Die Zweipunktverteilung ist eine Wahrscheinlichkeitsverteilung in der Stochastik. Sie ist eine einfache diskrete Wahrscheinlichkeitsverteilung, die auf einer zweielementigen Menge
definiert wird. Bekanntester Spezialfall ist die Bernoulli-Verteilung, die auf
definiert ist.
Definition
Eine Zufallsvariable
auf
mit
heißt zweipunktverteilt, wenn
ist.
Die Verteilungsfunktion ist dann
![{\displaystyle F_{X}(t)={\begin{cases}0&{\text{ falls }}t<a\\1-p&{\text{ falls }}t\in [a,b)\\1&{\text{ falls }}t\geq b\end{cases}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6af2de4002d424d4cae2d352ef841e7f9c063333)
Eigenschaften
Sei im Folgenden
.
Erwartungswert
Der Erwartungswert einer zweipunktverteilten Zufallsgröße ist
.
Varianz und weitere Streumaße
Für die Varianz gilt
.
Demnach ist die Standardabweichung
![{\displaystyle \sigma _{X}=(b-a){\sqrt {pq}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c13b9d8e15bdb7b8e61c2fc2856a43775bf536eb)
und der Variationskoeffizient
.
Symmetrie
Ist
, so ist die Zweipunktverteilung symmetrisch um ihren Erwartungswert.
Schiefe
Die Schiefe der Zweipunktverteilung ist
.
Wölbung und Exzess
Der Exzess der Zweipunktverteilung ist
![{\displaystyle \gamma (X)={\frac {1-6pq}{pq}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1c39d99aee8bc63daefca696e171015df2df89f0)
und damit ist die Wölbung
.
Höhere Momente
Die
-ten Momente ergeben sich als
.
Dies kann beispielsweise mit der momenterzeugenden Funktion gezeigt werden.
Modus
Der Modus der Zweipunktverteilung ist
![{\displaystyle x_{D}={\begin{cases}a&{\text{falls }}q>p\\a{\text{ und }}b&{\text{falls }}q=p\\b&{\text{falls }}q<p\end{cases}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/22339b8704f9b8aa39b3232a586f2a38818ad309)
Der Median der Zweipunktverteilung ist
![{\displaystyle {\tilde {m}}={\begin{cases}a&{\text{falls }}q\geq p\\b&{\text{falls }}q<p\end{cases}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a805a638f42397898a4ea49dd98fa48c626b8107)
Wahrscheinlichkeitserzeugende Funktion
Sind
, so ist die wahrscheinlichkeitserzeugende Funktion
.
Momenterzeugende Funktion
Die momenterzeugende Funktion ist für beliebiges
gegeben als
.
Charakteristische Funktion
Die charakteristische Funktion ist für beliebiges
gegeben als
.
Konstruktion der Verteilung zu vorgegebenen Parametern
Sind Erwartungswert
, Standardabweichung
und Schiefe
vorgegeben, erhält man wie folgt eine passende Zweipunktverteilung:
![{\displaystyle p=(1+t/{\sqrt {4+t^{2}}})/2,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d6253b8be062b551335d4e89bdf9a14077352e78)
![{\displaystyle q=1-p,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/97242f56696e08684e46a2c309369ff1be1162ef)
![{\displaystyle a=m-s\cdot {\sqrt {q/p}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4c6ed55c9645fa5e9f72dec3b39f8649f7d4b57f)
![{\displaystyle b=m+s\cdot {\sqrt {p/q}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9510a592e1ea11084c5d2a8515237a0953b9b94f)
Summen von zweipunktverteilten Zufallsvariablen
Die Zweipunktverteilung ist für
nicht reproduktiv. Das heißt, wenn
zweipunktverteilt sind, dann ist
nicht mehr zweipunktverteilt. Einzige Ausnahme ist der degenerierte Fall mit
(bzw.
). Dann handelt es sich um eine Dirac-Verteilung auf
(bzw. auf
), die entsprechend reproduktiv und sogar unendlich teilbar ist.
Beziehung zu anderen Verteilungen
Beziehung zur Bernoulli-Verteilung
Eine Zweipunktverteilung auf
ist eine Bernoulli-Verteilung.
Beziehung zur Rademacher-Verteilung
Die Rademacher-Verteilung ist eine Zweipunktverteilung mit
.
Literatur
- Thomas Mack: Versicherungsmathematik. 2. Auflage. Verlag Versicherungswirtschaft, 2002, ISBN 388487957X.
- P. H. Müller (Hrsg.): Lexikon der Stochastik – Wahrscheinlichkeitsrechnung und mathematische Statistik. 5. Auflage. Akademie-Verlag, Berlin 1991, ISBN 978-3-05-500608-1, Zweipunktverteilung (two-point distribution), S. 526–527.
Diskrete univariate Verteilungen
Kontinuierliche univariate Verteilungen
Multivariate Verteilungen