Gama fonksiyonu

Gamma
Reel eksen boyunca gama fonksiyonu
Genel bilgiler
Genel tanım Γ ( z ) = ∫ 0 ∞ t z − 1 e − t d t {\displaystyle \Gamma (z)=\int _{0}^{\infty }t^{z-1}e^{-t}\,dt}
Uygulama alanlarıKalkülüs, matematiksel analiz, istatistik, fizik

Gama fonksiyonu, matematikte faktöriyel fonksiyonunun karmaşık sayılar ve tam sayı olmayan reel sayılar için genellenmesi olan bir fonksiyondur. Г simgesiyle gösterilir.

Γ ( z ) = ∫ 0 ∞ t z − 1 e − t d t {\displaystyle \Gamma (z)=\int _{0}^{\infty }\,t^{z-1}\,e^{-t}dt}
Γ ( n ) = ( n − 1 ) ! {\displaystyle \Gamma (n)=(n-1)!}

Kompleks düzlemde Analitik devamlılık için n negatif tam sayı olmamalıdır,pozitif tam sayı olmalıdır.

Alıştırma

Öncelikle;

( n + 1 ) n ! = ( n + 1 ) ! {\displaystyle (n+1)n!=(n+1)!} eşitliğini ele alalım.
n = 0 {\displaystyle n=0} alırsak; 1.0 ! = 1 ! = 1 {\displaystyle 1.0!=1!=1} olur.

Bu durumda "Aynı işlem kesirli sayılarla da yapılabilir mi?" diye bir soru akla gelir.

n = 1 / 2 {\displaystyle n=1/2} alırsak;
( 3 / 2 ) ( 1 / 2 ) ! = ( 3 / 2 ) ! {\displaystyle (3/2)(1/2)!=(3/2)!} olması gerekir. Yani
( 3 / 2 ) ( 1 / 2 ) ! = ( 3 / 2 ) ! {\displaystyle (3/2)(1/2)!=(3/2)!} → ( 3 / 2 ) ! / ( 1 / 2 ) ! = 3 / 2 {\displaystyle (3/2)!/(1/2)!=3/2} olmalıdır.
Γ ( n ) = ( n − 1 ) ! {\displaystyle \Gamma (n)=(n-1)!} ' olduğundan;
Γ ( 5 / 2 ) {\displaystyle \Gamma (5/2)} → ( 3 / 2 ) ! {\displaystyle (3/2)!} 'e karşılık gelmelidir(eşittir demiyoruz) ve yine
Γ ( 3 / 2 ) {\displaystyle \Gamma (3/2)} → ( 1 / 2 ) ! {\displaystyle (1/2)!} işlemine karşılık gelmelidir.
Γ ( 5 / 2 ) = 3 π 4 ≈ 1.329 Γ ( 3 / 2 ) = π 2 ≈ 0.886 {\displaystyle {\begin{array}{lll}\Gamma (5/2)&={\frac {3{\sqrt {\pi }}}{4}}&\approx 1.329\\\Gamma (3/2)&={\frac {\sqrt {\pi }}{2}}&\approx 0.886\\\end{array}}}
Γ ( 5 / 2 ) / Γ ( 3 / 2 ) = 3 / 2 {\displaystyle \Gamma (5/2)/\Gamma (3/2)=3/2}

Bu da

Γ ( 5 / 2 ) / Γ ( 3 / 2 ) = 3 / 2 {\displaystyle \Gamma (5/2)/\Gamma (3/2)=3/2} → ( 3 / 2 ) ! / ( 1 / 2 ) ! = 3 / 2 {\displaystyle (3/2)!/(1/2)!=3/2} varsayımımızı doğrular. Denenirse diğer sayılar için de bunun doğruluğu görülebilir.

Tanım

Ana Tanım

karmaşık düzlemle genişletilmiş Gama fonksiyonu

Bu çift Γ ( z ) {\displaystyle \Gamma (z)} gösterim Legendre tarafından yapılmıştır. Kompleks sayı z'nin gerçel kısmı (Re[z] > 0) şeklindedir. integral'i

Γ ( z ) = ∫ 0 ∞ t z − 1 e − t d t {\displaystyle \Gamma (z)=\int _{0}^{\infty }t^{z-1}e^{-t}\,dt}

Burada kısmi integrasyon kullanarak, mutlak yakınsaklık gösterilebilir.

