Nejprv je eliminována ${\displaystyle \color {BrickRed}2}$ pod diagonálou, což se provede odečtením dvojnásobku prvního řádku od druhého řádku. Potom je eliminována ${\displaystyle \color {OliveGreen}2}$ nad diagonálou, což se provede přičtením dvojnásobku druhého řádku k prvnímu řádku. V posledním kroku je pak druhý diagonální prvek normalizován na jedničku, což znamená, že se druhý řádek se vynásobí ${\displaystyle \color {Blue}-1}$. Inverzní maticí k ${\displaystyle {\boldsymbol {A}}}$ je:

${\displaystyle {\boldsymbol {A}}^{-1}={\begin{pmatrix}-3&2\\2&-1\end{pmatrix}}}$

Inverzní matice k reálné matici

${\displaystyle {\boldsymbol {A}}={\begin{pmatrix}1&2&0\\2&4&1\\2&1&0\end{pmatrix}}}$

lze získat následujícím provedením Gaussovy–Jordanovy eliminace: Nejprve jsou eliminovány dvě ${\displaystyle \color {BrickRed}2}$ v prvním sloupci, což se provede odečtením dvojnásobku prvního řádku. Nyní je druhý prvek na diagonále roven ${\displaystyle 0}$, proto se druhý řádek se zamění za třetí, což vede na horní trojúhelníkovou matici:

${\displaystyle \left({\begin{array}{ccc|ccc}1&2&0\,&\,1&0&0\\{\color {BrickRed}2}&4&1\,&\,0&1&0\\{\color {BrickRed}2}&1&0\,&\,0&0&1\end{array}}\right)\rightarrow \left({\begin{array}{ccc|ccc}1&2&0\,&\,1&0&0\\0&0&1\,&\,-2&1&0\\0&{\color {BrickRed}-3}&0\,&\,-2&0&1\end{array}}\right)\rightarrow \left({\begin{array}{ccc|ccc}1&2&0\,&\,1&0&0\\0&-3&0\,&\,-2&0&1\\0&0&1\,&\,-2&1&0\end{array}}\right)}$.

Získaná matice ${\displaystyle {\boldsymbol {D}}}$ je regulární, stejně jako ${\displaystyle {\boldsymbol {A}}}$. Nyní zbývá eliminovat ${\displaystyle \color {OliveGreen}2}$ nad diagonálou, což se provede přičtením dvou třetin druhého řádku k prvnímu, a druhý řádek vydělit ${\displaystyle \color {Blue}-3}$:

${\displaystyle \left({\begin{array}{ccc|ccc}1&{\color {OliveGreen}2}&0\,&\,1&0&0\\0&-3&0\,&\,-2&0&1\\0&0&1\,&\,-2&1&0\end{array}}\right)\rightarrow \left({\begin{array}{ccc|ccc}{\color {Blue}1}&0&0\,&\,-{\tfrac {1}{3}}&0&{\tfrac {2}{3}}\\0&{\color {Blue}-3}&0\,&\,-2&0&1\\0&0&1\,&\,-2&1&0\end{array}}\right)\rightarrow \left({\begin{array}{ccc|ccc}1&0&0\,&\,-{\tfrac {1}{3}}&0&{\tfrac {2}{3}}\\0&1&0\,&\,{\tfrac {2}{3}}&0&-{\tfrac {1}{3}}\\0&0&1\,&\,-2&1&0\end{array}}\right)}$.

Inverzní matice k ${\displaystyle {\boldsymbol {A}}}$ je:

${\displaystyle {\boldsymbol {A}}^{-1}={\begin{pmatrix}-{\tfrac {1}{3}}&0&{\tfrac {2}{3}}\\{\tfrac {2}{3}}&0&-{\tfrac {1}{3}}\\-2&1&0\end{pmatrix}}={\frac {1}{3}}{\begin{pmatrix}-1&0&2\\2&0&-1\\-6&3&0\end{pmatrix}}}$

