五十七角形

五十七角形（ごじゅうしちかくけい、ごじゅうしちかっけい、pentacontaheptagon）は、多角形の一つで、57本の辺と57個の頂点を持つ図形である。内角の和は9900°、対角線の本数は1539本である。

正五十七角形

正五十七角形においては、中心角と外角は6.315…°で、内角は173.684…°となる。一辺の長さが a の正五十七角形の面積 S は

S={\frac {57}{4}}a^{2}\cot {\frac {\pi }{57}}\simeq 258.28535a^{2}

以下のように定義すると

{\begin{aligned}&x_{1}=2\cos {\frac {2\pi }{57}}+2\cos {\frac {14\pi }{57}}+2\cos {\frac {16\pi }{57}}\\&x_{2}=2\cos {\frac {10\pi }{57}}+2\cos {\frac {44\pi }{57}}+2\cos {\frac {34\pi }{57}}\\&x_{3}=2\cos {\frac {50\pi }{57}}+2\cos {\frac {8\pi }{57}}+2\cos {\frac {56\pi }{57}}\\&x_{4}=2\cos {\frac {22\pi }{57}}+2\cos {\frac {40\pi }{57}}+2\cos {\frac {52\pi }{57}}\\&x_{5}=2\cos {\frac {4\pi }{57}}+2\cos {\frac {28\pi }{57}}+2\cos {\frac {32\pi }{57}}\\&x_{6}=2\cos {\frac {20\pi }{57}}+2\cos {\frac {26\pi }{57}}+2\cos {\frac {46\pi }{57}}\\\end{aligned}}

以下の関係がある。

{\begin{aligned}&x_{1}+x_{3}+x_{5}={\frac {1+{\sqrt {57}}}{2}}=\alpha \\&x_{2}+x_{4}+x_{6}={\frac {1-{\sqrt {57}}}{2}}=\beta \\\end{aligned}}

さらに、以下のような関係式が得られる。

{\begin{aligned}\left(x_{1}+\omega \cdot x_{3}+\omega ^{2}\cdot x_{5}\right)^{3}=&{\frac {-11+3{\sqrt {57}}}{2}}+3\omega \left({\frac {-29-3{\sqrt {57}}}{2}}\right)+3\omega ^{2}\left({\frac {47+7{\sqrt {57}}}{2}}\right)\\=&{\frac {-38-3{\sqrt {57}}-3{\sqrt {3}}(38+5{\sqrt {57}})i}{2}}\\\left(x_{1}+\omega ^{2}\cdot x_{3}+\omega \cdot x_{5}\right)^{3}=&{\frac {-11+3{\sqrt {57}}}{2}}+3\omega ^{2}\left({\frac {-29-3{\sqrt {57}}}{2}}\right)+3\omega \left({\frac {47+7{\sqrt {57}}}{2}}\right)\\=&{\frac {-38-3{\sqrt {57}}+3{\sqrt {3}}(38+5{\sqrt {57}})i}{2}}\\\left(x_{2}+\omega \cdot x_{4}+\omega ^{2}\cdot x_{6}\right)^{3}=&{\frac {-11-3{\sqrt {57}}}{2}}+3\omega \left({\frac {-29+3{\sqrt {57}}}{2}}\right)+3\omega ^{2}\left({\frac {47-7{\sqrt {57}}}{2}}\right)\\=&{\frac {-38+3{\sqrt {57}}-3{\sqrt {3}}(38-5{\sqrt {57}})i}{2}}\\\left(x_{2}+\omega ^{2}\cdot x_{4}+\omega \cdot x_{6}\right)^{3}=&{\frac {-11-3{\sqrt {57}}}{2}}+3\omega ^{2}\left({\frac {-29+3{\sqrt {57}}}{2}}\right)+3\omega \left({\frac {47-7{\sqrt {57}}}{2}}\right)\\=&{\frac {-38+3{\sqrt {57}}+3{\sqrt {3}}(38-5{\sqrt {57}})i}{2}}\\\end{aligned}}