Γ ( z + 1 ) = z Γ ( z ) (1) {\displaystyle \Gamma (z+1)=z\,\Gamma (z)\qquad {\text{(1)}}}

 n ! = n · (n − 1) ! faktoriyel fonksiyonunun genel kimliği/tanımı Bu fonksiyonel denklemdir.

Γ ( 1 ) = ∫ 0 ∞ e − t d t = lim k → ∞ − e − t | 0 k = − 0 − ( − 1 ) = 1 (2) {\displaystyle \Gamma (1)=\int _{0}^{\infty }e^{-t}dt=\lim _{k\rightarrow \infty }-e^{-t}|_{0}^{k}=-0-(-1)=1\qquad {\text{(2)}}}

Bu iki sonuç bize faktöriyel fonksiyonun gama fonksiyonun özel bir durumu olduğunu gösteriyor. Bütün n Doğal sayılar'ı için .

Γ ( n + 1 ) = n Γ ( n ) = n ( n − 1 ) Γ ( n − 1 ) = ⋯ = n ! Γ ( 1 ) = n ! {\displaystyle \Gamma (n+1)=n\,\Gamma (n)=n\,(n-1)\,\Gamma (n-1)=\cdots =n!\,\Gamma (1)=n!\,}
Karmaşık düzlem üzerinde Gama fonksiyonu'nun mutlak değeri.

Γ ( z ) {\displaystyle \Gamma (z)} genellemesi analitik devamlılık için gereklidir. z böylece 0 ve negatif değerler hariç bütün kompleks sayıları meromorfik fonksiyon olarak tanımlar. (z. = −nbasit kutbu ile rezidü (−1) n/n !).[1]

Alternatif tanımlamalar

0 ve negatif tam sayılar dışında bütün kompleks sayılar z için tanım sonsuz sayıda Gama fonksiyonu için, sırasıyla Euler ve Weierstrass çifti tarafından

Γ ( z ) = lim n → ∞ n ! n z z ( z + 1 ) ⋯ ( z + n ) = 1 z ∏ n = 1 ∞ ( 1 + 1 n ) z 1 + z n Γ ( z ) = e − γ z z ∏ n = 1 ∞ ( 1 + z n ) − 1 e z / n {\displaystyle {\begin{aligned}\Gamma (z)&=\lim _{n\to \infty }{\frac {n!\;n^{z}}{z\;(z+1)\cdots (z+n)}}={\frac {1}{z}}\prod _{n=1}^{\infty }{\frac {\left(1+{\frac {1}{n}}\right)^{z}}{1+{\frac {z}{n}}}}\\\Gamma (z)&={\frac {e^{-\gamma z}}{z}}\prod _{n=1}^{\infty }\left(1+{\frac {z}{n}}\right)^{-1}e^{z/n}\\\end{aligned}}}

burada γ, Euler-Mascheroni sabiti'dir.

yukarıdaki z nin 0,-1,-2,-3..dışındaki değerleri için Euler tanımı fonksiyonel denklemi basitleştirilmiş şekli,

Γ ( z + 1 ) = lim n → ∞ n ! ( n ) z + 1 ( z + 1 ) ( z + 2 ) ⋯ ( z + n + 1 ) = lim n → ∞ ( z n ! n z z ( z + 1 ) ( z + 2 ) ⋯ ( z + n ) ( n ) ( z + n + 1 ) ) = z Γ ( z ) lim n → ∞ ( n ) ( z + n + 1 ) = z Γ ( z ) . {\displaystyle {\begin{aligned}\Gamma (z+1)&=\lim _{n\to \infty }{\frac {n!\;(n)^{z+1}}{(z+1)\;(z+2)\cdots (z+n+1)}}\\&=\lim _{n\to \infty }\left(z\;{\frac {n!\;n^{z}}{z\;(z+1)\;(z+2)\cdots (z+n)}}\;{\frac {(n)}{(z+n+1)}}\right)\\&=z\;\Gamma (z)\;\lim _{n\to \infty }{\frac {(n)}{(z+n+1)}}\\&=z\;\Gamma (z).\\\end{aligned}}}

değişik bir gösterim...

