Média móvel

Em Estatística, uma média móvel (MM) é um estimador calculado a partir de amostras sequenciais da população. E, em processamento de sinais, a MM é um tipo de filtro FIR de passa-baixas.

Os seus tipos mais comuns são a média móvel simples (ou média móvel aritmética - MMA)^[1], média móvel cumulativa^[2] e média móvel ponderada (MMP)^[1]. Outras variações da MM desenvolvidas ao longo dos anos, incluem:

• média móvel exponencial (MME, Exponential Moving Average)^[3]
• media móvel adaptativa de Kaufman (Kaufman's Adaptive Moving Average)^[4][5]
• Triangular ^[6]
• suavizada (ou amortecida)^[7]
• Exponencial Dupla^[8] ou Tripla^[9].

Dada uma sequência de valores, o primeiro elemento em uma média móvel é a média da primeira subsequência finita destes valores. Médias móveis são comumente usadas com séries temporais para suavizar flutuações curtas e destacar tendências de longo prazo. O limiar entre curto e longo prazo depende da aplicação, bem como dos parâmetros da média móvel, como por exemplo, o tamanho da subsequência. Médias móveis são frequentemente usadas com análise técnica em mercados de capitais tal qual na análise da tendência dos preços de ativos financeiros em bolsas de valores.^[10]

Média móvel simples

A aplicação da média móvel simples^[1], MMS ou SMA (Simple Moving Average), sobre uma sequência ${\displaystyle (p_{i})_{i=1}^{m}}$ resulta na sequência das médias das subsequências de n elementos da sequência, tal que ${\displaystyle n<m}$, e ${\displaystyle n,m\in \mathbb {N} }$. Desta maneira, dado uma sequência de m elementos ${\displaystyle P=(p_{1},\dots ,p_{m})}$, o cálculo de um termo qualquer da sequência resultante pela média móvel é dado por

${\displaystyle {\begin{aligned}{\overline {\rm {p}}}_{i}&={\frac {p_{i+1}+\cdots +p_{i+n}}{n}}\\&={\frac {1}{n}}\sum _{j=1}^{n}p_{i+j}\\{\text{e }}{\overline {\rm {p}}}_{i+1}&={\overline {\rm {p}}}_{i}+{p_{n+i+1} \over n}-{p_{i+1} \over n}.\end{aligned}}}$

É preciso expandir os extremos de uma sequência de dados por n-1 elementos para aplicar a média móvel a todos os seus elementos; a maneira mais simples de fazer essa expansão é adicionar n-1 zeros aos seus extremos.

A média móvel simples possui 3 formas de ser aplicada: considerando-se os n elementos posteriores, futuros como foi feito acima; os n elementos anteriores, passados (como em séries temporais); ou considerando-se ainda elementos anteriores e posteriores. Neste último caso, apenas n/2 elementos devem ser adicionados aos dois extremos.

Média móvel ponderada

A aplicação da média móvel ponderada^[1], MMP ou WMA (weighted moving average), sobre uma sequência ${\displaystyle (p_{i})_{i=1}^{m}}$ resulta na sequência das médias ponderadas por pesos diferentes, ${\displaystyle w_{j}}$, das subsequências de n elementos da sequência, tal que ${\displaystyle n<m}$, e ${\displaystyle n,m\in \mathbb {N} }$. Desta maneira, dado uma sequência de m elementos ${\displaystyle P=(p_{1},\dots ,p_{m})}$, o cálculo de um termo qualquer da sequência resultante pela média móvel ponderada é dado por

${\displaystyle {\begin{aligned}{\overline {\rm {p}}}_{i}&={\frac {p_{i+1}w_{1}+\cdots +p_{i+n}w_{n}}{\sum _{j=1}^{n}w_{j}}}\\&={\frac {\sum _{j=1}^{n}p_{i+j}w_{j}}{\sum _{j=1}^{n}w_{j}}}\\\end{aligned}}}$

As mesmas regras de expansão se repetem para a média móvel ponderada. Os pesos usados para uma média móvel ponderada podem ser quaisquer, contudo a forma mais comum consiste em adotar uma combinação linear simples como ${\displaystyle w_{j}=j}$. A diferença da média ponderada para a média móvel comum é que a ponderada adota pesos quaisquer para seus dados, enquanto que na média móvel comum todos os dados possuem o mesmo peso.

