Problema de valor inicial

Em matemática, um problema de valor inicial ou problema de condições iniciais ou problema de Cauchy é uma equação diferencial que é acompanhada do valor da função objetivo em um determinado ponto, chamado de valor inicial ou condição inicial. Em física, biologia e outras áreas, a modelagem de um sistema frequentemente resulta em um problema de valor inicial (também chamado de P.V.I.) a ser solucionado; nesse contexto, a equação diferencial é uma equação evolutiva especificando como o sistema evoluirá ao longo do tempo dadas condições iniciais.

Definição

Um problema de valor inicial (P.V.I.) é uma equação diferencial da forma

${\displaystyle {\begin{cases}y'(t)=f(t,y(t))\\y(t_{0})=y_{0}\end{cases}}}$

Uma solução para um P.V.I. é uma função ${\displaystyle y}$ que é solução da equação diferencial e satisfaz ${\displaystyle y(t_{0})=y_{0}}$.

Em dimensões superiores, a equação diferencial é substituída por uma família de equações ${\displaystyle y_{i}'(t)=f_{i}(t,y_{1}(t),y_{2}(t),\dotsc ,y_{n}(t))}$, e ${\displaystyle y(t)}$ é um vetor n-dimensional da forma ${\displaystyle (y_{1}(t),y_{2}(t),\dotsc ,y_{n}(t))}$. Mais geralmente, ${\displaystyle y}$ pode assumir valores em espaços de dimensão infinita, como o Espaço de Banach ou o espaço de distribuições.

P.V.I.s podem ser analisados em ordens superiores tratando as derivadas como uma função independente, e.g. ${\displaystyle y''(t)=f(t,y(t),y'(t))}$.

Existência e unicidade de soluções

Para uma grande classe de P.V.I.s, a existência e unicidade de uma solução pode ser ilustrada através do uso de uma calculadora.

O teorema de Picard-Lindelöf garante a unicidade da solução em um intervalo que contém t₀ se f é continua em uma região contendo t₀ e y₀ e satisfaz a condição de Lipschitz na variável y.

A prova desse teorema provem de uma reformulação do problema como uma equação integral equivalente. A integral pode ser considerada como um operador que transforma uma função em outra, de modo que a solução é um ponto fixo do operador. O teorema do ponto fixo de Banach é evocado para mostrar que existe um único ponto fixo que é solução do P.V.I..

Uma prova antiga do teorema de Picard–Lindelöf constrói uma sequência de funções que convergem para a solução da equação integral, e assim, para a solução do P.V.I.. Essa construção é chamada às vezes de "método de Picard" ou "método de aproximações sucessivas".

Hiroshi Okamura obteve uma condição necessária e suficiente para a solução do P.V.I. ser única. Essa condição tem a ver com a existência de uma função de Lyapunov para o sistema de EDOs.

Em algumas situações, a função f não é de classe C¹, ou mesmo Lipschitz continua, então o resultado usual garantindo a existência local de uma solução única não se aplica. No entanto, o teorema de existência de Peano prova que mesmo para f meramente contínua, existem soluções locais; porém não há garantia de unicidade.^[1][2]

Exemplos

O problema de condição inicial

${\displaystyle {\begin{cases}{\frac {dy}{dx}}=y\\y(0)=2\end{cases}}}$

Resolução

${\displaystyle {\frac {dy}{dx}}=y}$

${\displaystyle {\frac {dy}{dx}}-y=0}$

Pelo método do fator integrante, multiplica-se esta equação por ${\displaystyle e^{-x}}$:

${\displaystyle e^{-x}{\frac {dy}{dx}}-e^{-x}y=e^{-x}0}$

O primeiro lado da equação pode ser simplificado usando a regra da cadeia ${\displaystyle {\frac {d(f\times g)}{dx}}={\frac {df}{dx}}\times g+f\times {\frac {dg}{dx}}}$

${\displaystyle {\frac {d(ye^{-x})}{dx}}=0}$

Integrando os dois lados da equação, obtém-se:

${\displaystyle ye^{-x}=c_{1}}$

com ${\displaystyle c_{1}}$ constante.

