Spazio metrizzabile

In topologia, uno spazio topologico ( X , τ ) {\displaystyle (X,\tau )} si dice metrizzabile se esiste su X {\displaystyle X} una metrica d {\displaystyle d} tale che la topologia indotta da d {\displaystyle d} sia proprio τ {\displaystyle \tau } .[1]

Gli spazi metrizzabili sono omeomorfi agli spazi metrici e ne inducono tutte le proprietà. Per esempio, sono spazi di Hausdorff, paracompatti e spazi ogni cui punto ha una base numerabile di intorni.

Esistono teoremi che assicurano condizioni sufficienti alla metrizzabilità di uno spazio:

  • teorema di Urysohn: ogni spazio di Hausdorff, regolare e a base numerabile è metrizzabile;
  • teorema di Nagata-Smirnov: uno spazio è metrizzabile se e solo se è regolare e di Hausdorff ed ha una base finita σ {\displaystyle \sigma } -localmente;
  • teorema di Bing: uno spazio è metrizzabile se e solo se è regolare e T0 ed ha una base σ {\displaystyle \sigma } -discreta.

Uno spazio si dice localmente metrizzabile se ogni punto ha un intorno metrizzabile. Sempre di Smirnov è il risultato che uno spazio localmente metrizzabile di Hausdorff è metrizzabile se e solo se è paracompatto.

Note

  1. ^ M. Manetti, p. 56.

Bibliografia

  • Marco Manetti, Topologia, Springer, 2008, ISBN 978-88-470-0756-7.
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