Transformata Radona

Sprzątanie Wikipedii
 Ten artykuł należy dopracować:
→ napisać/poprawić definicję,
→ poprawić styl – powinien być encyklopedyczny.
Po wyeliminowaniu niedoskonałości należy usunąć szablon {{Dopracować}} z tego artykułu.

Niech f ( x 1 , … , x n ) {\displaystyle f(x_{1},\dots ,x_{n})} będzie ciągłą i wystarczająco szybko malejącą w nieskończoności funkcją zmiennych rzeczywistych x i ∈ R {\displaystyle x_{i}\in \mathbb {R} } dla i = 1 , … , n . {\displaystyle i=1,\dots ,n.}

Dla dowolnej hiperpłaszczyzny w R n {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}

Γ = { ( x 1 , … , x n ) : ξ 1 x 1 + ⋯ + ξ n x n = C } , {\displaystyle \Gamma =\{(x_{1},\dots ,x_{n}):\xi _{1}{x_{1}}+\dots +\xi _{n}{x_{n}}=C\},}

gdzie ξ i ∈ R , i = 1 , … , n {\displaystyle \xi _{i}\in \mathbb {R} ,i=1,\dots ,n} i ∑ i = 1 n ξ i 2 > 0 , C ∈ R {\displaystyle \sum \limits _{i=1}^{n}\xi _{i}^{2}>0,C\in \mathbb {R} }

definiowana jest całka

F ( ξ 1 , … , ξ n , C ) = 1 ( ∑ i = 1 n ξ i 2 ) 1 / 2 ∫ Γ f ( x 1 , … , x n ) d V Γ {\displaystyle F(\xi _{1},\dots ,\xi _{n},C)={\frac {1}{(\sum \limits _{i=1}^{n}\xi _{i}^{2})^{1/2}}}\int \limits _{\Gamma }f(x_{1},\dots ,x_{n})dV_{\Gamma }}

gdzie V Γ {\displaystyle V_{\Gamma }} jest ( n − 1 ) {\displaystyle (n-1)} -wymiarową objętością na hiperpowierzchni Γ . {\displaystyle \Gamma .} Funkcję

F ( ξ 1 , … , ξ n , C ) , ( ξ 1 , … , ξ n , C ) ∈ R n + 1 {\displaystyle F(\xi _{1},\dots ,\xi _{n},C),(\xi _{1},\dots ,\xi _{n},C)\in \mathbb {R} ^{n+1}}

nazywamy transformatą Radona lub przekształceniem Radona funkcji f . {\displaystyle f.}

Transformatę Radona zdefiniował austriacki matematyk Johann Radon w 1917 roku[1].

Transformata Radona jest funkcją jednorodną stopnia –1:

F ( α ξ 1 , … , α ξ n , α C ) = 1 | α | F ( ξ 1 , … , ξ n , C ) . {\displaystyle F(\alpha \xi _{1},\dots ,\alpha \xi _{n},\alpha C)={\frac {1}{|\alpha |}}F(\xi _{1},\dots ,\xi _{n},C).}

Związek z transformatą Fouriera f ^ ( ξ 1 , … , ξ n ) {\displaystyle {\widehat {f}}(\xi _{1},\dots ,\xi _{n})} funkcji f : {\displaystyle f{:}}

F ( ξ 1 , … , ξ n , C ) = 1 2 π ⋅ ∫ − ∞ ∞ f ^ ( α ξ 1 , … , α ξ n ) e − i α C d α . {\displaystyle F(\xi _{1},\dots ,\xi _{n},C)={\frac {1}{2\pi }}\cdot \int \limits _{-\infty }^{\infty }{{\widehat {f}}(\alpha \xi _{1},\dots ,\alpha \xi _{n})}e^{-i\alpha C}d\alpha .}

Zobacz też

  • transformacja Hougha
  • transformacja Mojette

Przypisy

  1. ↑ Johann Radon. Über die Bestimmung von Funktionen durch ihre Integralwerte längs gewisser Mannigfaltigkeiten. „Ber. Verh. Säche. Akad. Wiss.”. 69, s. 262–277, 1917. Leipzig. 

Bibliografia

  • Sigurdur Helgason: Groups and Geometric Analysis. Integral Geometry, Invariant Differential Operators and Spherical Functions. Academic Press, 1984.
  • Sigurdur Helgason: The Radon transform. Boston, Basel, Stuttgart: Birkhäuser, 1980.
  • p
  • d
  • e
Transformaty
transformacje całkowe
inne transformacje
w rachunku prawdopodobieństwa