Divisão

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Divisão é a operação matemática inversa da multiplicação. O ato de dividir por algum elemento de um conjunto só faz sentido quando a multiplicação por aquele elemento for uma função bijetora.

No anel dos números inteiros a hipótese da bijetividade não é satisfeita para o zero, assim, não se define divisão por zero.

Propriedades importantes

As propriedades da divisão são herdadas, via inversão, da multiplicação. Não existe, entretanto, a propriedade de fechamento no conjunto dos números reais, uma vez que a divisão por zero não produz como resultado um número real.

Nos números inteiros

Os números inteiros não formam um corpo, portanto a divisão (como foi definido) só faz sentido quando o número que vai ser dividido (dividendo^[1]) é um múltiplo inteiro do número pelo qual se vai dividir (divisor^[1]). Para tratar dos casos em que o dividendo não é um múltiplo do divisor é necessário definir quociente e resto.

Se a e b são dois números inteiros positivos (com ${\displaystyle b\geq a}$), o quociente^[1] da divisão de a por b é o maior número inteiro q tal que ${\displaystyle bq\leq a}$. O resto^[2] da divisão de a por b com quociente q é o número inteiro r tal que ${\displaystyle r=a-bq.}$

A noção de resto no anel dos números inteiros está intimamente conectada com a noção de congruência.

Nos números racionais, reais e em outros corpos

Por se tratarem de corpos, a divisão nesse caso fica reduzida a multiplicação pelo inverso.

Por um exemplo, para dividirmos um número racional ${\displaystyle q_{1}={\frac {a}{b}}}$ por ${\displaystyle q_{2}={\frac {c}{d}}}$ (com as hipóteses de que a,b,c e d sejam inteiros e que b,c e d sejam diferentes de zero) devemos prosseguir da seguinte forma

${\displaystyle {\frac {q_{1}}{q_{2}}}=q_{1}\ q_{2}^{-1}={\frac {a}{b}}\ {\frac {d}{c}}={\frac {ad}{bc}}}$

Em ${\displaystyle \mathbb {Z} _{13}}$ (grupo multiplicativo dos inteiros módulo 13), que também é um corpo, a divisão de 7 por 5 se daria da seguinte forma:

${\displaystyle {\frac {7}{5}}=7.5^{-1}=7.8=4}$

Divisão de polinômios

Pode-se definir a operação de divisão para polinômios. Então, como no caso dos inteiros, tem-se um resto.^[3] Veja divisão polinomial.

Em estruturas mais gerais

A divisão é possível em estruturas que não são dotadas dos axiomas de corpo. Em analogia ao caso dos números inteiros, tenta-se encontrar um quociente e um resto. Isso nem sempre pode ser feito com o auxílio da relação de ordem, pois a mesma nem sempre está presente. Quando pode-se definir uma função conveniente, trabalhamos com domínios euclidianos.

Representação

Sejam a e b elementos do conjunto dos números inteiros, e b diferente de zero. Podemos representar uma divisão da seguinte forma:

• Como uma fração: ${\displaystyle {\frac {a}{b}},}$ (utilizando uma barra horizontal entre os dois números);
• Através de uma barra inclinada: ${\displaystyle {}^{a}\!{/}\!{}_{b}}$. (É utilizado para fazer operações em computadores);
• Com a simbologia usual da divisão, utilizando dois pontos e uma barra horizontal entre eles: ${\displaystyle a\div b}$;
• Utilizando dois pontos entre os dois números na horizontal: ${\displaystyle a:b}$;
• Usando a notação do inverso multiplicativo: ${\displaystyle ab^{-1}}$.

Divisão de números consecutivos

Seja o número impar ${\textstyle a>1}$ e o seu consecutivo ${\textstyle a+1}$ .

Seja a divisão ${\displaystyle a/(a+1)=s}$. Esta divisão apresenta as duas peculiaridade a seguir :

a - O quociente ${\displaystyle s}$ é menor do que ${\displaystyle 1}$ e tende para ${\displaystyle 1}$ com o aumento de ${\displaystyle a}$, então ${\displaystyle \lim _{a\to \infty }\rightarrow s=1}$

b - Na imensa maioria das proposições o quociente ${\displaystyle s}$ apresenta infinitos algarismos após a virgula decimal.

Seja a divisão ${\displaystyle (a+1)/a=s'}$. Esta divisão apresenta as duas peculiaridade a seguir:

a - O quociente ${\displaystyle s'}$ é maior do que ${\displaystyle 1}$ e tende para ${\displaystyle 1}$ com o aumento de ${\displaystyle a}$, então ${\displaystyle \lim _{a\to \infty }\rightarrow s'=1}$

b - Na imensa maioria das proposições o quociente ${\displaystyle s'}$ apresenta infinitos algarismos após a virgula decimal.

Entretanto

Em nenhuma das proposições para ${\displaystyle s,s'}$ ocorre com estes números consecutivos, de o quociente apresentar em ambas proposições os dois quocientes com números finitos de algarismos após a virgula decimal.

Ver também

• Critérios de divisibilidade
• Divisão por zero
• Multiplicação
• Anel (matemática)
• Corpo (matemática)
• Algoritmo de Euclides

Notas e referências

Referências

• Vianna, João José Luiz (1914). Elementos de Arithmetica 15 ed. Rio de Janeiro: Francisco Alves 
• Serrasqueiro, José Adelino (1906). Tratado de Algebra Elementar 9 ed. Largo da Sé Velha: Livraria Central de J. Diogo Pires i

Ligações externas

O wikilivro Teoria de números tem uma página sobre Algoritmo da divisão de Euclides

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• Explicando o Algoritmo da Divisão

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