Função exponencial

Chama-se função exponencial a função ${\textstyle f:\mathbb {R} \to \mathbb {R} _{+}^{*}}$ tal que ${\textstyle f(x)=a^{x}}$ em que ${\textstyle a\in \mathbb {R} }$, ${\textstyle 0<a\neq 1}$. O número ${\displaystyle a}$ é chamado de base da função. A função exponencial ${\textstyle f(x)=a^{x}}$ pode ser crescente ou decrescente a depender do valor da base. Se ${\textstyle a>1}$, a função é crescente. Caso ${\textstyle 0<a<1}$ a função é decrescente.^[1][2]

Definição formal

A função exponencial pode ser caracterizada como uma extensão do processo de potenciação para expoentes não inteiros. Quando n é um número natural maior do que 1, a potência aⁿ indica a multiplicação da base a por ela mesma tantas vezes quanto indicar o expoente n, isto é,^[3]

${\displaystyle {{a^{n}=} \atop {\ }}{{\underbrace {a\times \cdots \times a} } \atop n},}$

Esta definição implica as seguintes propriedades:

• ${\displaystyle a^{n+m}=a^{n}a^{m};}$
• ${\displaystyle a^{nm}=\left(a^{n}\right)^{m}.}$

A fim de estender estas propriedades para expoente zero, expoentes negativos e racionais, definem-se:

• ${\displaystyle a^{0}=1,\quad \forall a\neq 0;}$
• ${\displaystyle a^{-n}={\frac {1}{a^{n}}},\quad \forall a\neq 0,~~n\in \mathbb {N} ;}$
• ${\displaystyle a^{\frac {1}{n}}={\sqrt[{n}]{a}},\quad \forall a>0,~~n\in \mathbb {N} ;}$
• ${\displaystyle a^{\frac {n}{m}}={\sqrt[{m}]{a^{n}}},\quad \forall a>0,~~n\in \mathbb {Z} ~~m\in \mathbb {N} .}$

A função exponencial pode ser então definida para todo expoente x através dos seguintes limites:^[4]

${\displaystyle a^{x}=\sup _{{\frac {n}{m}}<x}a^{\frac {n}{m}},a>1;}$

${\displaystyle a^{x}=\inf _{{\frac {n}{m}}<x}a^{\frac {n}{m}},a<1.}$

De fato, a função y = a^x é a única função contínua y=f(x) que satisfaz:

• ${\displaystyle f(x+y)=f(x)f(y);}$
• ${\displaystyle f(1)=a.}$

No entanto, mais comumente, a função exponencial é definida em termos da função exponencial natural e sua inversa, o logaritmo natural:^[4]

• ${\displaystyle a^{x}=e^{\ln(a)x}.}$

A função exponencial satisfaz sempre os seguintes axiomas básicos de definição:

• ${\displaystyle a^{1}=a}$
• ${\displaystyle a^{x+y}=a^{x}a^{y},~~\forall x,y\in \mathbb {R} }$

A partir destes axiomas, podemos extrair as seguintes propriedades operacionais:

1. ${\displaystyle a^{0}={\frac {a^{1+0}}{a^{1}}}={\frac {a^{1}}{a^{1}}}=1,}$
2. ${\displaystyle a^{-x}={\frac {a^{(-x)+x}}{a^{x}}}={\frac {a^{0}}{a^{x}}}={\frac {1}{a^{x}}},~~\forall x\in \mathbb {R} }$

Propriedades da função exponencial

A função exponencial de base ${\displaystyle a}$, ${\displaystyle f(x)=a^{x}}$, tem as seguintes propriedades:^[1][2]

1. ${\displaystyle f(x)>0}$ para todo ${\displaystyle x\in \mathbb {R} }$;
2. ${\displaystyle f(x)}$ é função crescente se, e somente se, ${\displaystyle a>1}$;
3. ${\displaystyle f(x)}$ é função decrescente se, e somente se, ${\displaystyle 0<a<1}$;
4. ${\displaystyle f(x)}$ é injetiva;
5. ${\displaystyle f(x)}$ é ilimitada superiormente;
6. ${\displaystyle f(x)}$ é contínua;
7. ${\displaystyle f(x)}$ é sobrejetiva;
8. ${\displaystyle f(x)}$ é bijetiva, isto é, possui uma função inversa, o logaritmo, denominada ${\displaystyle \log _{a}(x)}$.

Demonstrações das propriedades

Propriedade 1

Mostraremos, primeiro, que ${\displaystyle f(x)\neq 0}$ para todo ${\displaystyle x\in \mathbb {R} }$. Com efeito, notamos que ${\displaystyle f(0)=1\neq 0}$. Suponhamos, por contradição, que ${\displaystyle f(x)=a^{x}=0}$ para algum ${\displaystyle x\neq 0}$. Mas, daí temos ${\displaystyle 0=a^{x}a^{-x+1}=a>0}$, uma contradição. Concluímos que ${\displaystyle f(x)\neq 0}$ para todo ${\displaystyle x\in \mathbb {R} }$.

