Modelo Erdős–Rényi

Ciência da Rede
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Modelos
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Categorias
Teoria dos grafos Teoria das redes complexas
v d e

Na teoria de grafos, o modelo Erdõs-Rényi é um dos dois modelos estritamente relacionados para gerar grafos aleatórios, que inclui o limite entre cada par de nós com igual probabilidade, independentemente das extremidades. O nome do modelo surgiu dos matemáticos Paul Erdős e Alfréd Rényi, que primeiro introduziram um dos dois modelos em 1959, o outro modelo foi introduzido de forma independente e contemporânea por Edgar Gilbert. Estes modelos podem ser utilizados nos métodos probabilísticos para provar a existência dos grafos de forma a satisfazer várias propriedades, ou fornecer definição rigorosa do que significa uma propriedade manter-se para quase todos os grafos.

Hoje em dia existe um grande número de modelos para estruturar redes. Alguns desses modelos são mecanismos, significando que codificam uma série de regras matemáticas e consegue-se produzir certo tipo de redes. A finalidade destes modelos é frequentemente representada por certas relações de causa e efeito. Normalmente, esses modelos têm um único mecanismo dominante, projetado para produzir certos tipos específicos de topologias padrão.O tipo mais comum de modelo grafo aleatório é o modelo Erdős-Rényi (muitas vezes designado por grafo de Poisson aleatório ou grafo aleatório Binomial).^[1]

Definição

Existem duas variantes relacionados do modelo de grafos aleatórios Erdős-Rényi (ER).

• No modelo o ${\displaystyle G(n,M)}$ grafo é escolhido de forma uniforme aleatória da coleção de todos os grafos o qual tem nós e extremidades. Por exemplo, no modelo ${\displaystyle G(3,2)}$ cada uma das três possibilidades de grafos de três vértices e duas extremidades são incluídos com uma probabilidade ${\displaystyle {1 \over 3}}$.
• No modelo ${\displaystyle G(n,p)}$, o grafo é construído por nós ligados aleatoriamente. Cada extremidade é incluída no grafo com a probabilidade independentemente de todas as outras extremidades. De forma equivalente, todos os grafos com nós e extremidades têm probabilidade igual a

${\displaystyle p^{M}(1-p)^{({n \choose 2}-M)}}$

O parâmetro ${\displaystyle p}$ neste modelo pode ser pensado como a função ponderada; como ${\displaystyle p}$ aumenta de ${\displaystyle 0}$ até ${\displaystyle 1}$ o modelo torna-se muito mais susceptível a incluir grafos com mais extremidades e muito menos susceptível de incluir com menos extremidades. Em particular, o caso ${\displaystyle p=0{,}5}$ corresponde ao caso onde todos ${\displaystyle 2^{\binom {n}{2}}}$ grafos nos vértices são escolhidos com igual probabilidades. O comportamento dos grafos aleatórios são muitas vezes desproporcionados no caso o ${\displaystyle n}$ é número de vértices, que tende para infinito. Apesar ${\displaystyle p}$ e ${\displaystyle M}$ poderem ser fixos neste caso, também podem ser funções dependentes de ${\displaystyle n}$. Quase todos os grafos com ${\displaystyle G(n,2ln(n)/n)}$ estão interligados.

Significa que,

como ${\displaystyle n}$ tende para infinito, a probabilidade deste grafo nos ${\displaystyle n}$ vértices com extremidades e probabilidade ${\displaystyle 2\ln(n)/n}$ é ligada, tende para ${\displaystyle 1}$.