Korektnost

Fakt, že Gaussova–Jordanova eliminace poskytuje inverzní matici, lze dokázat následovně: Jsou-li elementární matice, se kterými matice ${\displaystyle {\boldsymbol {A}}}$ se pomocí ${\displaystyle k}$ elementárních úprav převede na jednotkovou matici označeny ${\displaystyle {\boldsymbol {E}}_{1},\ldots ,{\boldsymbol {E}}_{k}}$, pak platí:

${\displaystyle \mathbf {I} ={\boldsymbol {E}}_{k}\cdots {\boldsymbol {E}}_{2}{\boldsymbol {E}}_{1}{\boldsymbol {A}}}$

Nyní lze obě strany této rovnosti vynásobit zprava maticí ${\displaystyle {\boldsymbol {A}}^{-1}}$, což dává:

${\displaystyle {\boldsymbol {A}}^{-1}={\boldsymbol {E}}_{k}\cdots {\boldsymbol {E}}_{2}{\boldsymbol {E}}_{1}\mathbf {I} }$

Je-li matice ${\displaystyle {\boldsymbol {A}}}$ převedena na jednotkovou matici vynásobením zleva několika elementárními maticemi, pak jednotková matice vynásobená stejnou posloupností elementárních matic dává inverzní matici ${\displaystyle {\boldsymbol {A}}^{-1}}$.

Numerické záležitosti

Pro zvýšení numerické přesnosti se při výpočtech na počítačích provádí obvykle pivotace prvků.

Výpočet inverze k matici řádu ${\displaystyle n}$ Gaussovou–Jordanovou eliminací má časovou složitost ${\displaystyle O(n^{3})}$.

Adjungovaná matice

Pomocí determinantu ${\displaystyle \det \mathbf {A} }$matice a adjungované matice ${\displaystyle \mathop {\mathrm {adj} } \mathbf {A} }$ (sestavené z algebraických doplňků) je možné najít inverzní matici použitím vzorce: ${\displaystyle \mathbf {A} ^{-1}={\frac {1}{\det \mathbf {A} }}\mathop {\mathrm {adj} } \mathbf {A} }$

Uvedený postup umožňuje přímý výpočet každého z prvků inverzní matice. Matice ${\displaystyle \mathbf {A} ^{-1}}$ má v ${\displaystyle i}$-tém řádku a ${\displaystyle j}$-tém sloupci prvek ${\displaystyle {\frac {(-1)^{i+j}\det \mathbf {A} _{ji}}{\det \mathbf {A} }}}$, kde ${\displaystyle \mathbf {A} _{ji}}$ je submatice získaná z matice ${\displaystyle \mathbf {A} }$ vynecháním ${\displaystyle j}$-tého řádku a ${\displaystyle i}$-tého sloupce.

Vztah vyplývá z Cramerova pravidla, pomocí nějž lze přímo zapsat řešení soustavy ${\displaystyle {\boldsymbol {Ax}}_{j}={\boldsymbol {e}}_{j}}$:

${\displaystyle x_{ij}={\frac {\det {\boldsymbol {A}}_{i}}{\det {\boldsymbol {A}}}}}$,

kde matice ${\displaystyle {\boldsymbol {A}}_{i}}$ vznikne nahrazením ${\displaystyle i}$-tého sloupce vektorem ${\displaystyle {\boldsymbol {e}}_{j}}$. Laplaceův rozvoj determinantu v čitateli podle ${\displaystyle i}$-tého sloupce vede ke vztahu:

${\displaystyle x_{ij}={\frac {(-1)^{i+j}\det {\boldsymbol {A}}_{ji}}{\det {\boldsymbol {A}}}}}$,

kde ${\displaystyle {\boldsymbol {A}}_{ij}}$ značí podmatici matice ${\displaystyle {\boldsymbol {A}}}$ vzniklou odstraněním ${\displaystyle i}$ -tého řádku a ${\displaystyle j}$-tého sloupce (pozor na záměnu pořadí indexů ${\displaystyle i}$ a ${\displaystyle j}$ ). Subdeterminanty ${\displaystyle \det {\boldsymbol {A}}_{ij}}$ jsou také nazývány minory určené maticí ${\displaystyle {\boldsymbol {A}}}$. Čísla

