Zbiory rozłączne

Zbiory rozłączne – dwa zbiory niemające wspólnego elementu; innymi słowy ich część wspólna jest zbiorem pustym^[1][2]:

${\displaystyle A)(B:\Leftrightarrow A\cap B=\emptyset .}$

Rozłączność to przykład relacji binarnej między zbiorami. Definiuje się nią dychotomie i wieloargumentową relację rozłączności parami opisaną dalej. Ta ostatnia definiuje rozbicie zbioru – uogólnienie dychotomii.

Przykłady

Pary zbiorów rozłącznych:

• liczby parzyste i nieparzyste;
• liczby pierwsze i złożone;
• liczby wymierne i niewymierne;
• liczby algebraiczne i przestępne.

Pary zbiorów nierozłącznych, tj. przecinających się:

• owoce i warzywa – pomidor przedstawia obie grupy;
• humaniści i ścisłowcy – Mikołaj Kopernik zajmował się jednocześnie filologią i astronomią;
• nobliści różnych dziedzin – Maria Skłodowska-Curie otrzymała nagrody z fizyki i chemii;
• liczby parzyste i liczby pierwsze – liczba 2 należy do obydwu klas;
• funkcje parzyste i nieparzyste – funkcja stała równa zeru ma obie własności;
• rodziny zbiorów otwartych i domkniętych – zbiór pusty to przykład zbioru otwarto-domkniętego.

Rozłączność parami

W przypadku więcej niż dwóch zbiorów stosuje się pojęcie zbiorów rozłącznych parami. Rodzinę zbiorów ${\displaystyle (A_{i})_{i\in I}}$ nazywa się rodziną zbiorów parami rozłącznych, jeśli każde dwa różne zbiory tej rodziny są rozłączne:

${\displaystyle i\neq j\implies A_{i}\cap A_{j}=\varnothing .}$

Przykłady takich rodzin:

• rodzina przedziałów ${\displaystyle \{[n,n+1):n\in N\}}$ – żadne dwa przedziały z tej rodziny nie zawierają tej samej liczby;
• rodzina prostych na płaszczyźnie równoległych do ustalonej prostej – żadne dwie różne proste równoległe nie mają punktu wspólnego;
• rodzina zbiorów postaci ${\displaystyle A_{p}=\{p^{i}:i=1,2\dots \}}$ gdzie ${\displaystyle p}$ jest liczbą pierwszą – każde dwa zbiory ${\displaystyle A_{p},A_{q}}$ dla różnych liczb pierwszych ${\displaystyle p,q}$ są rozłączne.

Jeżeli ${\displaystyle (A_{i})_{i\in I}}$ jest rodziną zbiorów parami rozłącznych, to jej przekrój ${\displaystyle \bigcap _{i\in I}A_{i}}$ jest zbiorem pustym. Wynikanie w drugą stronę – czyli twierdzenie odwrotne – nie zachodzi; przykładem jest rodzina ${\displaystyle \{[n,n+1]:n\in \mathbb {N} \}.}$

Przypisy

Bibliografia

• Barbara Stanosz: Ćwiczenia z logiki. Warszawa: Wydawnictwo Naukowe PWN, 2012. ISBN 978-83-01-14428-9.

Linki zewnętrzne

• Eric W.E.W. Weisstein Eric W.E.W., Disjoint Sets, [w:] MathWorld, Wolfram Research  (ang.). [dostęp 2023-12-21].