Comparação entre os dois modelos

O número esperado de extremidades em ${\displaystyle G(n,p)}$ é ${\displaystyle {n \choose 2}p}$ demonstrada pela lei dos grandes números em que qualquer grafo ${\displaystyle G(n,p)}$ tem aproximadamente muitas extremidades (desde que o número esperado de extremidades tenda para infinito). Por conseguinte, uma heurística se pn² → ∞ deve comportar-se de forma semelhante a ${\displaystyle G(n,M)}$ com o ${\displaystyle M={n \choose 2}p}$ como ${\displaystyle n}$ aumenta. Para muitas propriedades do grafo. Se P é qualquer propriedade que é função monótona de um grafo em relação ao sub grafo ordenado (significa que, se A é um sub grafo de B e A satisfaz P então B satisfará P), então na afirmação “ P vale para quase todos os grafos na ${\displaystyle G(n,p)}$ ” e “ P vale para quase todos os grafos em que ${\displaystyle G(n,{n \choose 2}p)}$” são equivalentes (previsto Pn²→ ∞). Por exemplo, se P é a propriedade de ser ligado, ou se P contém propriedade de um ciclo Hamiltoniano. No entanto, isto não é necessariamente para assegurar as propriedades de funções não-monótonas (por exemplo, a propriedade de possuir um número par de extremidades). Na prática, o modelo ${\displaystyle G(n,p)}$ é mais vulgarmente utilizado nos dias de hoje, em parte, devido à facilidade de análise autorizado pela independência das arestas.

Propriedades do G(n, p)

Com a notação abaixo, a representação gráfica no ${\displaystyle G(n,p)}$ tem em média ${\displaystyle {n \choose 2}p}$ arestas. A distribuição do grau de qualquer vértice é binomial:^[2]

${\displaystyle P(\operatorname {deg} (v)=k)={n-1 \choose k}p^{k}(1-p)^{n-1-k},}$

Onde ${\displaystyle n}$ é o número total de vértices na representação do grafo. Desde

${\displaystyle P(\operatorname {deg} (v)=k)\to {\frac {(np)^{k}\mathrm {e} ^{-np}}{k!}}\quad {\mbox{ as }}n\to \infty {\mbox{ and }}np=\mathrm {const} ,}$

Esta distribuição é designada por distribuição Poisson para ${\displaystyle n}$ grande e ${\displaystyle np=const.}$

Num artigo de 1960, Erdős e Rényi^[3] descreveram o comportamento de ${\displaystyle G(n,p)}$ muito preciso para vários valores de ${\displaystyle p.}$ Estes resultados incluíam:

• Se ${\displaystyle np<1}$ então o grafo em ${\displaystyle G(n,p)}$ certamente não têm componentes ligados de tamanho maior do que ${\displaystyle O(log(n))}$.

• Se ${\displaystyle np=1}$ então o grafo em ${\displaystyle G(n,p)}$ certamente têm um maior componente cujo tamanho é da ordem n^2/3.

• Se np → c > 1, onde ${\displaystyle c}$ é a constante, então o grafo no ${\displaystyle G(n,p)}$ certamente tem um único componente gigante que contem uma fracção positiva dos vértices. Nenhum outro componente irá conter mais de ${\displaystyle O(log(n))}$ vértices.

• Se ${\displaystyle p<{\tfrac {(1-\epsilon )\ln n}{n}}}$, então o grafo em ${\displaystyle G(n,p)}$ certamente contem vértices isolados, e, assim, ser desligada.

• Se ${\displaystyle p>{\tfrac {(1+\epsilon )\ln n}{n}}}$, então o grafo em ${\displaystyle G(n,p)}$ praticamente certo que será ligado.

${\displaystyle {\tfrac {\ln n}{n}}}$ trata-se de um limiar para a ligação acentuada de ${\displaystyle G(n,p)}$.

Outras propriedades do grafo podem ser descritas com precisão com ${\displaystyle n}$ a tender para o infinito. Por exemplo, existe um ${\displaystyle k(n)}$ (aproximadamente igual a 2 log₂(n)) de tal modo que o maior clique em ${\displaystyle G(n{,}0.5)}$ tem quase certamente qualquer tamanho ${\displaystyle k(n)}$ ou ${\displaystyle k(n)+1}$.

