Radiciação

Parte da série sobre
Matemática
História
Áreas Teoria dos números Geometria Álgebra Cálculo e Análise Matemática discreta Lógica matemática e Teoria dos conjuntos Probabilidade Estatística e Teoria da decisão Relação com as ciências Física Química Computação Biologia Linguística Economia Filosofia Educação
Portal da Matemática
v d e

A radiciação é uma operação matemática inversa à potenciação, assim como a divisão é o inverso da multiplicação. Para um número real ${\displaystyle a}$, a expressão ${\displaystyle {\sqrt[{n}]{a}}}$ representa o único número real x que verifica ${\displaystyle x^{n}=a,}$ e tem o mesmo sinal que a (quando existe). Quando n é omisso, significa que ${\displaystyle n=2}$ e o símbolo de radical refere-se à raiz quadrada. O valor de ${\displaystyle x}$ constitui a raiz, ${\displaystyle n}$ o índice, ${\displaystyle a}$ o radicando e o símbolo ${\displaystyle {\sqrt {\,\,\,}}}$ o radical. Quando ${\displaystyle n=3}$, trata-se de uma raiz cúbica.^[1]

Um erro comum é achar que a raiz par de um número, em especial a raiz quadrada, deve ser "mais ou menos" ${\displaystyle a}$. Isso advém do fato de os estudantes, quando aprendem a resolver equações quadráticas como ${\displaystyle x^{2}=4}$, acharem que isso é equivalente a tirar a raiz: não é. De fato, existem dois valores ${\displaystyle \pm 2}$ que satisfazem ${\displaystyle x^{2}=4}$. No entanto, existe apenas uma resposta para ${\displaystyle {\sqrt {4}}}$ que é ${\displaystyle 2}$. Trata-se de uma convenção matemática a ideia de que a radiciação de índice par de um número positivo será o número positivo que, elevado a este expoente, resulta no radicando.^[1]

A radiciação leva este nome porque, para um quadrado de área ${\displaystyle a}$, o lado deste quadrado medirá ${\displaystyle {\sqrt {a}}}$. É fácil verificar para ${\displaystyle a=100}$, quando se nota que o lado desde quadrado deve ser ${\displaystyle 10}$. O mesmo raciocínio em se tratando de ${\displaystyle n=3}$. Há uma colocação de algarismos na raiz quadrada. EX: ${\displaystyle {\sqrt {9}}}$ (esse número se chama radical que vem da potência ${\displaystyle 3^{2},}$ também conhecida como 3 ao quadrado. Quem vem a ser ${\displaystyle 3*3}$ e não ${\displaystyle 3*2}$).^[1]

História

A origem do símbolo √ usado para representar uma raiz é bastante especulativo. Algumas fontes dizem que o símbolo foi usado pela primeira vez pelos árabes, e o primeiro uso foi de Al-Qalasadi (1421-1486), e que o símbolo vem da letra árabe ج, a primeira letra da palavra "Jadhir".^[2]

Muitos, incluindo Leonard Euler,^[3] acreditam que o símbolo origina-se da letra r, que é a primeira letra da palavra radix que em latim se refere à mesma operação matemática. O símbolo foi visto pela primeira vez impresso sem o vínculo (a linha horizontal que fica sobre os números dentro da raiz) em 1525 no Die Coss do matemático alemão Christoff Rudolff.

Propriedades

Para a e b positivos tem-se:^[4]

• ${\displaystyle {\sqrt[{n}]{ab}}={\sqrt[{n}]{a}}{\sqrt[{n}]{b}}}$
• ${\displaystyle {\sqrt[{n}]{\frac {a}{b}}}={\frac {\sqrt[{n}]{a}}{\sqrt[{n}]{b}}}}$
• ${\displaystyle {\sqrt[{n}]{a^{m}}}=\left({\sqrt[{n}]{a}}\right)^{m}=a^{\frac {m}{n}}}$
• ${\displaystyle {\sqrt[{m}]{\sqrt[{n}]{a}}}={\sqrt[{m\cdot n}]{a}}}$
• ${\displaystyle ({\sqrt[{n}]{a}})^{m}={\sqrt[{n}]{a^{m}}}}$
• ${\displaystyle a^{\frac {m}{n}}={\sqrt[{n}]{a^{m}}}}$^[5]
• ${\displaystyle a^{-{\frac {m}{n}}}={\frac {1}{\sqrt[{n}]{a^{m}}}}}$
• ${\displaystyle {\sqrt[{n}]{a^{n}}}=a}$
• ${\displaystyle {\sqrt[{2}]{a\pm {\sqrt {b}}}}={\sqrt[{2}]{a+{\frac {\sqrt {a^{2}-b}}{2}}}}\pm {\sqrt[{2}]{a-{\frac {\sqrt {a^{2}-b}}{2}}}}}$

Porém:

• ${\displaystyle {\sqrt[{n}]{x+y}}\neq {\sqrt[{n}]{x}}+{\sqrt[{n}]{y}}}$
• ${\displaystyle {\sqrt[{n}]{x-y}}\neq {\sqrt[{n}]{x}}-{\sqrt[{n}]{y}}}$

Sendo assim, a separação de uma raiz em duas ou mais é válida apenas para a multiplicação e a divisão, sendo diferente na adição e na subtração.