Como consequência ${\displaystyle f(x)>0}$ para todo ${\displaystyle x\in \mathbb {R} }$, uma vez que ${\displaystyle f(0)=a^{0}=1}$.

Propriedade 2

Sejam ${\displaystyle x,y\in \mathbb {R} }$. Suponhamos, sem perda de generalidade, que ${\displaystyle x<y}$. Tomamos, então, ${\displaystyle p>0\in \mathbb {R} }$ tal que ${\displaystyle y=x+p}$. Segue que ${\displaystyle a^{y}-a^{x}=a^{x+p}-a^{x}=a^{x}(a^{p}-1)}$. Pela propriedade 1, temos ${\displaystyle a^{x}>0}$. Logo, ${\displaystyle a^{x}<a^{y}}$ se, e somente se, ${\displaystyle a^{p}>1}$. Como ${\displaystyle p>0}$, ${\displaystyle a^{p}>1}$ se, e somente se, ${\displaystyle a>1}$. Concluímos que, ${\displaystyle f(x)<f(y)}$ se, e somente se, ${\displaystyle a>1}$.

Propriedade 3

Segue raciocínio análogo à demonstração da propriedade 2.

Propriedade 4

Consequência imediata das propriedades 2 e 3.

Propriedade 5

Seja ${\displaystyle f(x)=a^{x}}$ com ${\displaystyle a>1}$. Tomamos ${\displaystyle d\in \mathbb {R} }$ tal que ${\displaystyle a=1+d}$. Assim, pela desigualdade de Bernoulli, temos ${\displaystyle a^{n}>1+nd}$. Logo, dado qualquer ${\displaystyle L>0}$, se escolhemos ${\displaystyle x}$ como o menor inteiro maior que ${\displaystyle {\frac {L-1}{d}}}$, temos ${\displaystyle f(x)>L}$, i.e. ${\displaystyle f(x)}$ é ilimitada superiormente. A demonstração é análoga para ${\displaystyle 0<a<1}$.

Propriedade 6

Para qualquer ${\displaystyle c\in \mathbb {R} }$, temos ${\displaystyle f(c)}$ está bem definida. Além disso, temos:

${\displaystyle \lim _{x\to c}f(x)=\lim _{h\to 0}f(c+h)=\lim _{h\to 0}a^{c+h}=\lim _{h\to 0}a^{c}a^{h}=a^{c}\lim _{h\to 0}a^{h}}$

Como, ${\displaystyle \lim _{h\to 0}a^{h}=1}$, seque que:

${\displaystyle \lim _{x\to c}f(x)=f(c)}$.

Lema

Dados um número real ${\displaystyle a\neq 1}$ e um intervalo ${\displaystyle I=[c,~d]\subset \mathbb {R} _{+}^{*}}$, com ${\displaystyle d>c}$, então existe um número racional ${\displaystyle r\in \mathbb {Q} }$ tal que ${\displaystyle a^{r}\in I}$.^[1]

Suponhamos, sem perda de generalidade, que ${\displaystyle a,c>1}$. Pelas propriedades 2 e 5, existe um número natural ${\displaystyle n_{1}\in \mathbb {N} }$ tal que:

${\displaystyle c<d<a^{n_{1}}}$.

Como consequência, existe um número natural ${\displaystyle n_{2}\in \mathbb {N} }$ tal que:

${\displaystyle 1<a<\left(1+{\frac {d-c}{a^{n_{1}}}}\right)^{n_{2}}}$.

Daí, segue que:

${\displaystyle 1<a^{\frac {1}{n_{2}}}<1+{\frac {d-c}{a^{n_{1}}}}\Rightarrow 0<a^{n_{1}}\left(a^{1/n_{2}}-1\right)<d-c}$.

Assim:

${\displaystyle {\frac {m}{n_{2}}}\leq n_{1}\Rightarrow a^{\frac {m}{n_{2}}}\left(a^{\frac {1}{n_{2}}}-1\right)=a^{\frac {m+1}{n_{2}}}-a^{\frac {m}{n_{2}}}<d-c}$.

Desta forma, temos que:

${\displaystyle a^{0}<~a^{\frac {1}{n_{2}}}<~a^{\frac {2}{n_{2}}}<~\cdots <~a^{n_{1}}}$

é uma sequência finita, cujos termos são extremos de intervalos consecutivos de tamanho menor que o do intervalo ${\displaystyle I=[c,~d]}$. Logo, pelo menos um dos termos desta sequência deve pertencer a ${\displaystyle I}$, i.e. para algum ${\displaystyle m}$, temos ${\displaystyle a^{r}\in I}$ com ${\displaystyle r={\frac {m}{n_{2}}}}$.