Teoria da Percolação

A teoria de percolação examina um grafo finito ou infinito e elimina extremidades (ou ligações) de forma aleatória. Assim, o processo "Erdős-Rényi" é, de facto, uma ligação não ponderada de percolação no grafo completo. (Um refere-se à percolação em que os nós e/ou ligações são eliminados com pesos heterogéneos como percolação ponderada). Como a teoria de percolação tem muito das suas origens na física, grande parte da pesquisa feita foi sobre malhas em espaços euclidianos. A transição a partir do qual ${\displaystyle np=1}$ os grafos com componente de maiores dimensões é análogo ao componente de pequenas dimensões, mas para malhas o ponto de transição é difícil de determinar. Os físicos muitas vezes referem-se ao estudo da grafo completo como uma teoria de campo médio. Assim, o processo Erdős-Rényi é o caso mean-field de percolação. Alguns trabalhos significativos também foram feitos sobre percolação em grafos aleatórios. De um ponto de vista físico este ainda seria um modelo de mean-field, de modo a justificação da pesquisa ser muitas vezes formulada em termos da robustez do grafo, visto como uma rede de comunicação. Dado um grafo aleatório de n ≫ 1 os nós com um grau médio  <k>. Elimina aleatoriamente uma fracção 1 − p′ de nós e deixar apenas uma fracção ${\displaystyle p'}$ a partir da rede. Existe um limiar de percolação crítico ${\displaystyle p'_{c}={\tfrac {1}{\langle k\rangle }}}$ abaixo do qual a rede torna-se fragmentada enquanto acima de ${\displaystyle p'_{c}}$ um componente ligado de grandes dimensões de ordem ${\displaystyle n}$ existe. O tamanho relativo do componente gigante, P ∞, é dada pela^{[4] [5][6][7]}

${\displaystyle P_{\infty }=p'[1-\exp(-\langle k\rangle P_{\infty })].\,}$

Pressupostos

Ambas hipóteses principais do modelo (extremidades que são independentes e cada lado que é igual probabilidade) pode ser inadequado para a modelação de fenómenos reais. Em particular, um grafo Erdős-Rényi não tem pontas pesadas, como acontece em muitas redes reais. Além disso, tem baixo agrupamento, ao contrário de muitas redes sociais. Para obter alternativas a modelação populares, existe Barabási-Albert e modelo Watts e Strogatz . Note-se que estes modelos alternativos não são processos de percolação, mas representam um modelo de crescimento e de interligação, respetivamente.^[8]

História

O modelo G(n,p) foi introduzido por Edgar Gilbert num artigo em 1959, que estudou o limite de ligação mencionado acima. O modelo G(n,M) foi introduzido por Erdős e Rényi no seu artigo em 1959. Tal como acontece com Gilbert, as suas primeiras investigações foram como a ligação de G(n,M), com análise seguinte mais detalhada, em 1960.

Interação Erdős-Rényi Modelo Grafos Aleatórios (comunidades de redes ER)

Uma simples generalização do modelo (ER) de grafo aleatório aplica-se como apresentado a seguir. Deixe o conjunto de nós n ser dividido em comunidades q, composto por ${\displaystyle n^{(1)},...,n^{(q)}}$ cada nó, com ${\displaystyle \sum _{l}n^{(l)}=n}$, e deixar que seja dada a seguinte matriz q x q de probabilidades ${\displaystyle p^{(l,m)}}$ de ligação entre qualquer nó da comunidade l com qualquer outro nó da comunidade m (possivelmente com l = m)

${\displaystyle p^{(l,m)}={\frac {c^{(l,m)}}{n}}}$,

onde ${\displaystyle c^{(l,m)}}$ é por sua vez uma matriz q x q não negativa que satisfaz o equilíbrio detalhado

${\displaystyle n^{(l)}c^{(l,m)}=c^{(l,m)}n^{(m)}}$.

Ao usar essa construção percebe-se uma generalização do grafo aleatório ER onde ${\displaystyle c^{(l,m)}}$ representa a matriz de ligações médias entre a comunidade l e a comunidade m, as auto-casos l = m sendo aqueles onde nós recuperamos a rede ER único (q=1). É possível provar que tal comunidade de redes de ER está a filtrar quando satisfaz a matriz ${\displaystyle c^{(l,m)}}$

${\displaystyle \max\{\mathrm {Eigenvalues~of~} \mathbf {c} \}>1}$,

que, em particular, significa que a percolação "limiar" é realmente agora uma superfície dada pela seguinte equação.

${\displaystyle \det(\mathbf {1-c} )=0}$.

Ao contrário do caso q = 1 (onde nós recuperamos o limiar de percolação c = 1, ver acima) esta equação pode ter várias soluções e, em geral, o número de soluções podem crescer mais rapidamente do que n.

Referências