Progressão geométrica

Diagrama mostrando uma série geométrica 1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + ⋯ que converge para 2.

Uma progressão geométrica (abreviada como P.G.) é uma sequência numérica na qual cada termo, a partir do segundo, é igual ao produto do termo anterior por uma constante, chamada de razão da progressão geométrica.[1] A razão é indicada geralmente pela letra q {\displaystyle q} (inicial da palavra "quociente").

Alguns exemplos de progressão geométrica:

  • ( 1 , 2 , 4 , 8 , 16 , 32 , 64 , 128 , 256 , 512 , 1024 , 2048 , … ) , {\displaystyle \left(1,2,4,8,16,32,64,128,256,512,1024,2048,\ldots \right),} em que q = 2 {\displaystyle q=2} e a 1 = 1 ; {\displaystyle a_{1}=1;} [1]
  • ( 1 , 1 2 , 1 4 , 1 8 , 1 16 , 1 32 , 1 64 , 1 128 , 1 256 , … ) , {\displaystyle \left(1,{\frac {1}{2}},{\frac {1}{4}},{\frac {1}{8}},{\frac {1}{16}},{\frac {1}{32}},{\frac {1}{64}},{\frac {1}{128}},{\frac {1}{256}},\ldots \right),} em que q = 1 2 {\displaystyle q={\frac {1}{2}}} e a 1 = 1 ; {\displaystyle a_{1}=1;}
  • ( − 3 , 9 , − 27 , 81 , − 243 , 729 , − 2187 , … ) , {\displaystyle \left(-3,9,-27,81,-243,729,-2187,\ldots \right),} em que q = − 3 {\displaystyle q=-3} e a 1 = − 3 ; {\displaystyle a_{1}=-3;}
  • ( 7 , 7 , 7 , 7 , 7 , 7 , 7 , 7 , 7 , 7 , … ) , {\displaystyle \left(7,7,7,7,7,7,7,7,7,7,\ldots \right),} em que q = 1 {\displaystyle q=1} e a 1 = 7 ; {\displaystyle a_{1}=7;}
  • ( 3 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 , … ) , {\displaystyle \left(3,0,0,0,0,0,0,0,0,0,\ldots \right),} em que q = 0 {\displaystyle q=0} e a 1 = 3 ; {\displaystyle a_{1}=3;}

Termo geral

Costuma-se denotar por a n {\displaystyle a_{n}} o n-ésimo termo de uma progressão geométrica. Assim, a progressão fica totalmente definida pelo valor de seu termo inicial a 1 {\displaystyle a_{1}} e sua razão q.

A sucessão dos termos é obtida por recursão:

  • a n = a 1 , n = 1 ; {\displaystyle a_{n}=a_{1},n=1;}
  • a n + 1 = q ⋅ a n , n = 2 , 3 , 4 , … . {\displaystyle a_{n+1}=q\cdot a_{n},n=2,3,4,\ldots .}

Podemos demonstrar por indução matemática que:

a n = a 1 . q n − 1 . {\displaystyle a_{n}=a_{1}.q^{n-1}.}

De modo geral, o n-ésimo termo pode ser calculado a partir do m-ésimo termo simplesmente por:

a n = a m   q n − m ,     n , m ∈ Z {\displaystyle a_{n}=a_{m}\ q^{n-m},~~n,m\in \mathbb {Z} }

Soma dos termos de uma P.G.

A soma dos termos de uma P.G., a partir do primeiro, é definida por

S n = ∑ i = 1 n a 1 q i − 1 = a 1 + a 1 q + a 1 q 2 + … + a 1 q n − 1 . {\displaystyle S_{n}=\sum _{i=1}^{n}a_{1}q^{i-1}=a_{1}+a_{1}q+a_{1}q^{2}+\ldots +a_{1}q^{n-1}.}

Caso q ≠ 1 , {\displaystyle q\neq 1,} a soma pode ser descrita pela seguinte fórmula:

S n = a 1 ( 1 − q n ) 1 − q {\displaystyle S_{n}={\frac {a_{1}(1-q^{n})}{1-q}}}

Demonstração

Essa fórmula pode ser explicada dessa maneira:

