Excursão browniana

Em teoria das probabilidades, uma excursão browniana é um processo estocástico intimamente relacionado com um processo de Wiener (ou movimento browniano). Ocorrências de excursão browniana são essencialmente simples ocorrências de um processo de Wiener impelidas a satisfazer certas condições. Em particular, uma excursão browniana é um processo de Wiener condicionado a ser positivo e assumir o valor 0 no tempo 1.^[1] Alternativamente, é uma ponte browniana condicionada a ser positiva. Excursões brownianas são importantes porque, dentre outras razões, surgem naturalmente como o processo limite de uma quantidade de teoremas centrais do limite funcionais condicionais.^[2]

Definição

Uma excursão browniana ${\displaystyle e}$ é um processo de Wiener condicionado a ser positivo e assumir o valor 0 no tempo 1. Alternativamente, é uma ponte browniana condicionada a ser positiva.

Outra representação de uma excursão browniana ${\displaystyle e}$ em termos de um movimento browniano ${\displaystyle W}$ (proposta por Paul Lévy e notada por Kiyoshi Itō e Henry P. McKean Jr.)^[3][4] se refere ao último tempo ${\displaystyle \tau _{-}}$ em que ${\displaystyle W}$ atinge zero antes do tempo 1 e o primeiro tempo ${\displaystyle \tau _{+}}$ em que ${\displaystyle W}$ atinge zero depois do tempo 1:^[4]

${\displaystyle \{e(t):\ {0\leq t\leq 1}\}\ {\stackrel {d}{=}}\ \left\{{\frac {|W((1-t)\tau _{-}+t\tau _{+})|}{\sqrt {\tau _{+}-\tau _{-}}}}:\ 0\leq t\leq 1\right\}.}$

Considere ${\displaystyle \tau _{m}}$ o tempo em que a ponte browniana ${\displaystyle W_{0}}$ atinge seu mínimo em ${\displaystyle [0,1]}$. Em 1979, Wim Vervat mostrou que:^[5]

${\displaystyle \{e(t):\ {0\leq t\leq 1}\}\ {\stackrel {d}{=}}\ \left\{W_{0}(\tau _{m}+t{\bmod {1}})-W_{0}(\tau _{m}):\ 0\leq t\leq 1\right\}.}$

Propriedades

A representação de Vervaat de uma excursão browniana tem várias consequências para diversas funções de ${\displaystyle e}$. Em particular,

${\displaystyle M_{+}\equiv \sup _{0\leq t\leq 1}e(t)\ {\stackrel {d}{=}}\ \sup _{0\leq t\leq 1}W_{0}(t)-\inf _{0\leq t\leq 1}W_{0}(t),}$

o que também pode ser derivado por cálculos explícitos,^[6][7] e

${\displaystyle \int _{0}^{1}e(t)\,dt\ {\stackrel {d}{=}}\ \int _{0}^{1}W_{0}(t)\,dt-\inf _{0\leq t\leq 1}W_{0}(t).}$

O seguinte resultado se aplica:^[8]

${\displaystyle EM_{+}={\sqrt {\pi /2}}\approx 1.25331\ldots ,\,}$

E os seguintes valores para o segundo momento e a variância podem ser calculados pela forma exata da distribuição e densidade:^[8]

${\displaystyle EM_{+}^{2}\approx 1.64493\ldots \ ,\ \ \operatorname {Var} (M_{+})\approx 0.0741337\ldots .}$

Em 1989, Piet Groeneboom deu uma expressão da transformada de Laplace da densidade de ${\displaystyle \int _{0}^{1}e(t)\,dt}$.^[9] Uma fórmula para uma certa transformada dupla da distribuição desta integral de área foi dada por Guy Louchard em 1984.^[10]

Em 1983, Groeneboom e Jim Pitman deram decomposições do movimento browniano ${\displaystyle W}$ em termos de excursões brownianas independentes e identicamente distribuídas e do menor majorante côncavo (ou do maior minoraste convexo) de ${\displaystyle W}$.^[11][12]

Conexões e aplicações

A área da excursão browniana

${\displaystyle A_{+}\equiv \int _{0}^{1}e(t)\,dt}$

surge em conexão com a enumeração de grafos conectados, outros problemas em teoria combinatória, a distribuição limite de números de Betti de certas variedades em teoria da co-homologia.^{[13][14][15][16][17][18]} Em 1991, Lajos Takács mostrou que ${\displaystyle A_{+}}$ tem densidade^[19]

${\displaystyle f_{A_{+}}(x)={\frac {2{\sqrt {6}}}{x^{2}}}\sum _{j=1}^{\infty }v_{j}^{2/3}e^{-v_{j}}U\left(-{\frac {5}{6}},{\frac {4}{3}};v_{j}\right)\ \ {\text{ com }}\ \ v_{j}={\frac {2|a_{j}|^{3}}{27x^{2}}}}$

em que ${\displaystyle a_{j}}$ são os zeros da função de Airy e ${\displaystyle U}$ é a função hipergeométrica confluente. Em 2007, Svante Janson e Guy Louchard mostraram que^[20]

${\displaystyle f_{A_{+}}(x)\sim {\frac {72{\sqrt {6}}}{\sqrt {\pi }}}x^{2}e^{-6x^{2}}\ \ {\text{ conforme }}\ \ x\rightarrow \infty ,}$

e

${\displaystyle P(A_{+}>x)\sim {\frac {6{\sqrt {6}}}{\sqrt {\pi }}}xe^{-6x^{2}}\ \ {\text{ conforme }}\ \ x\rightarrow \infty .}$

Os autores também deram expansões de ordem mais elevada em ambos os casos.

Em 2007, Janson deu momentos de ${\displaystyle A_{+}}$ e muitas outras funcionais de área.^[16] Em particular,

${\displaystyle E(A_{+})={\frac {1}{2}}{\sqrt {\frac {\pi }{2}}},\ \ E(A_{+}^{2})={\frac {5}{12}}\approx 0.416666\ldots ,\ \ \operatorname {Var} (A_{+})={\frac {5}{12}}-{\frac {\pi }{8}}\approx .0239675\ldots \ .}$

Excursões brownianas também surgem em conexão com problemas de filas, tráfego ferroviário e alturas de árvores binárias aleatoriamente enraizadas.^{[19][21][22][23]}

Ver também

• Movimento browniano
• Ponte browniana
• Processo de Wiener

Referências