Forma canônica de Jordan

A forma canônica de Jordan ^{(português brasileiro)} ou forma canónica de Jordan ^{(português europeu)} é uma forma de representar uma matriz ou operador linear através de uma outra matriz semelhante à original que é quase uma matriz diagonal. No corpo dos números complexos, esta forma é uma matriz triangular superior, em que os únicos elementos não-nulos são aqueles da diagonal ou imediatamente acima da diagonal.

O nome é uma referência a Camille Jordan.

Definições

Seja T um operador linear de um K-espaço vetorial V de dimensão finita, sendo K o corpo ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ou ${\displaystyle \mathbb {C} }$.

Caso Real

Se ${\displaystyle K=\mathbb {R} }$, escrevamos o polinômio característico de T na forma

${\displaystyle p_{T}(x)=(x-\lambda _{1})^{m_{1}}\cdots (x-\lambda _{n})^{m_{n}}}$,

com ${\displaystyle \lambda _{r}\neq \lambda _{s}}$ se ${\displaystyle r\neq s}$.

Chama-se de um bloco de Jordan de ordem r à matriz quadrada de ordem r ${\displaystyle J(\lambda ;r)}$ dada por ^[1]

${\displaystyle J(\lambda ;r)={\begin{bmatrix}\lambda &1&0&\cdots &0\\0&\lambda &1&\cdots &0\\0&0&\lambda &\cdots &0\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&0&0&\cdots &\lambda \end{bmatrix}}_{r\times r}}$,

que pode ser escrita através da soma de duas matrizes:

${\displaystyle J(\lambda ;r)=\lambda {\begin{bmatrix}1&0&0&\cdots &0\\0&1&0&\cdots &0\\0&0&1&\cdots &0\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&0&0&\cdots &1\end{bmatrix}}_{r\times r}+{\begin{bmatrix}0&1&0&\cdots &0\\0&0&1&\cdots &0\\0&0&0&\cdots &0\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&0&0&\cdots &0\end{bmatrix}}_{r\times r}=\lambda I+N,}$

onde N é uma matriz nilpotente, pois ${\displaystyle N^{r}=0}$.

Se ${\displaystyle B_{1},\ldots ,B_{k}}$ são matrizes quadradas, não necessariamente de ordens iguais, define-se ${\displaystyle \operatorname {diag} \ (B_{1},\ldots ,B_{k})}$ como sendo a matriz quadrada de ordem igual à soma das ordens de ${\displaystyle B_{1},\ldots ,B_{k}}$ dada por

${\displaystyle {\begin{bmatrix}B_{1}&0&\cdots &0\\0&B_{2}&\cdots &0\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&0&\cdots &B_{k}\end{bmatrix}}}$.

Caso Complexo

Se ${\displaystyle K=\mathbb {C} }$, escrevamos o polinômio característico de T na forma

${\displaystyle p_{T}(x)=(x-\lambda _{1})^{m_{1}}\cdots (x-\lambda _{n})^{m_{n}}((x-\alpha _{1})^{2}+\beta _{1}^{2}))^{p_{1}}\cdots ((x-\alpha _{k})^{2}+\beta _{k}^{2}))^{p_{k}}}$,

onde ${\displaystyle \alpha _{r}+i\beta _{r}}$ é uma raiz complexa de p_T, com ${\displaystyle \lambda _{r}\neq \lambda _{s}}$ e ${\displaystyle (\alpha _{r},|\beta _{r}|)\neq (\alpha _{s},|\beta _{s}|)}$ se ${\displaystyle r\neq s}$.

Se ${\displaystyle \alpha +i\beta }$ é uma raiz complexa de ${\displaystyle p_{T}(\lambda )}$, define-se, analogamente à matriz ${\displaystyle J(\lambda ;r)}$,

${\displaystyle R(\alpha ,\beta ;r)={\begin{bmatrix}A&{\bar {1}}&0&\cdots &0\\0&A&{\bar {1}}&\cdots &0\\0&0&A&\cdots &0\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&0&0&\cdots &A\end{bmatrix}}_{n\times n}}$,

onde

${\displaystyle A={\begin{bmatrix}\alpha &\beta \\-\beta &\alpha \end{bmatrix}}}$ e ${\displaystyle {\bar {1}}={\begin{bmatrix}1&0\\0&1\end{bmatrix}}}$

Teorema (de Jordan)

Sejam V um K-espaço vetorial de dimensão finita e T um operador linear de V. Se ${\displaystyle K=\mathbb {C} }$ e

