Energia mecânica

Mecânica clássica
Diagramas de movimento orbital de um satélite ao redor da Terra, mostrando a velocidade e aceleração.
Cinemática Deslocamento Velocidade Velocidade escalar Aceleração Aceleração centrípeta Movimento uniforme Movimento uniformemente variado Movimento retilíneo Movimento parabólico Movimento circular Movimento circular uniforme Movimento curvilíneo Movimento harmônico simples Movimento harmônico complexo
Dinâmica Força Inércia Produto de inércia Leis de Newton Primeira Lei de Newton Segunda Lei de Newton Terceira Lei de Newton Equações de movimento Ressonância
História História da física
Trabalho e Mecânica Energia cinética Energia potencial Trabalho Conservação da energia Força conservativa Força de contato Função de Lagrange Potência Retropropulsão Princípio de Hamilton
Sistema de partículas Centro de massa Corpo rígido Momento linear Conservação do momento linear Equilíbrio dinâmico Princípio de d'Alembert Sistema massa-mola
Colisões Impulso Colisão elástica Colisão inelástica
Movimento rotacional Posição angular Deslocamento angular Velocidade angular Aceleração angular Momento de inércia Torque Momento angular
Sistemas Clássicos Sistema dinâmico Sistema linear Sistema não linear Sistema hamiltoniano Sistema caótico
Formulações Mecânica newtoniana Mecânica hamiltoniana Mecânica lagrangiana Mecânica KvN Equação de Udwadia-Kalaba Mecânica de Routhian
Gravitação Lei da gravitação universal Princípio da superposição Constante gravitacional Velocidade de escape Leis de Kepler Princípio da equivalência
Físicos Isaac Newton Leonhard Euler Joseph-Louis Lagrange Pierre-Simon Laplace Galileu Galilei William Rowan Hamilton Johannes Kepler
v d e

Energia mecânica é, resumidamente, a capacidade de um corpo produzir trabalho.^[1] Também podemos interpretá-la como a energia que pode ser transferida por meio de uma força. A energia mecânica total de um sistema é a soma da energia cinética, relacionada ao movimento de um corpo, com a energia potencial, relacionada ao armazenamento, podendo ser gravitacional ou elástica.^[1]

${\displaystyle \ E_{m}=E_{c}+E_{p}}$

Se o sistema for conservativo, ou seja, apenas forças conservativas atuarem nele, a energia mecânica total conserva-se e é uma constante de movimento^[1]. A energia mecânica ${\displaystyle E_{m}}$ que um corpo possui é a soma da sua energia cinética ${\displaystyle E_{c}}$ com sua energia potencial ${\displaystyle E_{p}}$.

Uma força é classificada como sendo conservativa quando o trabalho realizado por ela para mover um corpo de um lugar a outro é independente do percurso, isto é, do caminho escolhido. Esclarecendo: para carregar um saco de batatas e o transportar morro acima, o caminho escolhido pode ser mais longo, caminhando-se circularmente ou seguindo um caminho mais curto e reto, mas através de uma ladeira íngreme. A força gravítica é conservativa. Um exemplo de força não conservativa é a força de atrito, que também é chamada de força dissipativa.

Pela lei da conservação da energia, se um corpo está apenas sob a ação de forças conservativas, a sua energia mecânica (${\displaystyle E_{m}=E_{c}+E_{p}}$) conservar-se-á. Isso equivale a dizer, neste caso, que se a energia cinética de um corpo aumentar, a energia potencial deve diminuir e vice-versa, de modo a manter ${\displaystyle E}$ constante.

Considere que uma bola de massa ${\displaystyle m=0,6\ kg}$ na mão de uma pessoa está a uma altura ${\displaystyle h=4\ m}$ do chão. A sua energia potencial é ${\displaystyle U=mgh=24}$ joules, sendo ${\displaystyle g=10\ {\frac {m}{s^{2}}}}$, a aceleração da gravidade. Nesse lugar, como a bola está parada, a sua velocidade é igual a ${\displaystyle 0}$, e portanto a sua energia cinética também é igual a zero, ou seja ${\displaystyle K={\frac {1}{2}}mv^{2}=0}$. Assim, a sua energia mecânica total é ${\displaystyle E=24\ J}$. Ao ser lançada, essa bola atinge o solo e a sua altura ficará igual a ${\displaystyle 0}$, e consequentemente a sua ${\displaystyle U=0}$. Como há conservação da energia mecânica, a energia cinética da bola no solo é ${\displaystyle K=24\ J}$. Deste valor podemos obter a componente escalar da velocidade instantes antes de a bola atingir o solo, ou seja ${\displaystyle v=8,94\ {\frac {m}{s}}}$. Quanto maior a altura de onde é lançada a bola, maior a velocidade atingida ao chegar ao solo. Vale também o contrário, isto é, quanto maior a velocidade, maior a altura atingida. Assim, se um atleta quiser saltar uma boa altura ${\displaystyle h}$, é preciso correr muito para atingir uma velocidade alta. É isso que fazem os atletas que praticam salto em altura, salto tríplice e saltos com evoluções em ginástica olímpica.