S n = a 1 + a 1   q + … + a 1   q n − 1 . {\displaystyle S_{n}=a_{1}+a_{1}\ q+\ldots +a_{1}\ q^{n-1}.}

Multiplica-se pela razão q : {\displaystyle q:}

q   S n = a 1   q + a 1   q 2 + … + a 1   q n . {\displaystyle q\ S_{n}=a_{1}\ q+a_{1}\ q^{2}+\ldots +a_{1}\ q^{n}.}

Subtrai-se a primeira da segunda (qSn - Sn), pois qSn >= Sn, se fizer o contrário irá sempre gerar um valor negativo. Cancelam-se os termos repetidos:

q   S n − S n = a 1   q n − a 1 , {\displaystyle q\ S_{n}-S_{n}=a_{1}\ q^{n}-a_{1},}
o que é equivalente (através de fatoração por fator comum) a
( q − 1 ) S n = a 1 ( q n − 1 ) . {\displaystyle \left(q-1\right)S_{n}=a_{1}\left(q^{n}-1\right).}

Divide-se ambos os termos por ( q − 1 ) ≠ 0 {\displaystyle (q-1)\neq 0} e o resultado segue.

Soma dos termos dentro de um intervalo da P.G.

A soma dos termos de uma progressão geométrica situados no intervalo fechado de a m {\displaystyle a_{m}} até a n {\displaystyle a_{n}} é calculada pela seguinte fórmula:

S ( m , n ) = a m ( q n − m + 1 − 1 ) q − 1 . {\displaystyle S_{(m,n)}={\frac {a_{m}(q^{n-m+1}-1)}{q-1}}.}

Soma dos infinitos termos de uma progressão geométrica

Ver artigo principal: série geométrica

A soma dos infinitos termos de uma P.G. é chamada série geométrica e está bem definida quando | q | < 1. {\displaystyle |q|<1.} Sua soma é:

S ∞ = ∑ n = 1 ∞ a 1 q n − 1 = a 1 1 − q . {\displaystyle S_{\infty }=\sum _{n=1}^{\infty }a_{1}q^{n-1}={\frac {a_{1}}{1-q}}.}

Se q ≥ 1 {\displaystyle q\geq 1} e a 1 > 0 {\displaystyle a_{1}>0} então sua soma é mais infinito e se q ≥ 1 {\displaystyle q\geq 1} e a 1 < 0 , {\displaystyle a_{1}<0,} sua soma é menos infinito.

S ∞ = { a 1 1 − q , | q | < 1 + ∞ , q ≥ 1 , a 1 > 0 − ∞ , q ≥ 1 , a 1 < 0 0 , a 1 = 0. {\displaystyle S_{\infty }=\left\{{\begin{array}{ll}{\frac {a_{1}}{1-q}},&|q|<1\\+\infty ,&q\geq 1,a_{1}>0\\-\infty ,&q\geq 1,a_{1}<0\\0,&a_{1}=0.\end{array}}\right.}

Obs.: Esta tabela não esgota todos os casos. Ver o caso q ≤ − 1 , {\displaystyle q\leq -1,} por exemplo. q {\displaystyle q} pode ser um número complexo. O tratamento destas séries pode ser visto no artigo sobre séries divergentes.

Produto dos termos de uma progressão geométrica

O produto dos termos de uma progressão geométrica, a partir do primeiro, é dada por

P n = a 1 n . q n . ( n − 1 ) 2 , {\displaystyle P_{n}=a_{1}^{n}.q^{\frac {n.(n-1)}{2}},}
e também pode ser determinado sem o conhecimento da razão:
P n = ∏ i = 1 n a i = ( a 1 × a n ) n 2 , {\displaystyle P_{n}=\prod _{i=1}^{n}a_{i}=(a_{1}\times a_{n})^{\frac {n}{2}},}
sendo similar à forma do somatório de uma progressão aritmética.

Tipos de progressões geométricas

Progressão geométrica constante

Uma progressão geométrica constante é toda P.G em que todos os termos são iguais, sendo que para isso sua razão q {\displaystyle q} deve ser igual a 1.