${\displaystyle x_{ij}'=(-1)^{i+j}\det {\boldsymbol {A}}_{ij}}$

se nazývají kofaktory matice ${\displaystyle {\boldsymbol {A}}}$ a dohromady tvoří kofaktorovou matici ${\displaystyle (\operatorname {cof} {\boldsymbol {A}})_{ij}=x_{ij}'}$. Transpozice kofaktorové matice se nazývá adjungovaná matice k matici ${\displaystyle {\boldsymbol {A}}}$ a značí se ${\displaystyle \operatorname {adj} {\boldsymbol {A}}}$. Pomocí adjungované matice lze inverzní matici zapsat vztahem:

${\displaystyle {\boldsymbol {A}}^{-1}={\frac {1}{\det {\boldsymbol {A}}}}\operatorname {adj} {\boldsymbol {A}}}$

Uvedený vzorec platí i pro matice s prvky z komutativního okruhu s jednotkou za předpokladu, že ${\displaystyle \det {\boldsymbol {A}}}$ je jednotkou v daném okruhu.

Vzorce pro matice řádů 2 a 3

Pro matice řádu 2 platí vzorec:

${\displaystyle {\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}^{-1}={\frac {1}{\det {\boldsymbol {A}}}}{\begin{pmatrix}d&-b\\-c&a\end{pmatrix}}={\frac {1}{ad-bc}}{\begin{pmatrix}d&-b\\-c&a\end{pmatrix}}}$

Pro matice řádu 3 lze odvodit vzorec:

${\displaystyle {\begin{pmatrix}a&b&c\\d&e&f\\g&h&i\end{pmatrix}}^{-1}={\frac {1}{\det {\boldsymbol {A}}}}{\begin{pmatrix}ei-fh&ch-bi&bf-ce\\fg-di&ai-cg&cd-af\\dh-eg&bg-ah&ae-bd\end{pmatrix}}}$,

kde ${\displaystyle \det {\boldsymbol {A}}}$ lze vyjádřit např. pomocí Sarrusova pravidla. Uvedeným způsobem lze odvodit vzorce pro inverzi matic vyšších řádů. Jejich zápis i výpočet jsou však příliš složité, a proto se neužívají.

Ukázky

Inverzní matice k následující reálné matici řádu 2 je:

${\displaystyle {\begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix}}^{-1}={\frac {1}{4-6}}\,{\begin{pmatrix}4&-2\\-3&1\end{pmatrix}}={\frac {1}{2}}{\begin{pmatrix}-4&2\\3&-1\end{pmatrix}}}$

Inverzní matice k následující reálné matici řádu 3 je:

${\displaystyle {\begin{pmatrix}2&-1&0\\-1&2&-1\\0&-1&2\end{pmatrix}}^{-1}={\frac {1}{8-2-2}}\,{\begin{pmatrix}4-1&2-0&1-0\\2-0&4-0&2-0\\1-0&2-0&4-1\end{pmatrix}}={\frac {1}{4}}{\begin{pmatrix}3&2&1\\2&4&2\\1&2&3\end{pmatrix}}}$

Výpočetní složitost

Za předpokladu, že výpočet determinantu matice řádu ${\displaystyle n}$ vyžaduje ${\displaystyle \omega (n^{2})}$ aritmetických operací, a každý z ${\displaystyle n^{2}}$ prvků adjungované matice by byl počítán separátně, by uvedený výpočet inverze matice řádu ${\displaystyle n}$ měl časovou složitost ${\displaystyle \omega (n^{4})}$.

