Constante de Euler-Mascheroni

Este artigo utiliza notação matemática técnica para logaritmos. Todas as instâncias de log(x) sem uma base subscrita devem ser interpretadas como um logaritmo natural, usualmente denotado como ln(x) ou loge(x).

A constante de Euler-Mascheroni (também chamada de constante de Euler) é uma constante matemática, geralmente denotada pela letra grega gama (γ) , com múltiplas utilizações em Teoria dos números. Ela é definida como o limite da diferença entre a série harmônica e o logaritmo natural, denotado aqui por log:

Aqui, ⌊·⌋ representa a função piso.

O valor numérico da constante de Euler-Mascheroni, com 50 casas após a vírgula, é:^[1]

História

A constante foi definida pela primeira vez pelo matemático suíço Leonhard Euler no artigo De Progressionibus harmonicus observationes, publicado em 1735. Euler usou a notação C para a constante, e inicialmente calculou seu valor até 6 casas decimais. Em 1761 Euler estendeu seus cálculos, publicando um valor com 16 casas decimais. Em 1790 o matemático italiano Lorenzo Mascheroni introduziu a notação γ para a constante, e tentou estender o cálculo de Euler ainda mais, a 32 casas decimais, apesar de cálculos subseqüentes terem mostrado que ele cometera erros na 20°, 22° e 32 casas decimais. (Do 20° dígito, Mascheroni calculou 1811209008239.)

Não se sabe se a constante de Euler-Mascheroni é ou não um número racional. No entanto, análises mostram que se γ for racional, seu denominador tem mais do que 10²⁴²⁰⁸⁰ dígitos (Havil, page 97).

Convergência

Como podemos escrever:

${\displaystyle {\begin{aligned}\ln n&=[\ln n-\ln(n-1)]+[\ln(n-1)-\ln(n-2)]+\ldots +[\ln 2-\ln 1]+\ln(1)\\&=\sum _{k=2}^{n}\,[\ln k-\ln(k-1)]\end{aligned}}\,}$

Como ${\displaystyle \ln k-\ln(k-1)=\int _{k-1}^{k}{\frac {dx}{x}}\,}$

${\displaystyle \gamma =1+\sum _{k=2}^{\infty }\left({\frac {1}{k}}-\int _{k-1}^{k}{\frac {dx}{x}}\right)}$

Mostremos que a série converge uniformemente, para tal usamos a estimativa:

${\displaystyle {\frac {1}{k}}\leq \int _{k-1}^{k}{\frac {dx}{x}}\leq {\frac {1}{k-1}},k=2,3,4\ldots \,}$

${\displaystyle \sum _{k=2}^{\infty }\left|{\frac {1}{k}}-\int _{k-1}^{k}{\frac {dx}{x}}\right|=\sum _{k=2}^{\infty }\left(\int _{k-1}^{k}{\frac {dx}{x}}-{\frac {1}{k}}\right)\leq \sum _{k=2}^{\infty }\left({\frac {1}{k-1}}-{\frac {1}{k}}\right)}$

Essa última expressão corresponde à

${\displaystyle \sum _{k=2}^{\infty }\left({\frac {1}{k-1}}-{\frac {1}{k}}\right)=-\sum _{k=2}^{\infty }\left({\frac {1}{k}}-{\frac {1}{k-1}}\right)}$

Que é a série telescópica Dessa forma,

${\displaystyle \sum _{k=2}^{\infty }\left(\int _{k-1}^{k}{\frac {dx}{x}}-{\frac {1}{k}}\right)\leq \sum _{k=2}^{\infty }\left|{\frac {1}{k-1}}-{\frac {1}{k}}\right|=\left|-1\right|=1}$

Propriedades

O número ${\displaystyle \gamma }$ não foi provado que seja algébrico ou transcendente, e , nem sequer se conhece se ${\displaystyle \gamma }$ é irracional ou não.^[2] A análise de frações contínuas revela que se ${\displaystyle \gamma }$ é racional, seu denominador deve ser da ordem de ${\displaystyle 10^{242080}}$.^[3] Devido ao fato de estar presente em um grande número de equações e relações, a racionalidade ou irracionalidade de ${\displaystyle \gamma }$ está os problemas abertos mais importantes da Matemática.

A seguir estão apresentadas as relações mais importantes de ${\displaystyle \gamma }$ com funções, séries e integrais.