Γ ( z + 1 ) = ∫ 0 ∞ e − t 1 / z d t . {\displaystyle \Gamma (z+1)=\int _{0}^{\infty }e^{-t^{1/z}}\,dt.\,\!}

Bazen Gamma fonksiyonu'nun parametrik şekli Laguerre polinomları'nın terimleri içinde verilir;

Γ ( z ) = t z ⋅ ∑ n = 0 L n ( z ) ( t ) z + n {\displaystyle \Gamma (z)=t^{z}\cdot \sum _{n=0}{\frac {L_{n}^{(z)}(t)}{z+n}}}  ,   yakınsaklık için ℜ ( z ) < 1 2 {\displaystyle \Re (z)<{\frac {1}{2}}} olmalıdır.
  • Mutlak değer
    Mutlak değer
  • Gerçel kısım
    Gerçel kısım
  • Sanal kısım
    Sanal kısım

Özellikler

Mathematica'da kendi kendine yapılan Γ fonksiyonunun mutlak değerinin 3B grafiği (mupad'deki önceki sürümler)

Pi fonksiyonu

Bir alternatif gösterimde Gauss tarafından girilmişti. ve bazen Pi fonksiyonu deniyor,gama fonksiyonu terimleri yardımıyla

Π ( z ) = Γ ( z + 1 ) = z Γ ( z ) = ∫ 0 ∞ e − t t z d t , {\displaystyle \Pi (z)=\Gamma (z+1)=z\Gamma (z)=\int _{0}^{\infty }e^{-t}t^{z}\,{\rm {d}}t,}

böylece

her negatif olmayan n için.

Π ( n ) = n ! , {\displaystyle \Pi (n)=n!,}

Pi fonksiyonunu kullanarak yansıma formülü formunu alır

Π ( z ) Π ( − z ) = π z sin ⁡ ( π z ) = 1 sinc ⁡ ( z ) {\displaystyle \Pi (z)\Pi (-z)={\frac {\pi z}{\sin(\pi z)}}={\frac {1}{\operatorname {sinc} (z)}}}

burada sinc normalize sinc fonksiyonudur, eğer çarpım teoremi formu alınırsa

Π ( z m ) Π ( z − 1 m ) ⋯ Π ( z − m + 1 m ) = ( 2 π ) m − 1 2 m − z − 1 2 Π ( z ) . {\displaystyle \Pi \left({\frac {z}{m}}\right)\,\Pi \left({\frac {z-1}{m}}\right)\cdots \Pi \left({\frac {z-m+1}{m}}\right)=(2\pi )^{\frac {m-1}{2}}m^{-z-{\frac {1}{2}}}\Pi (z).}

ayrıca bazen

π ( z ) = 1 Π ( z ) , {\displaystyle \pi (z)={\frac {1}{\Pi (z)}},}

bulunur.

yukardaki bir Tam fonksiyon'dur,çünkü karmaşık sayılar içinde tanımlıdır. Burada π(z) hiçbir kutuba sahip değildir, Π(z)de, Γ(z) gibi,sıfır yok idi.

ilgilenenler için, yarıçap r 1 , . . . , r n {\displaystyle r_{1},...,r_{n}} ile bir n-ellipsoidin hacmi gösterilebilir.

V n ( r 1 , . . . , r n ) = π n 2 Π ( n 2 ) ∏ k = 1 n r k {\displaystyle V_{n}(r_{1},...,r_{n})={\frac {\pi ^{\frac {n}{2}}}{\Pi ({\frac {n}{2}})}}\prod _{k=1}^{n}r_{k}}

Özel değerler

Γ ( − 3 / 2 ) = 4 π 3 ≈ 2.363 Γ ( − 1 / 2 ) = − 2 π ≈ − 3.545 Γ ( 1 / 2 ) = π ≈ 1.772 Γ ( 1 ) = 0 ! = 1 Γ ( 3 / 2 ) = π 2 ≈ 0.886 Γ ( 2 ) = 1 ! = 1 Γ ( 5 / 2 ) = 3 π 4 ≈ 1.329 Γ ( 3 ) = 2 ! = 2 Γ ( 7 / 2 ) = 15 π 8 ≈ 3.323 Γ ( 4 ) = 3 ! = 6 {\displaystyle {\begin{array}{lll}\Gamma (-3/2)&={\frac {4{\sqrt {\pi }}}{3}}&\approx 2.363\\\Gamma (-1/2)&=-2{\sqrt {\pi }}&\approx -3.545\\\Gamma (1/2)&={\sqrt {\pi }}&\approx 1.772\\\Gamma (1)&=0!&=1\\\Gamma (3/2)&={\frac {\sqrt {\pi }}{2}}&\approx 0.886\\\Gamma (2)&=1!&=1\\\Gamma (5/2)&={\frac {3{\sqrt {\pi }}}{4}}&\approx 1.329\\\Gamma (3)&=2!&=2\\\Gamma (7/2)&={\frac {15{\sqrt {\pi }}}{8}}&\approx 3.323\\\Gamma (4)&=3!&=6\\\end{array}}}

