Adição

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Adição é uma das operações básicas da aritmética.^[1][2] Na sua forma mais simples, a adição combina dois números em um único número, denominado soma, total ou resultado.^[1] Adicionar mais números corresponde a repetir a operação. Por extensão, a adição de zero, um ou uma quantidade infinita de números pode ser definida.

Pode também ser uma operação geométrica: a partir de dois segmentos de reta dados é possível determinar um terceiro segmento cujo comprimento seja igual à soma dos dois iniciais.

Propriedades importantes

No conjunto dos números reais a adição possui as seguintes propriedades:

• Comutativa: A ordem das parcelas não altera o resultado da operação.^[1] Assim, se 2 + 3 = 5, então 3 + 2 = 5;
• Associativa: O agrupamento das parcelas não altera o resultado.^[1] Assim, se (2 + 3) + 1 = 6, então 2 + (3 + 1) = 6;
• Distributiva: Quando estamos multiplicando por um número, uma soma composta por duas parcelas, podemos primeiro efetuar a soma e depois a multiplicação, ou multiplicar cada uma das parcelas pelo referido valor e depois efetuar a soma dos resultados. Por exemplo, ${\displaystyle 2*(3+4)=2*3+2*4}$;
• Elemento neutro: A parcela 0 (zero) não altera o resultado das demais parcelas. O zero é denominado como o "elemento neutro" da adição.^[1] Assim, se 2 + 3 = 5, então 2 + 3 + 0 = 5;
• Fechamento: A soma de dois números reais será sempre um número real.^[1]

Notação

Se os termos, são escritos individualmente, então a adição é escrita usando-se o sinal mais, ou chus (em português arcaico) ("+"). Assim, a soma de 1, 2 e 4 é escrita como 1 + 2 + 4 = 7. Se os termos da soma não são escritos individualmente, então podemos usar reticências (...) para marcar os termos que foram omitidos. Assim, a soma de todos os números naturais de 1 a 100 é escrita como 1 + 2 + … + 99 + 100.

De forma alternativa, a soma pode ser representada pelo símbolo de somatório, que é a letra grega Sigma maiúscula. Isso é definido como:

${\displaystyle \sum _{i=m}^{n}x_{i}=x_{m}+x_{m+1}+x_{m+2}+\dots +x_{n-1}+x_{n}.}$

O subscrito i fornece o símbolo para uma variável, i. Aqui, i representa o índice do somatório; m é o limite inferior do somatório, e n é o limite superior do somatório. Assim, por exemplo:

${\displaystyle \sum _{k=1}^{5}k=1+2+3+4+5.}$

Podemos também considerar somas com uma quantidade infinita de termos, chamadas de séries infinitas. A diferença na notação seria o uso do símbolo de infinito (∞) no lugar dos limites inferior e/ou superior. A soma de tais séries é definida como o limite da soma dos n primeiros termos quando n cresce sem limites. Isto é:

${\displaystyle \sum _{i=m}^{\infty }x_{i}:=\lim _{n\to \infty }\sum _{i=m}^{n}x_{i}.}$

Podemos substituir de forma similar m por infinito negativo, e

${\displaystyle \sum _{i=-\infty }^{\infty }x_{i}:=\lim _{n\to \infty }\sum _{i=-n}^{m}x_{i}+\lim _{n\to \infty }\sum _{i=m+1}^{n}x_{i},}$

para algum m, desde que ambos os limites existam.

Relações com outras operações e constantes

É possível somar menos que 2 números:

• Se você somar o termo único x, então a soma é x;
• Se você somar zero termos, então a soma é zero, porque zero é o elemento neutro da adição. Isso é conhecido como soma vazia.

Esses casos degenerados são normalmente usados apenas quando a notação de soma dá um resultado degenerado num caso especial. Por exemplo, se m = n na definição acima, então há apenas um termo na soma; se m = n + 1, então não há nenhum.

Muitas outras operações podem ser pensadas como somas generalizadas. Se um termo único x aparece numa soma n vezes, então a soma é nx, o resultado de uma multiplicação. Se n não é um número natural, então a multiplicação ainda pode fazer sentido, de modo que temos uma espécie de noção de somar um termo, digamos, duas vezes e meia.

Um caso especial é a multiplicação por -1, que leva ao conceito de inverso aditivo, e a subtração, a operação inversa da adição.

A versão mais geral destas ideias é a combinação linear, em que qualquer quantidade de termos é incluída em uma soma generalizada qualquer número de vezes.

