Logarithmische Verteilung

Die logarithmische Verteilung ist eine Wahrscheinlichkeitsverteilung in der Stochastik, der Mathematik des Zufalls. Sie ist univariat, eine diskrete Wahrscheinlichkeitsverteilung und kommt aus dem Bereich der Versicherungsmathematik. Sie ist interessant als Schadenshöhenverteilung, wird aber kaum zur Bestimmung der Schadensanzahlen benutzt.

Eine diskrete Zufallsgröße ${\displaystyle X\in \mathbb {N} \setminus \left\{0\right\}}$ genügt der logarithmischen Verteilung mit dem Parameter ${\displaystyle p}$ (Erfolgswahrscheinlichkeit), wenn sie die Wahrscheinlichkeit

${\displaystyle \operatorname {P} (X=k)=f(k)=-{\frac {p^{k}}{k}}\cdot {\frac {1}{\ln(1-p)}}}$

besitzt.

Die logarithmische Verteilung hat einen Erwartungswert von

${\displaystyle \operatorname {E} (X)=-{\frac {p}{(1-p)\ln(1-p)}}}$.

Die Varianz bestimmt sich zu

${\displaystyle \operatorname {Var} (X)=-{\frac {p\cdot (\ln(1-p)+p)}{(1-p)^{2}\ln ^{2}(1-p)}}}$.

Aus Erwartungswert und Varianz erhält man sofort den Variationskoeffizienten

${\displaystyle \operatorname {VarK} (X)={\sqrt {-{\frac {p}{\ln(1-p)+p}}}}}$.

Die Schiefe ergibt sich zu:

${\displaystyle \operatorname {v} (X)={\frac {1}{\sqrt {p(-\ln(1-p)-p)}}}\left({\frac {\ln ^{2}(1-p)}{-\ln(1-p)-p}}+p(-\ln(1-p)-2p)\right)}$.

Die charakteristische Funktion hat die Form

${\displaystyle \phi _{X}(s)={\frac {\ln(1-pe^{is})}{\ln(1-p)}}}$.

Für die wahrscheinlichkeitserzeugende Funktion erhält man

${\displaystyle g_{X}(s)={\frac {\ln(1-ps)}{\ln(1-p)}}}$.

Die momenterzeugende Funktion der logarithmischen Verteilung ist

${\displaystyle m_{X}(s)={\frac {\ln(1-pe^{s})}{\ln(1-p)}}}$.

Für die Wahrscheinlichkeitsfunktion gilt die rekursive Gleichung

${\displaystyle f(k+1)={\frac {kp}{k+1}}f(k)}$

mit Startwert

${\displaystyle f(1)={\frac {-p}{\ln(1-p)}}}$.

Dies kann zur effektiven Implementierung von logarithmisch verteilten Zufallszahlen genutzt werden.

Kombiniert man die logarithmische Verteilung mit der zusammengesetzten Poisson-Verteilung, so entsteht die negative Binomialverteilung und damit als Spezialfall auch die geometrische Verteilung.

• Hans-Otto Georgii: Stochastik. Einführung in die Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik. 4. Auflage. Walter de Gruyter, Berlin 2009, ISBN 978-3-11-021526-7, doi:10.1515/9783110215274. 

• Eric W. Weisstein: Logarithmic Distribution. In: MathWorld (englisch).