Matriz de covariância

Em estatística e em teoria das probabilidades, matriz de covariância é uma matriz, simétrica, que sumariza a covariância entre N variáveis.

Definição

Se os elementos de um vetor coluna

${\displaystyle X={\begin{bmatrix}X_{1}\\X_{2}\\\vdots \\X_{n}\end{bmatrix}}}$

forem variáveis aleatórias, cada uma com variância finita, então a matriz de covariância será a matriz cujo elemento (i, j) é a covariância

${\displaystyle \Sigma _{ij}=\mathrm {cov} (X_{i},X_{j})=\mathrm {E} {\begin{bmatrix}(X_{i}-\mu _{i})(X_{j}-\mu _{j})\end{bmatrix}}}$

em que

${\displaystyle \mu _{i}=\mathrm {E} (X_{i})\,}$

é o valor esperado do i-ésimo elemento do vetor X. Em outras palavras, temos

${\displaystyle \Sigma ={\begin{bmatrix}\mathrm {E} [(X_{1}-\mu _{1})(X_{1}-\mu _{1})]&\mathrm {E} [(X_{1}-\mu _{1})(X_{2}-\mu _{2})]&\cdots &\mathrm {E} [(X_{1}-\mu _{1})(X_{n}-\mu _{n})]\\\\\mathrm {E} [(X_{2}-\mu _{2})(X_{1}-\mu _{1})]&\mathrm {E} [(X_{2}-\mu _{2})(X_{2}-\mu _{2})]&\cdots &\mathrm {E} [(X_{2}-\mu _{2})(X_{n}-\mu _{n})]\\\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\\\\mathrm {E} [(X_{n}-\mu _{n})(X_{1}-\mu _{1})]&\mathrm {E} [(X_{n}-\mu _{n})(X_{2}-\mu _{2})]&\cdots &\mathrm {E} [(X_{n}-\mu _{n})(X_{n}-\mu _{n})]\end{bmatrix}}}$

A covariância entre um elemento ${\displaystyle X_{i}}$ e ele mesmo é a sua variância e forma a diagonal principal da matriz. A inversa desta matriz, ${\displaystyle \Sigma ^{-1}}$, é chamada matriz de covariância inversa ou matriz de precisão.^[1]

Generalização do conceito

A definição acima é equivalente à multiplicação do vetor coluna pela sua transposta

${\displaystyle \Sigma =\mathrm {E} \left[\left({\textbf {X}}-\mathrm {E} [{\textbf {X}}]\right)\left({\textbf {X}}-\mathrm {E} [{\textbf {X}}]\right)^{\top }\right]}$

Propriedades

• Todas as matrizes de covariância são positivas semi definidas.

Ver também

• Variância
• Covariância
• Correlação
• Matrizes

Notes

Referências

• KAMPEN, N.G. van. Processos Estocásticos em Física e Química. New York: North-Holland, 1981.
• «Um Manual de Estatística» 
• «Mean Vector and Covariance Matrix» 
• «Covariance, variance and correlation» (PDF) 
• «Covariance matrix» 
• «Covariance and Correlation» 

• Portal de probabilidade e estatística