Inverze blokové matice

Je-li dána bloková čtvercová matice ${\displaystyle {\boldsymbol {M}}={\begin{pmatrix}{\boldsymbol {A}}&{\boldsymbol {B}}\\{\boldsymbol {C}}&{\boldsymbol {D}}\end{pmatrix}}}$ kde ${\displaystyle {\boldsymbol {A}}}$ i Schurův doplněk ${\displaystyle {\boldsymbol {M}}/{\boldsymbol {A}}:={\boldsymbol {D}}-{\boldsymbol {CA}}^{-1}{\boldsymbol {B}}}$ matice ${\displaystyle {\boldsymbol {A}}}$ v ${\displaystyle {\boldsymbol {M}}}$ jsou regulární matice, pak ${\displaystyle {\boldsymbol {M}}}$ je také regulární matice a platí pro ni:

${\displaystyle {\boldsymbol {M}}={\begin{pmatrix}\mathbf {I} &\mathbf {0} \\{\boldsymbol {CA}}^{-1}&\mathbf {I} \end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}{\boldsymbol {A}}&\mathbf {0} \\\mathbf {0} &{\boldsymbol {M}}/{\boldsymbol {A}}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}\mathbf {I} &{\boldsymbol {A}}^{-1}{\boldsymbol {B}}\\\mathbf {0} &\mathbf {I} \end{pmatrix}}}$

Z uvedeného vztahu lze vyjádřit inverzní matici:

${\displaystyle {\begin{aligned}{\boldsymbol {M}}^{-1}&={\begin{pmatrix}\mathbf {I} &{\boldsymbol {A}}^{-1}{\boldsymbol {B}}\\\mathbf {0} &\mathbf {I} \end{pmatrix}}^{-1}{\begin{pmatrix}{\boldsymbol {A}}&\mathbf {0} \\\mathbf {0} &{\boldsymbol {M}}/{\boldsymbol {A}}\end{pmatrix}}^{-1}{\begin{pmatrix}\mathbf {I} &\mathbf {0} \\{\boldsymbol {CA}}^{-1}&\mathbf {I} \end{pmatrix}}^{-1}\\&={\begin{pmatrix}\mathbf {I} &-{\boldsymbol {A}}^{-1}{\boldsymbol {B}}\\\mathbf {0} &\mathbf {I} \end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}{\boldsymbol {A}}^{-1}&\mathbf {0} \\\mathbf {0} &({\boldsymbol {M}}/{\boldsymbol {A}})^{-1}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}\mathbf {I} &\mathbf {0} \\-{\boldsymbol {CA}}^{-1}&\mathbf {I} \end{pmatrix}}\\&={\begin{pmatrix}{\boldsymbol {A}}^{-1}+{\boldsymbol {A}}^{-1}{\boldsymbol {B}}({\boldsymbol {M}}/{\boldsymbol {A}})^{-1}{\boldsymbol {CA}}^{-1}&-{\boldsymbol {A}}^{-1}{\boldsymbol {B}}({\boldsymbol {M}}/{\boldsymbol {A}})^{-1}\\-({\boldsymbol {M}}/{\boldsymbol {A}})^{-1}{\boldsymbol {CA}}^{-1}&({\boldsymbol {M}}/{\boldsymbol {A}})^{-1}\end{pmatrix}}\end{aligned}}}$

Jsou-li naopak ${\displaystyle {\boldsymbol {D}}}$ i Schurův doplněk ${\displaystyle {\boldsymbol {M}}/{\boldsymbol {D}}:={\boldsymbol {A}}-{\boldsymbol {BD}}^{-1}{\boldsymbol {C}}}$ matice ${\displaystyle {\boldsymbol {D}}}$ v ${\displaystyle {\boldsymbol {M}}}$ regulární, pak platí:

${\displaystyle {\boldsymbol {M}}={\begin{pmatrix}\mathbf {I} &{\boldsymbol {BD}}^{-1}\\\mathbf {0} &\mathbf {I} \end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}{\boldsymbol {M}}/{\boldsymbol {D}}&\mathbf {0} \\\mathbf {0} &{\boldsymbol {D}}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}\mathbf {I} &\mathbf {0} \\{\boldsymbol {D}}^{-1}{\boldsymbol {C}}&\mathbf {I} \end{pmatrix}}}$

a pro inverzní matici: ^[3]