${\displaystyle p_{T}(x)=(x-\lambda _{1})^{m_{1}}\cdots (x-\lambda _{n})^{m_{n}}}$,

com ${\displaystyle \lambda _{r}\neq \lambda _{s}}$ se ${\displaystyle r\neq s}$, ${\displaystyle \lambda _{r}\in \mathbb {C} }$, então existe uma base na qual a matriz de T é da forma

${\displaystyle J=\operatorname {diag} \ (J_{1},\ldots ,J_{n})}$,

onde ${\displaystyle J_{1},\ldots ,J_{p}}$ são da forma ${\displaystyle J(\lambda ;r),\,r\in \mathbb {N} }$ e ${\displaystyle \lambda \in \{\lambda _{1},\ldots ,\lambda _{n}\}}$.

Se ${\displaystyle K=\mathbb {R} }$ e

${\displaystyle p_{T}(x)=(x-\lambda _{1})^{m_{1}}\cdots (x-\lambda _{n})^{m_{n}}((x-\alpha _{1})^{2}+\beta _{1}^{2})^{p_{1}}\cdots ((x-\alpha _{k})^{2}+\beta _{k}^{2})^{p_{k}}}$,

onde ${\displaystyle \alpha _{r}+i\beta _{r}}$ é uma raiz complexa de p_T com ${\displaystyle \lambda _{r}\neq \lambda _{s}}$ e ${\displaystyle (\alpha _{r},\beta _{r})\neq (\alpha _{s},\beta _{s})}$ se ${\displaystyle r\neq s}$ (${\displaystyle \beta _{r}>0}$), então existe uma base com relação à qual a matriz de T é da forma

${\displaystyle J=\operatorname {diag} \ (J_{1},\ldots ,J_{n},R_{1},\ldots ,R_{k}),}$

onde ${\displaystyle J_{1},\ldots ,J_{p}}$ são da forma ${\displaystyle J(\lambda ;r),\,r\in \mathbb {N} }$ e ${\displaystyle \lambda \in \{\lambda _{1},\ldots ,\lambda _{n}\}}$ e ${\displaystyle R_{1},\ldots ,R_{q}}$ são da forma ${\displaystyle R(\alpha ,\beta ;n),\,n\in \mathbb {N} }$ e ${\displaystyle (\alpha ,\beta )\in \{(\alpha _{1},\beta _{1}),\ldots ,(\alpha _{k},\beta _{k})\}}$.

Corolário

A matriz de um operador T com relação a uma base qualquer é semelhante a uma matriz da forma ${\displaystyle J=\operatorname {diag} \ (J_{1},\ldots ,J_{p})}$ (caso complexo) ou ${\displaystyle J=\operatorname {diag} \ (J_{1},\ldots ,J_{p},R_{1},\ldots ,R_{q})}$ (caso real).

Observações

Blocos de Jordan com a mesma raiz

O teorema afirma, no caso complexo, que a matriz equivalente é da forma:

${\displaystyle {\begin{bmatrix}J(\lambda _{1};m_{1})&0&\cdots &0\\0&J(\lambda _{2};m_{2})&\cdots &0\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&0&\cdots &J(\lambda _{n};m_{n})\end{bmatrix}}\,}$,

mas é possivel que ${\displaystyle \lambda _{s}=\lambda _{r}\,}$ quando ${\displaystyle s\neq r\,}$

Por exemplo^[2], a matriz 4x4 abaixo está na forma canônica de Jordan:

${\displaystyle {\begin{bmatrix}42&1&0&0\\0&42&0&0\\0&0&42&0\\0&0&0&42\end{bmatrix}}\,}$,

em que ${\displaystyle \lambda _{1}=\lambda _{2}=\lambda _{3}=\lambda _{4}=42\,}$, ${\displaystyle m_{1}=2\,}$ e ${\displaystyle m_{2}=m_{3}=1\,}$.

Unicidade

A forma canônica de Jordan é única, a menos de permutações entre os blocos de Jordan.

Referências

Bibliografia

• (em inglês) Daniel T. Finkbeiner II, Introduction to Matrices and Linear Transformations, Third Edition, Freeman, 1978.
• (em inglês) Gene H. Golub and Charles F. Van Loan, Matrix Computations (3rd ed.), Johns Hopkins University Press, Baltimore, 1996.
• (em inglês) Shafarevich, Igor R., Remizov, Alexey O. Linear Algebra and Geometry, Springer, 2012, ISBN 978-3-642-30993-9