Isolando y, obtém-se então infinitas soluções para a equação diferencial, por causa da arbitrariedade de ${\displaystyle c_{1}}$:

${\displaystyle y(x)=c_{1}e^{x}}$

Porém, só existe uma única solução que satisfaz as condições iniciais:

${\displaystyle y(0)=c_{1}e^{0}}$

${\displaystyle 2=c_{1}}$

Portanto, a solução (única) do P.V.I. é:

${\displaystyle y(x)=2e^{x}}$

Oscilador harmônico

No caso de um sistema massa-mola sem atrito e sem força externa atuando, ao aplicar-se a segunda lei de Newton, obtém-se a seguinte relação:

${\displaystyle ma(t)=-kx(t)}$

Ou seja:

${\displaystyle m{\frac {d^{2}x(t)}{dt^{2}}}=-kx(t)}$

Onde ${\displaystyle \textstyle m}$ é a massa do oscilador, ${\displaystyle \textstyle x}$ é o deslocamento dessa massa em relação ao ponto de equilíbrio e ${\displaystyle \textstyle k}$ é a constante da mola.

Um dos métodos de se achar a solução dessa equação diferencial é usar transformada de Laplace. Aplicando a transformada de Laplace em ambos os lados da equação, obtém-se o seguinte:

${\displaystyle m{\mathcal {L}}\left\{{\frac {d^{2}x(t)}{dt^{2}}}\right\}=-k{\mathcal {L}}\{x(t)\}}$

Usando as propriedades da transformada de Laplace, a equação segue escrita como:

${\displaystyle m\left(s^{2}{\mathcal {L}}\{x(t)\}-sx(0)-{\frac {dx}{dt}}(0)\right)=-k{\mathcal {L}}\{x(t)\}}$

De onde pode-se isolar o termo ${\displaystyle {\mathcal {L}}\{x(t)\}}$:

${\displaystyle ms^{2}{\mathcal {L}}\{x(t)\}-msx(0)-m{\frac {dx}{dt}}(0)=-k{\mathcal {L}}\{x(t)\}}$

${\displaystyle ms^{2}{\mathcal {L}}\{x(t)\}+k{\mathcal {L}}\{x(t)\}=msx(0)+m{\frac {dx}{dt}}(0)}$

${\displaystyle (ms^{2}+k){\mathcal {L}}\{x(t)\}=msx(0)+m{\frac {dx}{dt}}(0)}$

${\displaystyle {\mathcal {L}}\{x(t)\}={\frac {msx(0)+m{\frac {dx}{dt}}(0)}{ms^{2}+k}}}$

${\displaystyle {\mathcal {L}}\{x(t)\}(ms^{2}+k)=msx(0)+m{\frac {dx}{dt}}(0)}$

${\displaystyle {\mathcal {L}}\{x(t)\}={\frac {msx(0)+m{\frac {dx}{dt}}(0)}{ms^{2}+k}}}$

Aplicando a transformada inversa de Laplace, obtém-se:

${\displaystyle {\mathcal {L}}^{-1}\left\{{\mathcal {L}}\{x(t)\}\right\}={\mathcal {L}}^{-1}\left\{{\frac {msx(0)+m{\frac {dx}{dt}}(0)}{ms^{2}+k}}\right\}}$

${\displaystyle x(t)=x(0){\mathcal {L}}^{-1}\left\{{\frac {ms}{ms^{2}+k}}\right\}+{\frac {dx}{dt}}(0){\mathcal {L}}^{-1}\left\{{\frac {m}{ms^{2}+k}}\right\}}$

${\displaystyle x(t)=x(0){\mathcal {L}}^{-1}\left\{{\frac {s}{s^{2}+{\frac {k}{m}}}}\right\}+{\frac {dx}{dt}}(0){\mathcal {L}}^{-1}\left\{{\frac {1}{s^{2}+{\frac {k}{m}}}}\right\}}$

Utilizando uma tabela de transformadas, a equação se escreve:

${\displaystyle x(t)=x(0)cos\left({\sqrt {\frac {k}{m}}}t\right)+{\sqrt {\frac {m}{k}}}{\frac {dx}{dt}}(0)sin\left({\sqrt {\frac {k}{m}}}t\right)}$

Logo, é necessário definir as condições iniciais ${\displaystyle x(0)}$ e ${\displaystyle {\frac {dx}{dt}}(0)}$.