${\displaystyle {\begin{aligned}{\boldsymbol {M}}^{-1}&={\begin{pmatrix}\mathbf {I} &\mathbf {0} \\{\boldsymbol {D}}^{-1}{\boldsymbol {C}}&\mathbf {I} \end{pmatrix}}^{-1}{\begin{pmatrix}{\boldsymbol {M}}/{\boldsymbol {D}}&\mathbf {0} \\\mathbf {0} &{\boldsymbol {D}}\end{pmatrix}}^{-1}{\begin{pmatrix}\mathbf {I} &{\boldsymbol {BD}}^{-1}\\\mathbf {0} &\mathbf {I} \end{pmatrix}}^{-1}\\&={\begin{pmatrix}\mathbf {I} &\mathbf {0} \\-{\boldsymbol {D}}^{-1}{\boldsymbol {C}}&\mathbf {I} \end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}({\boldsymbol {M}}/{\boldsymbol {D}})^{-1}&\mathbf {0} \\\mathbf {0} &{\boldsymbol {D}}^{-1}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}\mathbf {I} &-{\boldsymbol {BD}}^{-1}\\\mathbf {0} &\mathbf {I} \end{pmatrix}}\\&={\begin{pmatrix}({\boldsymbol {M}}/{\boldsymbol {D}})^{-1}&-({\boldsymbol {M}}/{\boldsymbol {D}})^{-1}{\boldsymbol {BD}}^{-1}\\-{\boldsymbol {D}}^{-1}{\boldsymbol {C}}({\boldsymbol {M}}/{\boldsymbol {D}})^{-1}&{\boldsymbol {D}}^{-1}+{\boldsymbol {D}}^{-1}{\boldsymbol {C}}({\boldsymbol {M}}/{\boldsymbol {D}})^{-1}{\boldsymbol {BD}}^{-1}\end{pmatrix}}\end{aligned}}}$

Uvedené vzorce lze využít k paměťově efektivnímu výpočtu inverzí matic velkých rozměrů.^[4]

Charakteristický polynom

Inverzní matici lze vyjádřit i pomocí charakteristického polynomu. Je-li ${\displaystyle {\boldsymbol {A}}\in T^{n\times n}}$ regulární čtvercová matice a ${\displaystyle \chi _{\boldsymbol {A}}(t)=c_{0}+c_{1}t+c_{2}t^{2}+\dots +c_{n}t^{n}}$ je její charakteristický polynom, pak platí:

${\displaystyle {\boldsymbol {A}}^{-1}=-{\frac {1}{\det {\boldsymbol {A}}}}\left(c_{1}\mathbf {I} _{n}+c_{2}{\boldsymbol {A}}+\dots +c_{n}{\boldsymbol {A}}^{n-1}\right)}$

Dosazení matice do polynomu je obdobou dosazení reálného čísla s tím rozdílem, že se používají maticové operace pro součet, násobek i mocninu. ${\displaystyle \mathbf {I} _{n}}$ značí jednotkovou matici řádu ${\displaystyle n}$.

Vztah vyplývá z Cayleyho–Hamiltonovy věty, která tvrdí, že dosazení matice do svého charakteristického polynomu má vždy za výsledek nulovou matici:

${\displaystyle \chi _{\boldsymbol {A}}({\boldsymbol {A}})=\mathbf {0} \,\,\Longleftrightarrow \,\,c_{0}\mathbf {I} _{n}+\sum _{i=1}^{n}c_{i}{\boldsymbol {A}}^{i}=\mathbf {0} \,\,\Longleftrightarrow \,\,-c_{0}\mathbf {I} _{n}={\boldsymbol {A}}\cdot \sum _{i=1}^{n}c_{i}{\boldsymbol {A}}^{i-1}\,\,\Longleftrightarrow \,\,{\boldsymbol {A}}^{-1}=\displaystyle -{\frac {1}{c_{0}}}\sum _{i=1}^{n}c_{i}{\boldsymbol {A}}^{i-1}}$

Ukázka

Charakteristický polynom matice ${\displaystyle {\boldsymbol {A}}={\begin{pmatrix}3&2&5\\1&1&3\\2&4&6\end{pmatrix}}}$ řádu 3 je kubický polynom ${\displaystyle \chi _{\boldsymbol {A}}(t)=t^{3}-10t^{2}+3t+8}$.