Exemplos de progressões geométricas constantes :

  • ( 4 , 4 , 4 , 4 , 4 , 4 , 4 , 4 , . . . ) {\displaystyle (4,4,4,4,4,4,4,4,...)} tem razão q = 1 {\displaystyle q=1} e primeiro termo a 1 = 4 {\displaystyle a_{1}=4}
  • ( 6 , 6 , 6 , 6 , 6 , 6 , 6 , 6 , . . . ) {\displaystyle (6,6,6,6,6,6,6,6,...)} tem razão q = 1 {\displaystyle q=1} e primeiro termo a 1 = 6 {\displaystyle a_{1}=6}

Progressão geométrica crescente

Uma progressão geométrica crescente é toda P.G em que a razão q {\displaystyle q} é superior a 1 e seu primeiro termo a 1 {\displaystyle a_{1}} é superior a 0 ou quando sua razão q {\displaystyle q} está entre 0 e 1 e seu primeiro termo a 1 {\displaystyle a_{1}} é inferior a 0. Obedecendo assim a ordem: q > 1 {\displaystyle q>1} e a 1 > 0 {\displaystyle a_{1}>0} ou 0 < q < 1 {\displaystyle 0<q<1} e a 1 < 0. {\displaystyle a_{1}<0.}

Exemplos de progressões geométricas crescentes:

  • ( 1 , 3 , 9 , 27 , 81 , . . . ) {\displaystyle (1,3,9,27,81,...)} tem razão q = 3 {\displaystyle q=3} e primeiro termo a 1 = 1. {\displaystyle a_{1}=1.}
  • ( − 4 ; − 2 ; − 1 ; − 0 , 5 ; − 0 , 25 ; . . . ) {\displaystyle (-4;-2;-1;-0,5;-0,25;...)} tem razão q = 0 , 5 {\displaystyle q=0,5} e primeiro termo a 1 = − 4. {\displaystyle a_{1}=-4.}

Progressão geométrica decrescente

Uma progressão geométrica decrescente é toda P.G em que a razão q {\displaystyle q} é superior a 1 e seu primeiro termo a 1 {\displaystyle a_{1}} é inferior a 0 ou quando sua razão q {\displaystyle q} está entre 0 e 1 e seu primeiro termo a 1 {\displaystyle a_{1}} é superior a 0. Obedecendo assim a ordem: q > 1 {\displaystyle q>1} e a 1 < 0 {\displaystyle a_{1}<0} ou 0 < q < 1 {\displaystyle 0<q<1} e a 1 > 0. {\displaystyle a_{1}>0.}

Exemplos de progressões geométricas decrescentes:

  • ( − 4 , − 8 , − 16 , − 32 , − 64 , . . . ) {\displaystyle (-4,-8,-16,-32,-64,...)} tem razão q = 2 {\displaystyle q=2} e primeiro termo a 1 = − 4. {\displaystyle a_{1}=-4.}
  • ( 64 , 32 , 16 , 8 , 4 , . . . ) {\displaystyle (64,32,16,8,4,...)} tem razão q = 1 / 2 {\displaystyle q=1/2} e primeiro termo a 1 = 64. {\displaystyle a_{1}=64.}

Progressão geométrica oscilante

Uma progressão geométrica oscilante é toda P.G em que a razão q {\displaystyle q} é um número negativo, fazendo com que a sequência numérica intercale entre números positivos e negativos. Sendo assim, obedece a ordem: q < 0. {\displaystyle q<0.}

Exemplos de progressões geométricas oscilantes:

  • ( 3 , − 6 , 12 , − 24 , 48 , . . . ) {\displaystyle (3,-6,12,-24,48,...)} tem razão q = − 2 {\displaystyle q=-2} e primeiro termo a 1 = 3. {\displaystyle a_{1}=3.}
  • ( 4 , − 16 , 64 , − 256 , 1024 , . . . ) {\displaystyle (4,-16,64,-256,1024,...)} tem razão q = − 4 {\displaystyle q=-4} e primeiro termo a 1 = 4. {\displaystyle a_{1}=4.}

Exemplo de progressão geométrica

Abaixo temos uma tabela na qual o termo a n = 1 = 2 {\displaystyle a_{n=1}=2} e o termo a n = 2 = 6 , {\displaystyle a_{n=2}=6,} e assim sucessivamente em progressão geométrica.