Circuito RLC com pulso de amplitude ${\displaystyle \textstyle V_{0}}$

A equação que descreve tal circuito é dada por:

${\displaystyle V(t)=V_{0}(u(t-a)-u(t-b))}$

Onde ${\displaystyle \textstyle u(t)}$ é a função de heaviside

${\displaystyle \textstyle V(t)}$ é dada pela Lei das malhas Kirchhoff como:

${\displaystyle V(t)=L{\frac {di(t)}{dt}}+Ri(t)+{\frac {1}{C}}q(t)}$

Dados ${\displaystyle \textstyle L=1H}$, ${\displaystyle \textstyle R=2\Omega }$ e ${\displaystyle \textstyle C=1F}$ temos:

${\displaystyle {\frac {di(t)}{dt}}+2i(t)+q(t)=V_{0}(u(t-a)-u(t-b))}$

Derivando ambos os lados da equação em relação ao tempo, obtemos:

${\displaystyle {\frac {d^{2}i(t)}{dt^{2}}}+2{\frac {di(t)}{dt}}+i(t)=V_{0}(\delta (t-a)-\delta (t-b))}$

No passo anterior utilizamos o fato de que a derivada da função de heaviside ${\displaystyle \textstyle u(t)}$ é a função delta de Dirac ${\displaystyle \textstyle \delta (t)}$, ou seja:

${\displaystyle {\frac {du(t)}{dt}}=\delta (t)}$

Também lançamos mão dos seguintes conceitos de eletromagnetismo:

${\displaystyle q(t)=\int _{0}^{t}i(t)dt}$

${\displaystyle {\frac {dq(t)}{dt}}=i(t)-i(0)=i(t)}$

Onde utilizamos nossa primeira condição inicial: ${\displaystyle \textstyle i(0)=0}$.

Aplicando a transformada de Laplace em ambos os lados da equação:

${\displaystyle {\mathcal {L}}\left\{{\frac {d^{2}i(t)}{dt^{2}}}\right\}+2{\mathcal {L}}\left\{{\frac {di(t)}{dt}}\right\}+{\mathcal {L}}\{i(t)\}=V_{0}({\mathcal {L}}\{\delta (t-a)\}-{\mathcal {L}}\{\delta (t-b)\})}$

${\displaystyle s^{2}{\mathcal {L}}\{i(t)\}-si(0)-{\frac {di}{dt}}(0)+2s{\mathcal {L}}\{i(t)\}-2i(0)+{\mathcal {L}}\{i(t)\}=V_{0}(e^{-as}-e^{-bs})}$

Devido as condições iniciais, ${\displaystyle \textstyle i(0)=0}$ e ${\displaystyle \textstyle {\frac {di}{dt}}(0)=0}$ a equação se reduz a:

${\displaystyle s^{2}{\mathcal {L}}\{i(t)\}+2s{\mathcal {L}}\{i(t)\}+{\mathcal {L}}\{i(t)\}=V_{0}(e^{-as}-e^{-bs})}$

Isolando ${\displaystyle \textstyle {\mathcal {L}}\{i(t)\}}$:

${\displaystyle {\mathcal {L}}\{i(t)\}(s^{2}+2s+1)=V_{0}(e^{-as}-e^{-bs})}$

${\displaystyle {\mathcal {L}}\{i(t)\}={\frac {V_{0}(e^{-as}-e^{-bs})}{(s^{2}+2s+1)}}}$

Manipulamos a equação de modo a chegar no formato de uma expressão tabelada:

${\displaystyle {\mathcal {L}}\{i(t)\}=V_{0}e^{-as}{\frac {1}{(s+1)^{2}}}-V_{0}e^{-bs}{\frac {1}{(s+1)^{2}}}}$

Aplicando a transformada inversa:

${\displaystyle i(t)=V_{0}{\mathcal {L}}^{-1}\left\{e^{-as}{\frac {1}{(s+1)^{2}}}\right\}-V_{0}{\mathcal {L}}^{-1}\left\{e^{-bs}{\frac {1}{(s+1)^{2}}}\right\}}$

Consultando uma tabela de transformadas de Laplace, obtemos o resultado:

${\displaystyle i(t)=V_{0}u(t-a)(t-a)e^{-(t-a)}-V_{0}u(t-b)(t-b)e^{-(t-b)}}$

Onde utilizamos a propriedade do deslocamento no eixo t e deslocamento no eixo s

Ver também

• Teorema de Picard-Lindelöf, estabelece soluções para certos problemas de valor inicial.
• Problema de condições de fronteira

Referências