Dosazení do vzorce dává:

${\displaystyle {\begin{aligned}{\boldsymbol {A}}^{-1}&=-{\frac {1}{c_{0}}}\sum _{i=1}^{n}c_{i}{\boldsymbol {A}}^{i-1}\\\\&=-{\frac {1}{c_{0}}}\left(c_{1}\mathbf {I} _{3}+c_{2}{\boldsymbol {A}}+c_{3}{\boldsymbol {A}}^{2}\right)\\\\&=-{\frac {1}{8}}\left(3\cdot {\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}}-10\cdot {\begin{pmatrix}3&2&5\\1&1&3\\2&4&6\end{pmatrix}}+1\cdot {\begin{pmatrix}21&28&51\\10&15&26\\22&32&58\end{pmatrix}}\right)\\\\&=-{\frac {1}{8}}{\begin{pmatrix}-6&8&1\\0&8&-4\\2&-8&1\end{pmatrix}}\end{aligned}}}$

Numerické záležitosti

Obecně se v numerické matematice soustavy lineárních rovnic tvaru ${\displaystyle {\boldsymbol {Ax}}={\boldsymbol {b}}}$ s regulární ${\displaystyle {\boldsymbol {A}}}$ neřeší pomocí inverzní matice

${\displaystyle {\boldsymbol {x}}={\boldsymbol {A}}^{-1}{\boldsymbol {b}}}$,

ale pomocí speciálních metod pro soustavy lineárních rovnic (viz Numerická lineární algebra). Metoda výpočtu pomocí inverze je nejen mnohem složitější, ale i méně stabilní. Zejména pro velmi velké matice se pak používají aproximační metody. Možným přístupem je Neumannova řada, která aproximuje inverzní matici pomocí nekonečné řady

${\displaystyle {\boldsymbol {A}}^{-1}=\sum _{k=0}^{\infty }(\mathbf {I} -{\boldsymbol {A}})^{k}}$

za předpokladu, že řada konverguje. Částečný součet řady poskytuje přibližnou hodnotu inverzní matice. Pro speciální matice, jako jsou pásmové matice nebo Toeplitzovy matice, existují i jiné účinné metody výpočtu inverze.

Použití

Řešení lineárních algebraických rovnic

Inverzní matici lze využít k řešení některých lineárních algebraických rovnic s maticemi.

Je-li matice ${\displaystyle \mathbf {A} }$ regulární, pak řešení rovnice ${\displaystyle \mathbf {AX} =\mathbf {B} }$ lze popsat přímo vztahem ${\displaystyle \mathbf {X} =\mathbf {A} ^{-1}\mathbf {B} }$.

Speciální matice

Pomocí inverzní matice lze charakterizovat následující třídy matic:

• U samoinverzních matic je inverze rovna původní matici: ${\displaystyle {\boldsymbol {A}}^{-1}={\boldsymbol {A}}}$,
• u ortogonálních matic se inverze shoduje s transpozici: ${\displaystyle {\boldsymbol {A}}^{-1}={\boldsymbol {A}}^{\mathrm {T} }}$,
• u unitárních matic se inverzní rovná hermitovské transpozici: ${\displaystyle {\boldsymbol {A}}^{-1}={\boldsymbol {A}}^{\mathrm {H} }}$.

Inverzi lze určit přímo např. pro diagonální matice, Frobeniovy matice, Hilbertovy matice a tridiagonální Toeplitzovy matice.

Matice inverzního zobrazení

Jsou-li dány ${\displaystyle V}$ a ${\displaystyle W}$ dva ${\displaystyle n}$-dimenzionální vektorové prostory nad tělesem ${\displaystyle T}$ a bijektivní lineární zobrazení ${\displaystyle f\colon V\to W}$, pak jemu inverzní zobrazení ${\displaystyle f^{-1}\colon W\to V}$ je definováno vztahem:

${\displaystyle f^{-1}\circ f=f\circ f^{-1}=\operatorname {id} }$,

kde ${\displaystyle \operatorname {id} }$ představuje identické zobrazení. Pro matice zobrazení ${\displaystyle {\boldsymbol {A}}_{f},{\boldsymbol {A}}_{f^{-1}}\in T^{n\times n}}$ (vzhledem k pevně zvoleným bázím prostorů ${\displaystyle V}$ a ${\displaystyle W}$) pak platí vztah:

${\displaystyle {\boldsymbol {A}}_{f^{-1}}={\boldsymbol {A}}_{f}^{-1}}$

Matice inverzního zobrazení je inverzní k matici původního zobrazení.

