Inverse Normalverteilung

Die inverse Normalverteilung (auch inverse Gauß-Verteilung oder Wald-Verteilung genannt) ist eine kontinuierliche Wahrscheinlichkeitsverteilung. Sie wird in verallgemeinerten linearen Modellen verwendet. Bei der Untersuchung der Brownschen Molekularbewegung mit Drift ${\displaystyle v>0}$ und Streuungskoeffizient ${\displaystyle \lambda >0}$ ist die zufällige Zeit des ersten Erreichens des Niveaus ${\displaystyle a>0}$ invers normalverteilt mit den Parametern ${\displaystyle \left({\frac {a}{v}},{\frac {a^{2}}{\lambda ^{2}}}\right)}$. Die inverse Normalverteilung gehört zur Exponentialfamilie.

Definition

Eine stetige Zufallsvariable ${\displaystyle X}$ genügt der inversen Normalverteilung mit den Parametern ${\displaystyle \lambda >0}$ (Ereignisrate) und ${\displaystyle \mu >0}$ (Erwartungswert), wenn sie die Wahrscheinlichkeitsdichte ${\displaystyle f(x)={\begin{cases}\left({\frac {\lambda }{2\pi x^{3}}}\right)^{\frac {1}{2}}e^{-{\frac {\lambda (x-\mu )^{2}}{2\mu ^{2}x}}}&x>0\\0&x\leq 0\end{cases}}}$ besitzt.

Eigenschaften

Erwartungswert

Die inverse Normalverteilung besitzt den Erwartungswert

${\displaystyle \operatorname {E} (X)=\mu }$.

Varianz

Die Varianz ergibt sich analog zu

${\displaystyle \operatorname {Var} (X)={\frac {\mu ^{3}}{\lambda }}}$.

Standardabweichung

Daraus erhält man für die Standardabweichung

${\displaystyle \sigma ={\sqrt {\frac {\mu ^{3}}{\lambda }}}}$

Variationskoeffizient

Aus Erwartungswert und Varianz erhält man unmittelbar den Variationskoeffizienten

${\displaystyle \operatorname {VarK} (X)={\sqrt {\frac {\mu }{\lambda }}}}$.

Schiefe

Die Schiefe ergibt sich zu

${\displaystyle \operatorname {v} (X)=3{\sqrt {\frac {\mu }{\lambda }}}}$.

Wölbung (Kurtosis)

Die Wölbung ergibt sich zu

${\displaystyle \beta _{2}={\frac {15\mu }{\lambda }}+3}$.

Die Exzess-Kurtosis ist

${\displaystyle \gamma _{2}=\beta _{2}-3={\frac {15\mu }{\lambda }}}$.

Charakteristische Funktion

Die charakteristische Funktion hat die Form

${\displaystyle \phi _{X}(s)=e^{{\frac {\lambda }{\mu }}\left(1-{\sqrt {1-{\frac {2\mu ^{2}is}{\lambda }}}}\right)}}$.

Momenterzeugende Funktion

Die momenterzeugende Funktion der inversen Normalverteilung ist

${\displaystyle m_{X}(s)=e^{{\frac {\lambda }{\mu }}\left(1-{\sqrt {1-{\frac {2\mu ^{2}s}{\lambda }}}}\right)}}$.

Reproduzierbarkeit

Sind ${\displaystyle X_{1},\dots ,X_{n}}$ Zufallsvariable mit inverser Normalverteilung mit den Parametern ${\displaystyle \lambda }$ und ${\displaystyle \mu }$, dann ist die Größe ${\displaystyle {\frac {1}{n}}\sum \limits _{i=1}^{n}X_{i}}$ wieder eine Zufallsvariable mit einer inversen Normalverteilung, aber mit den Parametern ${\displaystyle n\lambda }$ und ${\displaystyle \mu }$.

Weblinks

• Eric W. Weisstein: Inverse Gaussian Distribution. In: MathWorld (englisch).