Simplificação de radicais

Trata-se do processo através do qual simplifica-se os radicais, sejam eles números ou polinômios, que possuam ou não raízes exatas com o intuito de deixá-los com uma forma mais compacta que permite a facilitação dos cálculos onde eles estejam envolvidos. Esse processo se dá através de técnicas matemáticas como a decomposição em fatores primos, ou seja, a fatoração e as propriedades dos radicais.^[6]

Exemplos:

${\displaystyle a){\sqrt[{3}]{16}}}$

Decompomos 16 em fatores primos:

Assim temos:

${\displaystyle {\sqrt[{3}]{16}}={\sqrt[{3}]{2^{4}}}={\sqrt[{3}]{2^{3}}}.{\sqrt[{3}]{2}}=2{\sqrt[{3}]{2}}.}$

${\displaystyle b){\sqrt {160}}}$

Decompomos 160 em fatores primos:

Assim temos:

${\displaystyle {\sqrt {160}}={\sqrt {2^{5}.5}}={\sqrt {2^{4}.2.5}}={\sqrt {2^{2}}}.{\sqrt {2^{2}}}.{\sqrt {2.5}}=2.2.{\sqrt {2.5}}=4.{\sqrt {10}}}$

${\displaystyle c){\sqrt[{3}]{a^{3}b^{2}}}}$

Temos:

${\displaystyle {\sqrt[{3}]{a^{3}b^{2}}}={\sqrt[{3}]{a^{3}}}.{\sqrt[{3}]{b^{2}}}=a{\sqrt[{3}]{b^{2}}}}$

${\displaystyle d){\sqrt {25a^{2}b^{7}}}}$

Temos:

${\displaystyle {\sqrt {25a^{2}b^{7}}}={\sqrt {5^{2}.a^{2}.b^{6}.b}}={\sqrt {5^{2}}}.{\sqrt {a^{2}}}.{\sqrt {b^{6}}}.{\sqrt {b}}=5ab^{3}{\sqrt {b}}}$

Operações com radicais

Para se efetuar operações entre radicais é necessário aplicar as suas propriedades, propriedades operatórias da adição e multiplicação de números reais, e ainda, se for o caso, simplificação de radicais, fatoração, entre outras. Abaixo seguem alguns exemplos:^[6]

${\displaystyle a)4{\sqrt {2}}+6{\sqrt {2}}-3{\sqrt {2}}={\sqrt {2}}(4+6-3)=7{\sqrt {2}}}$

${\displaystyle b)4{\sqrt {12}}+6{\sqrt {75}}=4.2{\sqrt {3}}+6.5{\sqrt {3}}=8{\sqrt {3}}+30{\sqrt {3}}=38{\sqrt {3}}}$

${\displaystyle c)6{\sqrt[{5}]{3}}.4{\sqrt[{5}]{2}}=(6.4).({\sqrt[{5}]{3}}.{\sqrt[{5}]{2}})=24{\sqrt[{5}]{6}}}$

${\displaystyle d)12{\sqrt[{3}]{10}}:4{\sqrt[{3}]{5}}={\frac {12{\sqrt[{3}]{10}}}{4{\sqrt[{3}]{5}}}}={\frac {12}{4}}.{\frac {\sqrt[{3}]{10}}{\sqrt[{3}]{5}}}=3.{\sqrt[{3}]{\frac {10}{5}}}=3{\sqrt[{3}]{2}}}$

Racionalização

Quando o denominador de uma fração envolve radicais, o processo pelo qual se transforma essa fração neutra cujo denominador não tem radicais chama-se racionalização de fração.^[7]

Exemplos:

$${\displaystyle {\frac {a}{\sqrt {b}}}={\frac {a{\sqrt {b}}}{b}}}$$

$${\displaystyle {\frac {1}{({\sqrt {a}}+{\sqrt {b}})}}={\frac {{\sqrt {a}}-{\sqrt {b}}}{({\sqrt {a}}+{\sqrt {b}})({\sqrt {a}}-{\sqrt {b}})}}={\frac {{\sqrt {a}}-{\sqrt {b}}}{a-b}}}$$

Algoritmo de extração de raiz quadrada

Segue abaixo uma animação que demonstra um algoritmo de extração da raiz quadrada.^[8]

Ver também

• Raiz quadrada
• Logaritmo
• Exponenciação

Referências

• Portal da matemática
• Portal da lógica