Equações

A energia mecânica de um sistema conservativo é dada por:

$${\displaystyle \ E_{m}=E_{c}+E_{p}}$$

${\displaystyle \ E_{c}}$, a energia cinética;

${\displaystyle \ E_{p}}$, a energia potencial.

Energia cinética

O trabalho feito por uma força ${\displaystyle \mathbf {F} }$ ao longo de um caminho C é calculado pela seguinte integral:

${\displaystyle \operatorname {W} _{c}=\int _{c}\mathbf {F} \cdot d\mathbf {r} }$

Segundo o teorema do trabalho e da energia cinética:

${\displaystyle \operatorname {W} _{c}=\Delta E_{c}}$

Energia cinética de translação

A definição da energia cinética de translação é obtida mediante a resolução

da integral que define o trabalho:

${\displaystyle \operatorname {W} _{c}=\int _{c}\mathbf {F} \cdot d\mathbf {r} }$.

Usando a definição de força e a regra da cadeia, modifica-se o integrando e a variável de integração de modo a resolver a integral:

${\displaystyle \int _{c}\mathbf {F} \cdot d\mathbf {r} =\int _{c}{\frac {d\mathbf {p} }{dt}}\cdot d\mathbf {r} =\int _{c}d\mathbf {p} \cdot {\frac {d\mathbf {r} }{dt}}=\int _{c}d\mathbf {p} \cdot \mathbf {v} }$,

em que ${\displaystyle \mathbf {p} }$ é o momento linear do objeto e ${\displaystyle \mathbf {v} }$ é sua velocidade. Tomemos a definição de momento linear:

${\displaystyle \mathbf {p} =m\mathbf {v} }$

Diferenciando a expressão e a substituindo na integral:

${\displaystyle d\mathbf {p} =md\mathbf {v} }$

${\displaystyle \int _{c}\mathbf {v} \cdot d\mathbf {p} =\int _{c}\mathbf {v} \cdot md\mathbf {v} }$

Finalmente, resolve-se a integral:

${\displaystyle \operatorname {W} _{c}=\int _{v_{0}}^{v}m{v'}d{v'}={\frac {mv'^{2}}{2}}|_{v_{0}}^{v}={\frac {mv^{2}}{2}}-{\frac {m{v_{0}}^{2}}{2}}}$

Define-se a energia cinética, portanto, como:

${\displaystyle E_{c}={\frac {mv^{2}}{2}}}$

O resultado da integração acima leva-nos à igualdade entre o trabalho e a variação da energia cinética:

${\displaystyle \operatorname {W} _{c}=\Delta E_{c}}$

Energia cinética de rotação

${\displaystyle E_{cr}={\frac {1}{2}}I\omega ^{2}}$

Energia potencial

Energia Potencial Gravitacional: ${\displaystyle \ E_{pg}=mgh}$

Energia Potencial Elástica: ${\displaystyle \ E_{pelastica}={\frac {kx^{2}}{2}}}$

Energia Potencial Elétrica: ${\displaystyle \ E_{peletrica}={\frac {U}{q}}}$

Energia Potencial: Soma de todas as energias potenciais

Equações diferenciais

No formalismo que descreve a Mecânica, existem algumas equações diferenciais:

${\displaystyle dW=dT}$

${\displaystyle dW=-dV}$

onde ${\displaystyle W}$ é o trabalho, ${\displaystyle T}$ a energia cinética e ${\displaystyle V}$ a energia potencial. No caso de a diferencial dW não ser exata, pode-se dizer que o trabalho W não depende do percurso.

Se a força é conservativa, resulta:

${\displaystyle dT+dV=0}$

${\displaystyle T+V=constante}$

Dessa maneira, percebe-se que a energia mecânica não varia ao longo do "caminho".

