Processo de Gauss–Markov

Um processo de Gauss–Markov, que recebe este nome em homenagem ao matemático alemão Carl Friedrich Gauss e ao matemático russo Andrei Markov, é um processo estocástico que satisfaz os requisitos tanto dos processos de Gauss, como dos processos de Markov.^[1] O processo de Gauss–Markov estacionário é também conhecido como processo de Ornstein–Uhlenbeck.

Descrição

Todo processo de Gauss–Markov $X(t)$ possui as três seguintes propriedades:

Se $h(t)$ for uma função escalar não nula de $t$ , então, $Z(t)=h(t)X(t)$ é também um processo de Gauss–Markov;
Se $h(t)$ for uma função escalar não decrescente de $t$ , então, $Z(t)=X(f(t))$ é também um processo de Gauss–Markov;
Há uma função escalar não nula $h(t)$ e uma função escalar não decrescente $f(t)$ , tal que $X(t)=h(t)W(f(t))$ , em que $W(t)$ é um processo de Wiener padrão.

A terceira propriedade significa que todo processo de Gauss–Markov pode ser sintetizado a partir do processo de Wiener padrão.^[2]

Propriedades

Um processo de Gauss–Markov com variância ${\textbf {E}}(X^{2}(t))=\sigma ^{2}$ e constante de tempo $\beta ^{-1}$ tem:

Autocorrelação exponencial: ${\textbf {R}}_{x}(\tau )=\sigma ^{2}e^{-\beta |\tau |}$ .
Uma função de densidade espectral de potência que tem a mesma forma da distribuição de Cauchy: ${\textbf {S}}_{x}(j\omega )={\frac {2\sigma ^{2}\beta }{\omega ^{2}+\beta ^{2}}}.$

Note que a distribuição de Cauchy e este espectro diferem entre si por fatores de escala.

O que foi exposto acima produz a seguinte fatoração espectral:

${\textbf {S}}_{x}(s)={\frac {2\sigma ^{2}\beta }{-s^{2}+\beta ^{2}}}={\frac {{\sqrt {2\beta }}\sigma }{(s+\beta )}}\cdot {\frac {{\sqrt {2\beta }}\sigma }{(-s+\beta )}},$

que é importante na filtração de Wiener e outras áreas.

Há também algumas exceções triviais ao que foi descrito acima.^[2]

Ver também

Processo Ornstein–Uhlenbeck

Referências

↑ Pierre., Lamon, (2008). 3D-position tracking and control for all-terrain robots. Berlin: Springer. ISBN 9783540782865. OCLC 261324811
↑ ^a ^b Edward., Rasmussen, Carl (2006). Gaussian processes for machine learning. Cambridge, Mass.: MIT Press. ISBN 026218253X. OCLC 68194203

v d e Processos estocásticos
Tempo discreto	Cadeias de Markov Passeio aleatório Autoevitante Processo de Bernoulli Processo de Galton–Watson Processo de Moran Variáveis aleatórias independentes e identicamente distribuídas
Tempo contínuo	Processo de Bessel Movimento browniano Ponte Excursão Fracionário Geométrico Meander Processo de Cauchy Processo de Cox Processo de Feller Processo de Fleming–Viot Processo de Hunt Difusão de Itô Processo de Itô Processo Lévy Tempo local Processo aditivo de Markov Processo de McKean–Vlasov Processo Ornstein–Uhlenbeck Processo de Poisson Evolução de Schramm–Loewner Processo de Wiener Processo de nascimento e morte Processo de contato Passeio aleatório de tempo contínuo Processo empírico Difusão de salto
Ambos	Processo gaussiano Modelo Galves-Löcherbach Cadeias estocásticas com memória de alcance variável Modelo oculto de Markov Processo de Markov Martingale Ruído branco Processo regenerativo
Campos e outros	Processo de Dirichlet Medida de Gibbs Modelo de Hopfield Modelo de Ising Modelo de Potts Campo aleatório de Markov Processo de Pitman–Yor Grafo aleatório
Modelos de série temporal	Modelos ARCH ARIMA ARMA
Modelos financeiros	Black–Derman–Toy Black–Karasinski Chen Cox–Ingersoll–Ross (CIR) Garman–Kohlhagen Heath–Jarrow–Morton (HJM) Heston Ho–Lee Hull–White LIBOR market Rendleman–Bartter SABR volatility Vašíček Wilkie
Modelos atuariais	Bühlmann Cramér–Lundberg Sparre–Anderson
Modelos de filas	Fila M/M/1
Propriedades	Càdlàg Processo contínuo de Feller Gauss–Markov Markov Contínuo Reversível no tempo
Teoremas limites	Teorema central do limite Teorema de Donsker Teoria ergódica Teorema de Fisher–Tippett–Gnedenko Lei dos grandes números Lei do logaritmo iterado Teorema de Sanov
Desigualdades	Burkholder–Davis–Gundy Kunita–Watanabe Martingale de Doob
Ferramentas	Fórmula de Cameron–Martin Convergência de variáveis aleatórias Exponencial de Doléans-Dade Teorema da decomposição de Doob–Meyer Fórmula de Dynkin Fórmula de Feynman–Kac Teorema de Girsanov Integral de Itô Lema de Itō Teorema da continuidade de Kolmogorov Teorema da extensão de Kolmogorov Métrica de Lévy–Prokhorov Teorema de Prokhorov Integral de Skorokhod Teorema da representação de Skorokhod Espaço de Skorokhod Equação diferencial estocástica Tanaka Integral de Stratonovich Espaço de Wiener Clássico Abstrato Princípio da reflexão
Disciplinas	Ciências atuariais Econometria Teoria ergódica Matemática financeira Teoria das probabilidades Teoria das filas Estatística Cálculo estocástico Série temporal Aprendizado de máquina
Categoria:Processos estocásticos