Topologia finale

In matematica, in particolare in topologia generale, la topologia finale o topologia forte su un insieme rispetto ad una famiglia di funzioni è la topologia più fine tale per cui le funzioni della famiglia sono continue.[1]

La struttura duale alla topologia finale è detta topologia iniziale.

Definizione

Dato un insieme X {\displaystyle X} e una famiglia di spazi topologici Y i {\displaystyle Y_{i}} in cui sono definite le funzioni f i : Y i → X {\displaystyle f_{i}:Y_{i}\to X} , la topologia finale τ {\displaystyle \tau } su X {\displaystyle X} è la topologia più fine tale per cui ogni funzione:

f i : Y i → ( X , τ ) {\displaystyle f_{i}:Y_{i}\to (X,\tau )}

è continua.

Esplicitamente, nella topologia finale un insieme U ⊂ X {\displaystyle U\subset X} è aperto se e solo se f i − 1 ( U ) {\displaystyle f_{i}^{-1}(U)} è aperto in Y i {\displaystyle Y_{i}} per ogni indice i {\displaystyle i} .

Proprietà

Characteristic property of the final topology
Characteristic property of the final topology

Un sottoinsieme di X {\displaystyle X} è aperto o chiuso se e solo se la preimmagine relativa a f i {\displaystyle f_{i}} è rispettivamente aperta o chiusa in Y i {\displaystyle Y_{i}} per ogni indice i {\displaystyle i} .

La topologia finale su X {\displaystyle X} può essere caratterizzata dalla seguente proprietà: una funzione g : X → Z {\displaystyle g:X\to Z} è continua se e solo se g ∘ f i {\displaystyle g\circ f_{i}} è continua per ogni indice i {\displaystyle i} . Dalle proprietà della topologia naturale definita sull'unione disgiunta degli insiemi di una famiglia di spazi topologici segue che, data una qualsiasi famiglia di funzioni continue f i : Y i → X {\displaystyle f_{i}:Y_{i}\to X} , esiste un'unica funzione continua:

f : ∐ i Y i → X {\displaystyle f\colon \coprod _{i}Y_{i}\to X}

Se la famiglia di funzioni f i {\displaystyle f_{i}} ricopre X {\displaystyle X} (ovvero ogni x ∈ X {\displaystyle x\in X} è nell'immagine di qualche f i {\displaystyle f_{i}} ) allora f {\displaystyle f} è una mappa quoziente se e solo se X {\displaystyle X} possiede la topologia finale determinata dalle mappe f i {\displaystyle f_{i}} .

Note

  1. ^ Reed, Simon, Pag. 111.

Bibliografia

  • (EN) Michael Reed, Barry Simon, Methods of Modern Mathematical Physics, Vol. 1: Functional Analysis, 2ª ed., San Diego, California, Academic press inc., 1980, ISBN 0125850506.
  • (EN) Stephen Willard, General Topology, Reading, Massachusetts, Addison-Wesley, 1970, ISBN 0-486-43479-6 (Dover edition).

Voci correlate

  • Relazione di finezza
  • Topologia
  • Topologia di sottospazio
  • Topologia iniziale
  • Topologia operatoriale
  • Topologia quoziente

Collegamenti esterni

  • (EN) initial topology, in PlanetMath.
  • (EN) product topology and subspace topology, in PlanetMath.
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