Somas úteis

As identidades a seguir são bastante úteis:

${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}i={\frac {n(n+1)}{2}}}$

(ver séries aritméticas);

${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}(2i-1)=n^{2};}$

${\displaystyle \sum _{i=0}^{n}i^{2}={\frac {n(n+1)(2n+1)}{6}};}$

${\displaystyle \sum _{i=0}^{n}i^{3}=\left({\frac {n(n+1)}{2}}\right)^{2};}$

${\displaystyle \sum _{i=N_{1}}^{N_{2}}x^{i}={\frac {x^{N_{2}+1}-x^{N_{1}}}{x-1}}}$ (ver séries geométricas);

${\displaystyle \sum _{i=0}^{n}x^{i}={\frac {x^{n+1}-1}{x-1}}}$ (caso especial do anterior em que ${\displaystyle {N_{1}}=0}$)

${\displaystyle \sum _{i=0}^{\infty }kx^{i}={\frac {k}{1-x}};|x|<1}$ (caso especial do anterior, ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }}$);

${\displaystyle \sum _{i=0}^{n}{n \choose i}=2^{n}}$

(ver coeficiente binomial);

${\displaystyle \sum _{i=0}^{n-1}{i \choose k}={n \choose k+1}.}$

Em geral, a soma das n primeiras potências de m é

${\displaystyle \sum _{i=0}^{n}i^{m}={\frac {(n+1)^{m+1}}{m+1}}+\sum _{k=1}^{m}{\frac {B_{k}}{m-k+1}}{m \choose k}(n+1)^{m-k+1},}$

onde ${\displaystyle B_{k}}$ é o k-ésimo número de Bernoulli.

As seguintes expressões são aproximações úteis (usando notação teta):

${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}i^{c}=\Theta (n^{c+1})}$

para toda constante real c maior que -1;

${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}{\frac {1}{i}}=\Theta (\log {n})}$

${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}c^{i}=\Theta (c^{n})\,}$

para toda constante real c maior que 1;

${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}\log(i)^{c}=\Theta (n\cdot \log(n)^{c})}$

para toda constante real c maior ou igual a zero;

${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}\log(i)^{c}\cdot i^{d}=\Theta (n^{d+1}\cdot \log(n)^{c})}$

para todas constantes reais não-negativas c e d;

${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}\log(i)^{c}\cdot i^{d}\cdot b^{i}=\Theta (n^{d}\cdot \log(n)^{c}\cdot b^{n})}$

para todas constantes reais b > 1, c, d.

Aproximação por integrais

Muitas aproximações podem ser obtidas pela seguinte conexão entre somas e integrais, válida para qualquer função crescente f:

${\displaystyle \int _{s=a-1}^{b}f(s)\,ds\leq \sum _{i=a}^{b}f(i)\leq \int _{s=a}^{b+1}f(s)\,ds.}$

Para aproximações mais gerais, ver a fórmula de Euler-Maclaurin.

Em música

A adição também é usada na teoria musical dos conjuntos. George Perle fornece o exemplo seguinte:

"dó-mi, ré-fá♯, mi♭-sol, são instâncias diferentes do mesmo intervalo… o outro tipo de identidade… está relacionado a eixos de simetria. Dó-mi pertence à família de díades simetricamente relacionadas, como segue:"

ré		ré♯		mi		fá	fá♯		sol		sol♯
ré		dó♯		dó		si	lá♯		lá		sol♯

Eixos de alturas em itálico, o eixo é determinado pela classe de alturas.

Assim, além de serem parte da família de intervalos-4, dó-mi também é parte da família soma-2 (com G♯ igual a 0).

A linha de tonalidades para a Lyric Suite de Alban Berg, ${\displaystyle \{0,11,7,4,2,9,3,8,10,1,5,6\}}$, é uma série de seis díades, todas somando 11. Se a linha é rotacionada e invertida, ela se torna ${\displaystyle \{0,6,5,1,\dots \}}$, em que todas as díades somam 6.

Díades sucessivas da linha de tonalidades de Lyric Suite, todas somando 11

dó		sol		ré		ré♯		lá♯		mi♯
si		mi		lá		sol♯		dó♯		fá♯

Eixos de alturas em itálico, o eixo é determinado pelas díades (intervalo 1).

Ver também

• Aritmética modular
• Soma de Gauss
• Portal:Matemática

Ligações externas

• Addition

Referências

• Portal da matemática

• Este artigo foi inicialmente traduzido, total ou parcialmente, do artigo da Wikipédia em inglês cujo título é «Addition».