Propriedade 7

Seja ${\displaystyle y\in \mathbb {R} _{+}^{*}}$. Suponhamos que ${\displaystyle a>1}$. Usando o lema anterior construímos uma sequência não-decrescente limitada ${\displaystyle (r_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$ tal que ${\displaystyle a^{r_{n}}\in \left[y-{\frac {1}{n}},~y\right]}$. Pela completude dos números reais, temos que ${\displaystyle r_{n}\to x}$ quando ${\displaystyle n\to \infty }$. Segue da continuidade de ${\displaystyle f(x)}$ (propriedade 6), que:

${\displaystyle a^{x}=\lim _{n\to \infty }a^{r_{n}}=y}$

i.e., dado ${\displaystyle y\in \mathbb {R} _{+}^{*}}$, existe ${\displaystyle x\in \mathbb {R} }$ tal que ${\displaystyle f(x)=a^{x}=y}$. A demonstração para ${\displaystyle 0<a<1}$ segue raciocínio análogo.

Propriedade 8

Consequência imediata das propriedades 4 e 7.

A função exponencial natural

A função exponencial natural é a função exponencial cuja base é o número de Euler. Denotado por e^x ou exp(x), a função exponencial natural é uma das mais importantes funções da matemática e pode ser definida de pelo menos duas maneiras equivalentes: a primeira, como uma série infinita; a segunda, como limite de uma seqüência:^[4]

${\displaystyle e^{x}=\sum _{n=0}^{\infty }{x^{n} \over n!}=1+x+{x^{2} \over 2!}+{x^{3} \over 3!}+{x^{4} \over 4!}+\cdots }$

${\displaystyle e^{x}=\lim _{n\to \infty }\left(1+{x \over n}\right)^{n}}$

Aqui, ${\displaystyle n!}$ corresponde ao fatorial de n e x é qualquer número real ou complexo.

O valor da base da exponencial natural, ${\displaystyle e}$, é aproximadamente ${\displaystyle 2{.}718281828}$.

A exponencial natural satisfaz as seguinte propriedades:^[4]

• A função y = e^x é contínua e diferenciável para todo x.
• A derivada da função y = e^x é a própria função função y = e^x.
• A função y = e^x é positiva e crescente para todo número real x.
• e^x+y = e^x e^y
• A curva y = e^x jamais toca o eixo x, embora se aproxime de zero para valores negativos de x, isto é:

${\displaystyle \lim _{x\to -\infty }e^{x}=0}$

• Os valores de y=e^x crescem ilimitadamente, isto é:

${\displaystyle \lim _{x\to +\infty }e^{x}=+\infty }$

• A função y=e^x cresce mais rápido que qualquer potência, isto é, para todo n natural, temos:

${\displaystyle \lim _{x\to -\infty }x^{n}e^{x}=0.}$

• A função ${\displaystyle y=e^{x}}$ é igual a sua derivada, i.e.:

${\displaystyle {\frac {\text{d}}{{\text{d}}x}}e^{x}=e^{x}}$.

Usando o logaritmo natural, pode-se definir funções exponenciais mais genéricas, como abaixo:

${\displaystyle a^{x}=e^{x\ln a}}$

Para todo a > 0 e ${\displaystyle x\in \mathbb {R} .}$

Derivada e integral da função exponencial

A derivada da função exponencial de base ${\displaystyle a}$, ${\displaystyle f(x)=a^{x}}$ é dada por:^[5][6]

${\displaystyle {\frac {d}{dx}}f(x)=a^{x}\ln a}$.

De fato, como ${\displaystyle a^{x}=e^{(\ln a)x}}$ temos da regra da cadeia que:

${\displaystyle {\frac {\text{d}}{{\text{d}}x}}a^{x}={\frac {\text{d}}{{\text{d}}x}}e^{(\ln a)x}=(\ln a)e^{(\ln a)x}=a^{x}\ln a}$.

De forma análoga, obtermos a derivada segunda:

${\displaystyle {\frac {{\text{d}}^{2}}{{\text{d}}x^{2}}}a^{x}={\frac {\text{d}}{{\text{d}}x}}a^{x}\ln a=a^{x}(\ln a)^{2}}$

Como ${\displaystyle (\ln(a))^{2}}$ é uma constante positiva, observamos que a taxa de variação da função exponencial é crescente em relação a x, isto é a função exponencial é uma função convexa.

A integral indefinida da função exponencial é dada por:^[5][6]

${\displaystyle \int a^{x}{\text{d}}x=\int e^{\ln ax}{\text{d}}x={\frac {1}{\ln a}}e^{\ln ax}+C={\frac {1}{\ln a}}a^{x}+C}$.

Ver também

• Crescimento exponencial

Referências