Rozbicie zbioru

Rozbicie zbioru, podział zbioru, partycja zbioru^[1] – każda rodzina ${\displaystyle \{A_{t}\colon t\in T\}}$ podzbiorów ustalonego zbioru ${\displaystyle A}$ spełniająca trzy warunki – podzbiory te^[2]:

• są niepuste,

  ${\displaystyle \forall _{t\in T}A_{t}\neq \varnothing ;}$

• są parami rozłączne,

  ${\displaystyle A_{i}\neq A_{j}\implies A_{i}\cap A_{j}=\varnothing ;}$

• sumują się do danego zbioru,

  ${\displaystyle A=\bigcup _{t\in T}A_{t}.}$

Elementy podziału, czyli podzbiory ${\displaystyle A_{t}}$ wyżej zdefiniowanej rodziny, nazywa się niekiedy klasami rozbicia^[2].

Liczba sposobów podziału skończonego zbioru ${\displaystyle n}$-elementowego wyraża się ${\displaystyle n}$-tą liczbą Bella, ${\displaystyle B_{n}.}$ Jeśli zbiór ma ${\displaystyle \kappa }$ elementów, to istnieje ${\displaystyle 2^{\kappa }}$ możliwych podziałów tego zbioru. Innymi słowy, zbiór podziałów zbioru ${\displaystyle Z}$ jest równoliczny ze zbiorem potęgowym ${\displaystyle {\mathcal {P}}(Z)}$ zbioru ${\displaystyle Z.}$^{[potrzebny przypis]}

Przykłady

Ponieważ jedynym podzbiorem zbioru pustego jest podzbiór pusty, to jedynie pusta rodzina zbiorów może być rozbiciem zbioru pustego. Niekiedy wyklucza się tę możliwość w definicji.

Podział zbioru jednoelementowego składa się jednego elementu: tego właśnie zbioru.

Istnieją dwa podziały zbioru ${\displaystyle \{1,2\},}$ mianowicie rodzina złożona ze zbioru ${\displaystyle \{1,2\}}$ (podział jednoelementowy) oraz rodzina składająca się ze zbiorów ${\displaystyle \{1\},\{2\}}$ (podział dwuelementowy).

Trójelementowy zbiór ${\displaystyle \{a,b,c\}}$ można podzielić na jeden z pięciu sposobów:

• ${\displaystyle {\big \{}\{a,b,c\}{\big \}},}$
• ${\displaystyle {\big \{}\{a\},\{b,c\}{\big \}},}$
• ${\displaystyle {\big \{}\{a,b\},\{c\}{\big \}},}$
• ${\displaystyle {\big \{}\{a,c\},\{b\}{\big \}},}$
• ${\displaystyle {\big \{}\{a\},\{b\},\{c\}{\big \}}.}$

Zobacz też

• pokrycie zbioru
• miara σ-skończona

Przypisy

Bibliografia

• Bolesław Gleichgewicht: Algebra. Wrocław: Oficyna Wydawnicza GiS, 2004. ISBN 978-83-89020-35-2.

Linki zewnętrzne

• Decomposition (ang.), Encyclopedia of Mathematics, encyclopediaofmath.org [dostęp 2024-02-02].