Média móvel exponencial

A aplicação da média móvel exponencial^[3], MME ou EMA (Exponential Moving Average), sobre uma sequência ${\displaystyle (p_{i})_{i=1}^{m}}$ resulta na sequência das médias ponderadas por potências de ${\displaystyle \alpha }$ das subsequências de n elementos da sequência, tal que ${\displaystyle n<m}$, e ${\displaystyle n,m\in \mathbb {N} }$. Desta maneira, dado uma sequência de m elementos ${\displaystyle P=(p_{1},\dots ,p_{m})}$, o cálculo de um termo qualquer da sequência resultante pela média móvel exponencial é dado por

${\displaystyle {\begin{aligned}{\overline {\rm {p}}}_{i}&=\alpha p_{i+1}+\alpha (1-\alpha )p_{i+2}+\cdots +\alpha (1-\alpha )^{i+n-1}p_{i+n-1}+(1-\alpha )^{i+n}p_{i+n}\\&={\alpha \sum _{j=1}^{n-1}{p_{i+j}(1-\alpha )^{j-1}}}+(1-\alpha )^{i+n}p_{i+n}\\{\text{tal que }}\alpha &={\frac {2}{s+1}}~,~s\in \mathbb {N} ^{*}.\end{aligned}}}$

As mesmas regras de expansão se repetem para a média móvel exponencial. A diferença da média exponencial para a média móvel comum é que a exponencial coloca um peso maior nos dados mais recentes, enquanto os dados mais antigos ficam com pesos cada vez menores; na média móvel comum todos os dados possuem o mesmo peso. A média móvel exponencial é uma versão especialista da média móvel ponderada, note que na exponencial todos os seus pesos são potências, o que implica em uma relação não-linear entre os dados, estão no intervalo entre 0 e 1, ${\displaystyle \forall j(w_{j}\in [0,1])}$ e que o somatório dos seus pesos é necessariamente igual a um, ${\displaystyle \sum _{j=1}^{n}w_{j}=1}$.

Média móvel adaptativa de Kaufman

A média móvel adaptativa de Kaufman^[4][5], MMAK ou KAMA (Kaufman's adaptive moving average), é uma variação da média móvel exponencial, porém menos sujeita a ruídos nos dados; sequências de dados que variam rapidamente recebem pesos menores nos valores mais recentes (desconsiderando-se a tendência atual), e sequências de dados que variam lentamente recebem pesos maiores nesses valores (seguindo-se a tendência atual). A fórmula de MMAK é idêntica a MME, porém o cálculo de ${\displaystyle \alpha }$ é feito de forma diferente;

${\displaystyle {\begin{aligned}\alpha &=\left({\frac {|p_{i+1}-p_{i+n}|}{\sum _{j=1}^{n-1}|p_{i+j}-p_{i+j+1}|}}\left({\frac {2}{e+1}}-{\frac {2}{a+1}}\right)+{\frac {2}{a+1}}\right)^{2};~a>e~{\text{e}}~a,e\in \mathbb {N} ^{*}.\end{aligned}}}$

Os valores recomendados por Kaufman para a e e são respectivamente 30 e 2, que correspondem ao maior e ao menor subconjunto que desejamos considerar para influenciar o resultado das médias.

Uso da EMA para Estimativas de Risco

EMA ou EWMA (exponentially weighted moving average) é usada como índice financeiro de medição de risco para parâmetros como:

• Volatilidade: neste caso, a série de retornos diários com n observações é ponderada por um fator de decaimento. As observações mais recentes no tempo são ponderadas com um peso maior que as observações mais remotas. O peso de uma observação decai exponencialmente com n.

• Correlação: São mais suscetíveis a ruído (mais instáveis) que as estimativas de volatilidade. Se a coleta de dados for feita de forma assíncrona pode destruir os padrões de correlação. Mudanças de regime ou paradigmas econômicos impactam a produção de padrões de correlação, assim, dados históricos não podem ser utilizados.

Para obter uma matriz de correlação válida a partir de uma estimativa ruidosa amostral é necessário, em geral, uma estimação paramétrica - Método de Rebonato e Peter Jaeckel ^[11].

Referências