両辺の立方根を取ると

{\begin{aligned}x_{1}+\omega \cdot x_{3}+\omega ^{2}\cdot x_{5}=&{\sqrt[{3}]{\frac {-38-3{\sqrt {57}}-3{\sqrt {3}}(38+5{\sqrt {57}})i}{2}}}\\x_{1}+\omega ^{2}\cdot x_{3}+\omega \cdot x_{5}=&{\sqrt[{3}]{\frac {-38-3{\sqrt {57}}+3{\sqrt {3}}(38+5{\sqrt {57}})i}{2}}}\\x_{2}+\omega \cdot x_{4}+\omega ^{2}\cdot x_{6}=&{\sqrt[{3}]{\frac {-38+3{\sqrt {57}}-3{\sqrt {3}}(38-5{\sqrt {57}})i}{2}}}\\x_{2}+\omega ^{2}\cdot x_{4}+\omega \cdot x_{6}=&{\sqrt[{3}]{\frac {-38+3{\sqrt {57}}+3{\sqrt {3}}(38-5{\sqrt {57}})i}{2}}}\\\end{aligned}}

さらに、以下のような関係式が得られる。

{\begin{aligned}&\left(2\cos {\frac {2\pi }{57}}+\omega \cdot 2\cos {\frac {14\pi }{57}}+\omega ^{2}\cdot 2\cos {\frac {16\pi }{57}}\right)^{3}\\&=3x_{1}+2\cos {\frac {2\pi }{19}}+2\cos {\frac {16\pi }{19}}+2\cos {\frac {14\pi }{19}}+6(x_{5}+2)+3\omega \left(2x_{1}+x_{2}+2\cos {\frac {4\pi }{19}}+2\cos {\frac {6\pi }{19}}+2\cos {\frac {10\pi }{19}}\right)+3\omega ^{2}\left(2x_{1}+x_{6}+2\cos {\frac {4\pi }{19}}+2\cos {\frac {6\pi }{19}}+2\cos {\frac {10\pi }{19}}\right)\\&\left(2\cos {\frac {2\pi }{57}}+\omega ^{2}\cdot 2\cos {\frac {14\pi }{57}}+\omega \cdot 2\cos {\frac {16\pi }{57}}\right)^{3}\\&=3x_{1}+2\cos {\frac {2\pi }{19}}+2\cos {\frac {16\pi }{19}}+2\cos {\frac {14\pi }{19}}+6(x_{5}+2)+3\omega ^{2}\left(2x_{1}+x_{2}+2\cos {\frac {4\pi }{19}}+2\cos {\frac {6\pi }{19}}+2\cos {\frac {10\pi }{19}}\right)+3\omega \left(2x_{1}+x_{6}+2\cos {\frac {4\pi }{19}}+2\cos {\frac {6\pi }{19}}+2\cos {\frac {10\pi }{19}}\right)\\\end{aligned}}

両辺の立方根を取り、正十九角形の結果等を代入することより $\cos(2\pi /57)$ を求めることができる。

正五十七角形は定規とコンパスによる作図が不可能な図形である。

正五十七角形は折紙により作図可能である。

[脚注の使い方]

ポータル数学

多角形

非古典的 (2辺以下)

辺の数: 3–10

三角形	正三角形二等辺三角形黄金三角形不等辺三角形直角三角形直角二等辺三角形ケプラー三角形鋭角三角形鈍角三角形

四角形	正方形長方形黄金長方形菱形平行四辺形凧形直角凧形台形等脚台形直角台形円に外接する台形双心四角形円に内接する四角形円に外接する四角形（英語版）等対角線四角形（英語版）直交対角線四角形傍心四辺形（英語版）凹四角形

五角形	正五角形五等辺五角形（英語版）円に内接する五角形ロビンスの五角形（英語版）円に外接する五角形直角五角形五等角五角形凹五角形