Representação Original (Euler)

Foi descoberta em 1734, por Euler, representando ${\displaystyle \gamma }$ como uma série infinita da seguinte forma:

${\displaystyle \gamma =\sum _{k=1}^{\infty }\left[{\frac {1}{k}}-\ln \left(1+{\frac {1}{k}}\right)\right]}$

Relação com a Função Gama

Se tomarmos a função gama, derivando-a e analisando-a em 1, obtemos -${\displaystyle \gamma }$. O mesmo comportamento é observado se analisarmos a função digama em 1, ou seja:

${\displaystyle -\gamma ={\Gamma }'(1)=\Psi (1)\,\!}$

também como o limite:

${\displaystyle \gamma =\lim _{n\to \infty }\left[n-\Gamma \left({\frac {1}{n}}\right)\right]}$

O limite relacionado com a função beta ( expressa em termos da função gama) é:

${\displaystyle -\gamma =\lim _{n\to \infty }\left[{\frac {\Gamma ({\frac {1}{n}})\Gamma (n+1)\,n^{1+{1 \over n}}}{\Gamma (2+n+{\frac {1}{n}})}}-{\frac {n^{2}}{n+1}}\right]}$

e como função beta:

${\displaystyle -\gamma =\lim _{n\to \infty }\left[n^{2+{1 \over n}}\,\mathrm {B} \left(1+{\frac {1}{n}},\,n+1\right)-{\frac {n^{2}}{n+1}}\right]}$

Relação com a Função Zeta de Riemann

${\displaystyle \gamma }$ pode ser expresso por uma soma infinita, cujos termos envolvem a Função Zeta de Riemann para números positivos da seguinte forma:

${\displaystyle \gamma =\sum _{k=2}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}\zeta (k)}{k}}=\log \left({\frac {4}{\pi }}\right)+\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{k-1}\zeta (k+1)}{2^{k}(k+1)}}}$

Outras séries relacionadas com a função zeta são:

${\displaystyle \gamma ={\frac {3}{2}}-\log 2-\sum _{k=2}^{\infty }(-1)^{k}\,{\frac {k-1}{k}}[\zeta (k)-1]=\lim _{n\to \infty }\left[{\frac {2\,n-1}{2\,n}}-\log \,n+\sum _{k=2}^{n}\left({\frac {1}{k}}-{\frac {\zeta (1-k)}{n^{k}}}\right)\right]=\lim _{n\to \infty }\left[{\frac {2^{n}}{e^{2^{n}}}}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {2^{k\,n}}{(k+1)!}}\sum _{t=0}^{k}{\frac {1}{t+1}}-n\,\log 2+{\mathcal {O}}\left({\frac {1}{2^{n}\,e^{2^{n}}}}\right)\right]}$

O termo erro na última equação está decrescendo rapidamente em função de n . Como resultado, a fórmula se mostra bastante eficiente para cálculo de grande quantidade de dígitos da constante ${\displaystyle \gamma }$ com extrema precisão.

Outro limite interessante relacionado com a Constante de Euler-Mascheroni e a função zeta é o limite assimétrico:

${\displaystyle \gamma =\lim _{s\to 1^{+}}\sum _{n=1}^{\infty }\left({\frac {1}{n^{s}}}-{\frac {1}{s^{n}}}\right)=\lim _{s\to 1}\left(\zeta (s)-{\frac {1}{s-1}}\right)}$

Representação com Integrais

${\displaystyle \gamma }$ é igual ao valor de um número determinado de integrais definidas:

${\displaystyle {\begin{aligned}\gamma &=-\int _{0}^{\infty }{e^{-x}\log x}\,dx\\{}&=-\int _{0}^{1}{\log \log \left({\frac {1}{x}}\right)}\,dx\\{}&=\int _{0}^{\infty }{\left({\frac {1}{1-e^{-x}}}-{\frac {1}{x}}\right)e^{-x}}\,dx\\{}&=\int _{0}^{\infty }{{\frac {1}{x}}\left({\frac {1}{1+x}}-e^{-x}\right)}\,dx\\\end{aligned}}}$

Dentre as integrais definidas nas quais aparece a constante ${\displaystyle \gamma }$ estão:

${\displaystyle \int _{0}^{\infty }{e^{-x^{2}}\log x}\,dx=-{\tfrac {1}{4}}(\gamma +2\log 2){\sqrt {\pi }}}$

${\displaystyle \int _{0}^{\infty }{e^{-x}\log ^{2}x}\,dx=\gamma ^{2}+{\frac {\pi ^{2}}{6}}}$

Uma expressão em que se expressa ${\displaystyle \gamma }$ como uma integral dupla,^[4] com sua série equivalente é:

${\displaystyle \gamma =\int _{0}^{1}\int _{0}^{1}{\frac {x-1}{(1-x\,y)\log(x\,y)}}\,dx\,dy=\sum _{n=1}^{\infty }\left({\frac {1}{n}}-\log {\frac {n+1}{n}}\right)}$

Representação com Séries

Além da série original de Euler, são conhecidas outras séries,em que se inclui:

${\displaystyle \gamma =1-\sum _{k=2}^{\infty }(-1)^{k}{\frac {\lfloor \log _{2}k\rfloor }{k+1}}}$

encontrada por Nielsen em 1897.

