Bryła obrotowa – bryła geometryczna ograniczona powierzchnią obrotową, czyli powstałą z obrotu figury płaskiej dookoła prostej[1], zwanej osią obrotu.
Do brył obrotowych zaliczane są m.in.:
- walec kołowy prosty,
- stożek,
- kula,
- torus,
- beczka,
- elipsoida obrotowa,
- paraboloida obrotowa,
- hiperboloida obrotowa.
Objętość i pole powierzchni bryły obrotowej
Wykres funkcji zmiennej x
Bryła powstała wskutek obrotu obszaru pod wykresem funkcji
wokół osi OX Objętość bryły obrotowej powstałej przez obrót wykresu funkcji
gdzie
dookoła osi OX[2].
![{\displaystyle V=\pi \int \limits _{a}^{b}[f(x)]^{2}\,dx}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/62e2d556210d977bf8ab23ee6761038fce899650)
Pole powierzchni powstałej przez obrót wykresu funkcji
gdzie
dookoła osi OX[2].
![{\displaystyle S=2\pi \int \limits _{a}^{b}|f(x)|{\sqrt {1+[f'(x)]^{2}}}\,dx}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6c80a934d4ad56c39cf62c16160af52925873f58)
Objętość bryły obrotowej powstałej przez obrót wykresu funkcji
gdzie
dookoła osi OY[2].
![{\displaystyle V=2\pi \int \limits _{a}^{b}xf(x)\,dx}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8b0a6a240c8d6dfcb7ed3dcf59fbd80f7e6d12e7)
Pole powierzchni powstałej przez obrót wykresu funkcji
gdzie
dookoła osi OY[2].
![{\displaystyle S=2\pi \int \limits _{a}^{b}x{\sqrt {1+[f'(x)]^{2}}}\,dx}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1587204196de1412169f03f8eb15118b6c245226)
Krzywa w postaci parametrycznej
![{\displaystyle x=x(t),\ y=y(t);\ t\in \langle \alpha ,\,\beta \rangle }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4cdde8d1d5c8e4c0619331931739bf39a18f508b)
Objętość bryły powstałej przez obrót krzywej wokół osi OX[2].
![{\displaystyle V=\pi \int \limits _{\alpha }^{\beta }\left|x'(t)\right|y^{2}(t)\,dt}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7a375bcbcd200a8143c2460ecb61e22718a6abf0)
Pole powierzchni powstałej przez obrót krzywej wokół osi OX[2].
![{\displaystyle S=2\pi \int \limits _{\alpha }^{\beta }y(t){\sqrt {[x'(t)]^{2}+[y'(t)]^{2}}}\,dt}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3965c97c402e34b1ebda274be5a6e2f4a8713655)
Objętość bryły powstałej przez obrót krzywej wokół osi OY[2].
![{\displaystyle V=2\pi \int \limits _{\alpha }^{\beta }x'(t)x(t)y(t)\,dt}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e0e0d08a54ec494659c17b5a6d67fd33cdd710f2)
Pole powierzchni powstałej przez obrót krzywej wokół osi OY[2].
![{\displaystyle S=2\pi \int \limits _{\alpha }^{\beta }x(t){\sqrt {[x'(t)]^{2}+[y'(t)]^{2}}}\,dt}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/33d2584e2998da12dc08c98cf2bad8d8bf91e7bb)
W wielu przypadkach obliczanie objętości bryły obrotowej lub pola jej powierzchni ułatwiają twierdzenia Pappusa.
Przypisy
- ↑ bryła obrotowa, [w:] Encyklopedia PWN [dostęp 2024-05-20] .
- ↑ a b c d e f g h Beata Wysocka: Wykorzystanie całek oznaczonych w geometrii (wzory). www.mif.pg.gda.pl, 2013-03-17. [dostęp 2019-04-08].
Bryły obrotowe
przykłady i ich części | walec obrotowy (kołowy prosty) | - powierzchnia walcowa
- rura cylindryczna
|
---|
stożek obrotowy (kołowy prosty) | |
---|
kula | |
---|
inne | |
---|
|
---|
relacje między kulą a innymi bryłami | |
---|
krzywe tworzone przekrojami brył obrotowych | stożkiem obrotowym i płaszczyzną | |
---|
sferą i płaszczyzną | |
---|
walcem obrotowym i sferą | |
---|
|
---|
inne krzywe na bryłach obrotowych | na walcu obrotowym | |
---|
na sferze | |
---|
|
---|
powiązane układy współrzędnych | |
---|
powiązane powierzchnie | kwadryki obrotowe | |
---|
inne powierzchnie obrotowe | |
---|
|
---|
powiązane nauki | |
---|
- GND: 4136951-8
- BNCF: 30687