P n = a 1 ⋅ q ( n − 1 ) {\displaystyle P_{n}=a_{1}\cdot q^{(n-1)}} onde q = a 2 ( 6 ) a 1 ( 2 ) = 3 {\displaystyle q={\frac {a_{2}(6)}{a_{1}(2)}}=3}
n {\displaystyle n} a {\displaystyle a}
1 2
2 6
3 18
4 54
5 162
6 486
7 1.458
8 4.374
9 13.122
10 39.366
11 118.098
12 354.294
13 1.062.882
14 3.188.646
15 9.565.938
16 28.697.814
17 86.093.442
18 258.280.326
19 774.840.978
20 2.324.522.934
  • Qual é o 8º termo da PG acima?

P 8 = 2 ⋅ 3 ( 8 − 1 ) = 2 ⋅ 3 7 = 2 ⋅ 2.187 = 4.374 {\displaystyle {\begin{aligned}P_{8}&=2\cdot 3^{(8-1)}\\&=2\cdot 3^{7}\\&=2\cdot 2.187\\&=4.374\end{aligned}}}

Enésimo termo de uma PG

É possível a obtenção do enésimo termo da progressão geométrica dado dois outros termos quaisquer, conforme explicações:

Inicialmente é necessário obter-se o quociente( q {\displaystyle q} ).

q = P n P m n − m {\displaystyle {\begin{aligned}q&={\sqrt[{n-m}]{\frac {P_{n}}{P_{m}}}}\end{aligned}}}

Após obtido o quociente( q {\displaystyle q} ) o enésimo( e {\displaystyle e} ) termo procurado se encontra a partir da sua distância em relação ao termo n , {\displaystyle n,} ou seja, ( n − e ) . {\displaystyle (n-e).}

P e = P n q ( n − e ) {\displaystyle {\begin{aligned}P_{e}&={\frac {Pn}{{q}^{(n-e)}}}\end{aligned}}}

Exemplo ilustrativo

Dado que uma Progressão Geométrica tem o 5º termo( m {\displaystyle m} ) igual a 1.250 e o 8º termo( n {\displaystyle n} ) igual a 156.250, qual é o valor do 2º termo( e {\displaystyle e} )?

q = 156.250 1.250 8 − 5 q = 125 3 q = 5 {\displaystyle {\begin{aligned}q&={\sqrt[{8-5}]{\frac {156.250}{1.250}}}\\q&={\sqrt[{3}]{125}}\\q&=5\end{aligned}}}

Agora usando o quociente ( q {\displaystyle q} ) na fórmula do enésimo termo ( P e {\displaystyle P_{e}} ).

P e = 156.250 5 ( 8 − 2 ) P e = 156.250 5 6 P e = 156.250 15.625 P e = 10 {\displaystyle {\begin{aligned}P_{e}&={\frac {156.250}{5^{(8-2)}}}\\P_{e}&={\frac {156.250}{5^{6}}}\\P_{e}&={\frac {156.250}{15.625}}\\P_{e}&=10\end{aligned}}}

O 2º termo da PG dada é igual a 10.

Ver também

Outros projetos Wikimedia também contêm material sobre este tema:
Wikilivros Livros e manuais no Wikilivros
  • Wikilivros

Referências

  1. ↑ a b Encyclopaedia perthensis, editada por J. Brown (1816) [google books]
  • v
  • d
  • e
Séries e Sequência
Sequência aritmética
Séries divergentes
Fibonacci espiral com square sizes up to 34.
Sequência geométrica
Série convergente
  • 1/2 − 1/4 + 1/8 − 1/16 + ⋯
  • 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + ⋯
  • 1/4 + 1/16 + 1/64 + 1/256 + ⋯
Séries geométricas divergentes
Sequência hipergeométrica
  • Função geral hipergeométrica
  • Função hipergeométrica de um argumento matriz
  • Função de Lauricella
  • Função modular hipergeométrica
  • Equação diferencial de Riemann
  • Função Theta hipergeométrica
Sequência de inteiros
Outras sequências
Séries divergentes
  • Sequência periódica
  • Portal da matemática