Rademacherverteilung

Die Rademacherverteilung ist eine Wahrscheinlichkeitsverteilung und somit dem mathematischen Teilgebiet der Stochastik zuzuordnen. Bei ihr handelt es sich um eine einfach univariate diskrete Wahrscheinlichkeitsverteilung auf ${\displaystyle \{-1,1\}}$, die unter anderem zur Definition der symmetrischen einfachen Irrfahrt auf ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ genutzt wird.

Sie ist nach Hans Rademacher (1892–1969) benannt.

Definition

Die Rademacherverteilung ist definiert auf ${\displaystyle \{-1,1\}}$ und besitzt die Wahrscheinlichkeitsfunktion

${\displaystyle f(n)={\begin{cases}0{,}5&{\text{ falls }}n=-1\\0{,}5&{\text{ falls }}n=1\end{cases}}}$

Die Verteilungsfunktion ist dann

${\displaystyle F_{X}(t)={\begin{cases}0&{\text{ falls }}t<-1\\0{,}5&{\text{ falls }}-1\leq t<1\\1&{\text{ falls }}t\geq 1\end{cases}}}$

Eigenschaften

Erwartungswert und andere Lagemaße

Der Erwartungswert einer rademacherverteilten Zufallsvariablen ist

${\displaystyle \operatorname {E} (X)=0}$.

Der Median ist

${\displaystyle {\tilde {m}}=0}$.

Varianz

Die Varianz entspricht der Standardabweichung:

${\displaystyle \operatorname {Var} (X)=\sigma _{X}=1}$.

Symmetrie

Die Rademacherverteilung ist symmetrisch um die 0.

Schiefe

Die Schiefe ist

${\displaystyle \operatorname {v} (X)=0}$.

Exzess und Wölbung

Der Exzess der Rademacherverteilung ist

${\displaystyle \gamma =-2}$.

Damit ist die Wölbung

${\displaystyle \beta _{2}=1}$.

Höhere Momente

Die ${\displaystyle k}$-ten Momente sind

${\displaystyle m_{k}=\left\{{\begin{array}{cc}0&{\mbox{ falls }}k{\mbox{ gerade}}\\1&{\mbox{ falls }}k{\mbox{ ungerade}}\end{array}}\right\}}$

Entropie

Die Entropie ist

${\displaystyle \mathrm {H} (X)=\log _{2}(2)}$

gemessen in Bit.

Kumulanten

Die kumulantenerzeugende Funktion ist

${\displaystyle g_{X}(t)=\ln(\cosh(t))}$.

Damit ist die erste Ableitung

${\displaystyle g'_{X}(t)=\tanh(t)}$

und daher ${\displaystyle \tau _{1}=0}$ die erste Kumulante. Für die höheren Ableitungen gibt es geschlossene Darstellungen.

Momenterzeugende Funktion

Die momenterzeugende Funktion ist

${\displaystyle M_{X}(t)=\cosh(t)}$.

Charakteristische Funktion

Die charakteristische Funktion ist

${\displaystyle \varphi _{X}(t)=\cos(t)}$.

Beziehung zu anderen Verteilungen

Beziehung zur Zweipunktverteilung

Die Rademacherverteilung ist eine Zweipunktverteilung mit ${\displaystyle a=-1,b=1,p=q=0{,}5}$.

Beziehung zur diskreten Gleichverteilung

Die Rademacherverteilung ist eine diskrete Gleichverteilung auf ${\displaystyle x_{1}=-1,x_{2}=1}$.

Beziehung zur Bernoulliverteilung

Sowohl die Bernoulliverteilung mit ${\displaystyle p=q=0{,}5}$ als auch die Rademacherverteilung modellieren einen fairen Münzwurf (oder eine faire, zufällige Ja/Nein-Entscheidung). Der Unterschied besteht lediglich darin, dass Kopf (Erfolg) und Zahl (Misserfolg) unterschiedlich kodiert werden.

Beziehung zur Binomialverteilung und dem Random Walk

Sind ${\displaystyle X_{1},X_{2},\dots }$ unabhängige rademacherverteilte Zufallsvariablen, so ist

${\displaystyle Y_{n}:=\sum _{i=1}^{n}X_{i}}$

genau der symmetrische Random Walk auf ${\displaystyle \mathbb {Z} }$. Demnach ist

${\displaystyle 0{,}5\left(n+\sum _{i=1}^{n}X_{i}\right)\sim Bin(n;0{,}5)}$

also binomialverteilt.

Beziehung zur Laplaceverteilung

Ist ${\displaystyle X}$ rademacherverteilt, und ist ${\displaystyle Y}$ exponentialverteilt zum Parameter ${\displaystyle \lambda }$, so ist ${\displaystyle X\cdot Y}$ laplaceverteilt zu dem Lageparameter 0 und dem Skalenparameter ${\displaystyle {\frac {1}{\lambda }}}$.

Vorkommen

Die Rademacherverteilung wird in der Funktionalanalysis für den Begriff des Typs und Kotyps zur Klassifikation von Banach-Räumen verwendet.