Duální báze

Je ${\displaystyle V}$ konečně-rozměrný vektorový prostor nad tělesem ${\displaystyle T}$, pak odpovídající duální prostor ${\displaystyle V^{\ast }}$ je vektorový prostor lineárních funkcionálů ${\displaystyle V\to T}$ . Je-li ${\displaystyle \{v_{1},\ldots ,v_{n}\}}$ báze prostoru ${\displaystyle V}$, pak odpovídající duální bázi ${\displaystyle \{v_{1}^{\ast },\ldots ,v_{n}^{\ast }\}}$ prostoru ${\displaystyle V^{\ast }}$ lze charakterizovat pomocí Kroneckerova delta:

${\displaystyle v_{i}^{\ast }(v_{j})=\delta _{ij}}$,

kde ${\displaystyle i,j\in \{1,\dots ,n\}}$. Jestliže ${\displaystyle {\boldsymbol {A}}_{v}=(x_{1}\mid \ldots \mid x_{n})}$ je matice složená z vektorů souřadnic vektorů ${\displaystyle \{v_{1},\ldots ,v_{n}\}}$, pak odpovídající duální matice ${\displaystyle {\boldsymbol {A}}_{v^{\ast }}=(x_{1}^{\ast }\mid \ldots \mid x_{n}^{\ast })^{\mathrm {T} }}$ splňuje:

${\displaystyle {\boldsymbol {A}}_{v^{\ast }}={\boldsymbol {A}}_{v}^{-1}}$

Matice souřadnic vektorů duální báze je tedy inverzní maticí k matici souřadnic vektorů primární báze.

Jiné aplikace

Inverzní matice se také používají v lineární algebře, mimo jiné:

• Ve vztazích ekvivalence, například podobnost a ekvivalence matic,
• pro normální formy matic, například Jordanovu normální formu nebo Frobeniovu normální formu,
• v maticových rozkladech, například pro Singulární rozklad,
• při výpočtu podmíněnosti matice regulárních matic.

Zobecnění

Pro singulární a obdélníkové matice lze sestrojit tzv. pseudoinverzi matice.

Odkazy

Reference

V tomto článku byl použit překlad textu z článku Inverse Matrix na německé Wikipedii.

Literatura

• BÄRTSCH, Hans-Jochen. Matematické vzorce. Praha: Academia, 2006. 832 s. ISBN 80-200-1448-9. Kapitola Matice, s. 180–198. 

• BEČVÁŘ, Jindřich. Lineární algebra. 1.. vyd. Praha: Matfyzpress, 2019. 436 s. ISBN 978-80-7378-392-1. 
• HLADÍK, Milan. Lineární algebra (nejen) pro informatiky. 1.. vyd. Praha: Matfyzpress, 2019. 328 s. ISBN 978-80-7378-378-5. S. 39. 
• OLŠÁK, Petr. Lineární algebra [online]. Praha: 2007 [cit. 2023-02-20]. Dostupné online. 
• MOTL, Luboš; ZAHRADNÍK, Miloš. Pěstujeme lineární algebru [online]. [cit. 2023-02-20]. Dostupné online. 

Související články

• Regulární matice
• Determinant
• Hodnost matice
• Pseudoinverze, zobecnění inverzí k singulárním a nečtvercovým maticím
• Diagonalizace, převod matice do diagonální formy pomocí podobnostní transformace

Externí odkazy

• Lineární algebra: práce s maticemi Archivováno 3. 3. 2008 na Wayback Machine.
• Operace s maticemi v R (determinant, stopa, inverzní, adjungovaná, transponovaná) Aplikace, která vypočítá inverzní matici z matice řádu 2-8
• Online výpočet soustav lineárních rovnic
• Matrix Inverse v encyklopedii MathWorld (anglicky)