Mecânica quântica

Tratando-se de física quântica, o formalismo dado à mecânica muda um pouco. As leis da física são vistas de maneira diferente no caso de uma escala próxima ao núcleo atómico. As equações que regem a dinâmica dos corpos (formalismo Hamiltoniano e Lagrangiano), são substituídas pela equação de Schrödinger:

${\displaystyle {\hat {H}}\psi =E\psi }$

onde ${\displaystyle H}$ é o operador Hamiltoniano, ${\displaystyle \psi }$ a função de onda e ${\displaystyle E}$ a energia do estado ${\displaystyle \psi }$. É importante ressalvar que a equação de Schrödinger pode tomar a forma dependente e independente do tempo. Para isso, deve lembrar-se que:

Operador Hamiltoniana: ${\displaystyle {\hat {H}}={\hat {E_{c}}}+{\hat {E_{p}}}={\frac {{\hat {p}}^{2}}{2m}}+{\hat {V}}(r)}$

Operador momento: ${\displaystyle {\hat {p}}={\frac {\hbar }{i}}\nabla }$

Operador Potencial: ${\displaystyle {\hat {V}}(r)=V(r)}$

Energia: ${\displaystyle E=i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}}$ (no caso dependente do tempo)

Assim, no caso da equação independente do tempo, tem-se:

${\displaystyle {\frac {-\hbar }{2m}}\nabla ^{2}\psi (r)+V(r)\psi (r)=E\psi (r)}$ (equação independente do tempo)

Já no caso da dependente do tempo tem-se:

${\displaystyle {\frac {-\hbar }{2m}}\nabla ^{2}\psi (r,t)+V(r)\psi (r,t)=i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}\psi (r,t)}$ (equação dependente do tempo)

Exemplos

Nesta seção serão dados alguns exemplos do cálculo da energia mecânica.

Partícula livre

No caso de uma partícula livre, sabe-se que a energia potencial ${\displaystyle E_{p}}$ é nula. Assim, a energia mecânica é escrita como: ${\displaystyle \ E_{m}=E_{c}={\frac {p^{2}}{2m}}}$

onde ${\displaystyle p}$ é o momento linear da partícula e ${\displaystyle m}$ sua massa.

Oscilador harmônico

No caso de uma partícula em um oscilador harmônico, a energia potencial pode ser escrita como:

${\displaystyle E_{p}={\frac {1}{2}}m\omega ^{2}x^{2}}$

com ${\displaystyle \omega }$ sendo a velocidade angular e ${\displaystyle x}$ a posição da partícula. Assim, a energia mecânica do sistema é dada por:

${\displaystyle \ E_{m}={\frac {p^{2}}{2m}}+{\frac {1}{2}}m\omega ^{2}x^{2}}$

Atração gravitacional

No caso de uma partícula de massa ${\displaystyle m_{1}}$ em um potencial gravitacional gerado por outra partícula de massa ${\displaystyle m_{2}}$, pode-se escrever a energia mecânica do sistema como

${\displaystyle \ E_{m}={\frac {p^{2}}{2m}}+{\frac {G.m_{1}.m_{2}}{d}}}$

onde ${\displaystyle G}$ é a constante da gravitação universal e ${\displaystyle d}$ a distância entre os corpos.

Pêndulo simples

Em um pêndulo simples, a energia mecânica do sistema será igual à energia potencial gravitacional inicial, que é proporcional à altura da qual ele será solto. Durante o movimento de descida, a energia potencial converte-se continuamente em energia cinética devido ao trabalho realizado pela força gravitacional (peso). Quanto o corpo atinge o ponto mais baixo, toda a energia potencial foi transformada em cinética, correspondendo ao ponto de velocidade máxima do pêndulo. Uma vez passado esse ponto, o corpo começa sua subida e o processo inverso se inicia: a energia cinética se transformando em potencial gravitacional até que o corpo pare totalmente, na mesma altura em que foi solto do outro lado.

A energia mecânica do sistema de um pêndulo simples é dada pela expressão a seguir:

${\displaystyle \ E_{mec}=mgh+{\frac {1}{2}}mv^{2}}$

Em que ${\displaystyle mgh}$ é a energia potencial gravitacional e ${\displaystyle {\frac {1}{2}}mv^{2}}$ é a energia cinética associadas à massa do pêndulo. Pelo princípio da Conservação da Energia Mecânica, essa soma permanece constante ao longo do tempo, ou seja, quando a energia cinética aumenta, a potencial tem que diminuir e vice-versa.

Legenda

• ${\displaystyle k}$ =constante elástica
• ${\displaystyle g}$ =aceleração da gravidade (~9,81 m/s²) (constante)
• ${\displaystyle E_{c}}$ =energia cinética
• ${\displaystyle m}$ =massa (kg)
• ${\displaystyle I}$ =Momento de Inércia (kg*m²)
• ${\displaystyle \omega }$ (letra grega ômega) = velocidade angular (rad/s)
• ${\displaystyle w}$ =trabalho (J)
• ${\displaystyle E_{pg}}$ =energia potencial gravitacional
• ${\displaystyle E_{peletrica}}$=energia potencial elétrica
• ${\displaystyle E_{pelastica}}$ =energia potencial elástica
• ${\displaystyle h}$ =altura (m)
• ${\displaystyle v}$ =velocidade (m/s)
• ${\displaystyle x}$ =elongação ou deformação da mola

Referências

• Portal da ciência
• Portal da física
• Portal da química
• Portal da engenharia