Em 1912, Vacca encontrou a seguinte série relacionada a ${\displaystyle \gamma }$:

${\displaystyle \gamma =\sum _{k=2}^{\infty }(-1)^{k}{\frac {\left\lfloor \log _{2}k\right\rfloor }{k}}={\tfrac {1}{2}}-{\tfrac {1}{3}}+2\left({\tfrac {1}{4}}-{\tfrac {1}{5}}+{\tfrac {1}{6}}-{\tfrac {1}{7}}\right)+3\left({\tfrac {1}{8}}-\dots -{\tfrac {1}{15}}\right)+\dots }$

onde [ ] é a função piso e ${\displaystyle \log _{2}}$ é o logaritmo de base 2 ;

Em 1926, Vacca encontrou outra série similar a anterior:

${\displaystyle \gamma +\zeta (2)=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{k\lfloor {\sqrt {k}}\rfloor ^{2}}}=1+{\tfrac {1}{2}}+{\tfrac {1}{3}}+{\tfrac {1}{4}}\left({\tfrac {1}{4}}+\dots +{\tfrac {1}{8}}\right)+{\tfrac {1}{9}}\left({\tfrac {1}{9}}+\dots +{\tfrac {1}{15}}\right)+\dots }$

que também pode ser escrita como:

${\displaystyle \gamma =\sum _{k=2}^{\infty }{\frac {k-\lfloor {\sqrt {k}}\rfloor ^{2}}{k^{2}\lfloor {\sqrt {k}}\rfloor ^{2}}}={\tfrac {1}{2^{2}}}+{\tfrac {2}{3^{2}}}+{\tfrac {1}{2^{2}}}\left({\tfrac {1}{5^{2}}}+{\tfrac {2}{6^{2}}}+{\tfrac {3}{7^{2}}}+{\tfrac {4}{8^{2}}}\right)+{\tfrac {1}{3^{2}}}\left({\tfrac {1}{10^{2}}}+\dots +{\tfrac {6}{15^{2}}}\right)+\dots }$^[5]

As últimas 2 séries podem ser obtidas através da manipulação da Integral de Catalão( ver Sondow e Zudilin)

${\displaystyle \gamma =\int _{0}^{1}{\frac {1}{1+x}}\sum _{n=1}^{\infty }x^{2^{n}-1}\,dx}$

Representação em forma de fração contínua

A representação de ${\displaystyle \gamma }$ em termos de fração contínua é:

${\displaystyle \gamma =0+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{2+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{\ \ddots \ {}}}}}}}}}}}}$

mais precisamente:

${\displaystyle \gamma =[0;1,1,2,1,2,1,4,3,13,5,1,1,8,1,2,4,1,1,40,...]\,}$ (sequência A002852 na OEIS).

Referências

• Euler, Leonhard, De progressionibus harmonicis observationes. Commentarii academiae scientiarum Petropolitanae 7, 1740, pp. 150–161. Reprinted in Opera Omnia: Series 1, Volume 14, pp. 87 – 100
• Borwein, Jonathan M., David M. Bradley, Richard E. Crandall (2000). Computational. «Strategies for the Riemann Zeta Function» (PDF). Journal of Computational and Applied Mathematics. 121. p.11  !CS1 manut: Nomes múltiplos: lista de autores (link) Derives γ as sums over Riemann zeta functions. (en inglés)
• Havil, Julian (2003). Gamma: Exploring Euler's Constant. [S.l.]: Princeton University Press. ISBN 0-691-09983-9  (en inglés)
• Donald Knuth (1997) The Art of Computer Programming, Vol. 1, 3rd ed. Addison-Wesley. ISBN 0-201-89683-4 (en inglés)
• Krämer, Stefan (2005) Die Eulersche Konstante γ und verwandte Zahlen. Diplomarbeit, Universität Göttingen. (alemán)
• Sondow, Jonathan (1998) "An antisymmetric formula for Euler's constant," Mathematics Magazine 71: 219-220. (en inglés)
• ------ (2002) Gourdon, Xavier, and Sebah, P."Collection of formulas for Euler's constant, γ." (en inglés)
• ------ (2002) "A hypergeometric approach, via linear forms involving logarithms, to irrationality criteria for Euler's constant." With an Appendix by Sergey Zlobin. (en inglés)
• ------ (2003) "An infinite product for e^γ via hypergeometric formulas for Euler's constant, γ." (en inglés)
• ------ (2003a) ""Criteria for irrationality of Euler's constant," Proceedings of the American Mathematical Society 131: 3335-3344. (en inglés)
• ------ (2005) "Double integrals for Euler's constant and ln 4/π and an analog of Hadjicostas's formula," American Mathematical Monthly 112: 61-65. (en inglés)
• ------ (2005) "New Vacca-type rational series for Euler's constant and its 'alternating' analog ln 4/π." (en inglés)
• ------ and Wadim Zudilin (2006), "Euler's constant, q-logarithms, and formulas of Ramanujan and Gosper," Ramanujan Journal 12: 225-244.

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