Raabe formülü

1840 yılında Raabe şunu kanıtladı,

∫ a a + 1 log ⁡ Γ ( t ) d t = 1 2 log ⁡ 2 π + a log ⁡ a − a , a ≥ 0. {\displaystyle \int \limits _{a}^{a+1}\log \Gamma (t)\,\mathrm {d} t={\tfrac {1}{2}}\log 2\pi +a\log a-a,\quad a\geq 0.}
özel olarak, eğer a = 0 {\displaystyle a=0} ise
∫ 0 1 log ⁡ Γ ( t ) d t = 1 2 log ⁡ 2 π . {\displaystyle \int \limits _{0}^{1}\log \Gamma (t)\,\mathrm {d} t={\tfrac {1}{2}}\log 2\pi .}

Ayrıca bakınız

Notlar

  1. ^ George Allen, and Unwin, Ltd., The Universal Encyclopedia of Mathematics. United States of America, New American Library, Simon and Schuster, Inc., 1964. (Forward by James R. Newman)

Kaynakça

  • Bu makale, Creative Commons Attribution-ShareAlike 3.0 Unported License altında lisanslanan ancak GFDL kapsamında olmayan Citizendium makalesi "Gama fonksiyonu"dan materyal içermektedir.
  • Milton Abramowitz and Irene A. Stegun, eds. Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables. New York: Dover, 1972. (See Chapter 6) 17 Şubat 2009 tarihinde Wayback Machine sitesinde arşivlendi.
  • Emil Artin, "The Gamma function", in Rosen, Michael (ed.) Exposition by Emil Artin: a selection; History of Mathematics 30. Providence, RI: American Mathematical Society (2006).
  • Philip J. Davis, "Leonhard Euler's Integral: A Historical Profile of the Gamma Function," Am. Math. Monthly 66, 849-869 (1959)
  • Julian Havil, Gamma, Exploring Euler's Constant", ISBN 0-691-09983-9 (c) 2003
  • W.H. Press, B.P. Flannery, S.A. Teukolsky, and W.T. Vetterling. Numerical Recipes in C. Cambridge, UK: Cambridge University Press, 1988. (See Section 6.1.)
  • Pascal Sebah and Xavier Gourdon. Introduction to the Gamma Function. In PostScript4 Şubat 2012 tarihinde Wayback Machine sitesinde arşivlendi. and HTML4 Şubat 2012 tarihinde Wayback Machine sitesinde arşivlendi. formats.

Dış bağlantılar

  • Şablon:Dlmf
  • Cephes8 Aralık 2009 tarihinde Wayback Machine sitesinde arşivlendi. - C and C++ language special functions math library
  • Examples of problems involving the Gamma function can be found at Exampleproblems.com.
  • Gamma function calculator
  • Wolfram gamma function evaluator (arbitrary precision)28 Ekim 2019 tarihinde Wayback Machine sitesinde arşivlendi.
  • Şablon:WolframFunctionsSite
  • Volume of n-Spheres and the Gamma Function5 Mart 2012 tarihinde Wayback Machine sitesinde arşivlendi. at MathPages
  • Computing the Gamma function31 Aralık 2005 tarihinde Wayback Machine sitesinde arşivlendi. - various algorithms
  • Online tool to graph functions which contain the Gamma function
  • Eric W. Weisstein, Gamma function (MathWorld)
  • "Elementary Proofs and Derivations" 26 Temmuz 2023 tarihinde Wayback Machine sitesinde arşivlendi.
  • "Transformations, Identities and Special Values" 26 Temmuz 2023 tarihinde Wayback Machine sitesinde arşivlendi.
Otorite kontrolü Bunu Vikiveri'de düzenleyin